投入产出模型实例

一、有限马尔科夫链1、马尔科夫过程是用来测量或者估计随着时间的推移而发生的移动。

马尔科夫矩阵中的每 个值都是从一种状态向另一状态移动的可能性。

通过反复用转移矩阵乘以不同状态下的初始分布的向量，我们可以估计不同时间上的状态变化。

2、假设：At 和Bt 分别代表在时间t 上的A 公司和B 公司的员工人数，定义转移概率是： P AA =目前在A 者还留在A 的概率， P AB =目前在A 者转移到B 的概率，P BB =目前在B 者还留在B 的概率， P BA =目前在B 者转移到A 的概率。

如果我们把在时间t 上员工转移的分布写成向量，得到：x ’t = t t B A矩阵形式的转移概率就是： M = BB BA ABAA P P P P ,一般，对于n 个时间段： t t B A BB BA AB AA P P P P n= n t n t B A ++ 。

3、稳定状态：由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵。

二、里昂惕夫投入--产出模型1、投入-产出分析：任何一个产业的产出，往往是其他许多产业的投入，或者是该产业自身的投入。

“正确”的产出水平将取决于所有n 个产业的投入需求。

同时所设想的“正确”的产出水平是为了满足技术上的投入--产出关系，不是为了满足市场均衡条件。

2、投入-产出模型结构的假设：（1）每个产业仅生产一中同质的产品。

（2）每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品。

（3）每一产业的生产服从常数规模报酬。

3、为生产每一单位j 产品所需投入的第i 种商品为一固定数量a ij , a ij 称作投入系数。

对于n 部门经济投入系数可排成矩阵A=[a ij ]，每一列表示生产每单位特定产业的产品所需的投入。

A= nn n n nna a a a a a a a a2122221112114、开放模型。

若上述中的n 各部门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被用于满足同样n 个部门的投入需求而非最终需求。

投入产出模型的推广及其应用投入产出模型是一种经济分析工具，用于评估一个经济体中不同部门之间的相互依赖关系和资源流动。

它可以帮助政府、企业和研究机构了解各个部门的贡献和影响，从而制定合理的政策和决策。

本文将介绍投入产出模型的基本原理、推广方式以及其在实际应用中的一些案例。

一、投入产出模型的基本原理投入产出模型是由经济学家沃森·勒奇（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出的。

它基于一个简化假设，即一个经济体可以被划分为若干个部门，每个部门都需要一定数量的投入才能生产出相应的产出。

这些投入和产出之间存在着复杂的相互依赖关系，通过建立一个输入输出矩阵来描述这种关系。

输入输出矩阵是一个n行n列的方阵，其中n表示经济体中部门的数量。

矩阵中第i行第j列的元素表示第i个部门向第j个部门提供了多少单位的投入。

通过对输入输出矩阵进行数学运算，可以计算出每个部门的产出、就业和价值创造等指标。

二、投入产出模型的推广方式1. 数据收集：投入产出模型需要大量的数据支持，因此在推广应用之前，需要进行全面而准确的数据收集。

这包括各个部门的生产数据、投入数据以及经济体整体的经济指标等。

2. 模型构建：根据收集到的数据，可以构建输入输出矩阵，并计算各个部门的产出和就业情况。

这一步需要借助计量经济学方法和软件工具进行分析和计算。

3. 效果评估：通过比较不同部门之间的相互依赖关系和资源流动情况，可以评估不同政策或决策对整体经济效果的影响。

这有助于政府和企业制定更合理的发展战略和政策。

4. 推广应用：投入产出模型可以应用于各个领域，包括宏观经济政策制定、区域发展规划、环境影响评估等。

通过将模型推广到不同领域中，可以更好地理解各个部门之间的相互作用，并为决策者提供科学依据。

三、投入产出模型的应用案例1. 宏观经济政策制定：投入产出模型可以帮助政府评估不同政策对经济的影响。

政府可以通过模型计算出增加某个部门的投入会对整体就业和产出造成怎样的影响，从而制定合理的产业政策。

投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型的应用领域很广，常用于分析经济系统的部门结构和比例关系、进行经济预测、调整经济计划等各个方面。

由投入产出模型的理论知道，只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将报告期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。

下面将以实例说明其在经济中的应。

例题设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。

上一年度三个部门的生产与消耗情况如下表所示：生产与消耗情况表假定该系统三个部门的生产技术条件都没有变化，从而该系统的直接消耗系数矩阵不变，由此建立的产品分配方程组和产值构成方程组也不变。

在此基础上，分别分析该系统的报告期投入产出数学模型在计划期经济计划工作方面的下列应用。

（1）在经济预测中的应用假定根据上例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。

由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。

试预测该系统最终产品的增长情况。

（2）在制订计划中的应用投入产出数学模型为合理制订经济系统的生产计划提供了一个科学的方法。

根据社会需要确定社会产品的原则，先通过对计划期需要量的预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型推算出各个部门的总产品，在此基础上编制经济系统计划期的投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。

现假定通过预测，引例所示经济系统三个部门的计划期最终产品需要量分别为工业部门：1216y=亿元，农业部门：2716y=亿元，其他产业部门：3120y=亿元。

试确定计划期总产品、部门间流量及计划期各部门净产值。

（3）在调整计划中的应用以上介绍了如何根据对最终产品的需求，制订经济系统的生产计划。

但是在执行计划时，可能由于不可预测的原因，导致系统某些部门的最终产品出现缺口(计划产量小于需要量)，或者某些部门的最终产品出现余量(计划产量大于需求量)，从而破坏了经济系统原计划的平衡性。

建模案例一：投入产出分析实例 一个城镇有三个主要企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。

生产价值一元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值一元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值一元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤费、0.10元的电费和0.10元的运输费。

假设在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求外，煤矿还得到了50000元的订单，电厂得到了25000元的电量供应要求，而地方铁路得到了价值30000元的运输需求。

试问：（1） 这三个企业在这个星期各生产多少产值才能满足内外需求？（2） 除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。

（3） 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？解：（1）设煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为123,,x x x 元，由于“中间产品（作为系统内各企业的消耗）＋最终产品（外部需求）＝总产品”，从而建立分配平衡线性方程组为12311232123300.400.45500000.250.050.10250000.350.100.1030000x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩记12300.400.45500000.250.050.10,,250000.350.100.1030000x A x x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭则可以将线性方程组写成矩阵形式Ax y x +=，即()E A x y -=通过求解此线性方程组，即可求出三个企业在这个星期内生产的总产值123,,x x x 。

>> A=[0,0.40,0.45;0.25,0.05,0.10;0.35,0.10,0.10];>> y=[50000,25000,30000]';>> B=eye(3)-A;>> x=B\yx =1.0e+005 *1.14460.65400.8511所以，煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为12114460,65400,x x ==385110x =元。

第八章 地区间投入产出模型地区间投入产出模型是利用地区间商品和劳务流动，将各地区投入产出模型联接而成的模型。

地区间投入产出模型系统、全面地反映了各个地区各个产业之间的经济联系，并对各个地区间商品和劳务流动进行了描述，是进行地区之间产业结构和技术差异比较、分析地区间产业相互联系与影响、资源在地区间的合理配置、地区经济发展对其它地区经济的带动作用和溢出、反馈效应等研究的重要基础工具。

根据编制方法与表式的不同，地区间投入产出模型可分为IRIO 与MRIO 两类。

IRIO 模型的英文为Interregional Input-Output Model ，由Isard （1951）首先提出，因此也称为Isard 模型。

该模型要求把所有产业按区域进行划分，不仅要编制各地区内的流量矩阵，还需要对各地区产品对其它地区的流向进行调查，即要编制分地区、分部门的地区间产品流量矩阵，是一个流入非竞争型模型，对基础数据的需求量非常大，编制比较困难。

MRIO 模型则相应对数据资料要求较少，英文为Multiregional Input-Output Model ，其编制原则中应用最广的是由Chenery （1953）和Moses （1955）先后独立提出的列系数方法，也称为Chenery-Moses 方法。

本章第一节和第二节将分别对IRIO 模型和MRIO 模型进行介绍，第三节将对地区间投入产出表的编制方法进行介绍。

第一节 地区间IRIO 模型一、两地区IRIO 模型实例我们首先以两地区IRIO 模型为例，对地区间IRIO 模型进行介绍。

以上标r 、s 分别表示地区，并假设r 地区有3个生产部门（1，2，3），s 地区有2个生产部门（1，2）。

由此，地区r 内部的中间投入矩阵可以表示为rrZ ，r 对s 地区的中间投入矩阵可以表示为rsZ 。

其中，rrZ 和rsZ 分别由9个、6个元素组成。

同理，对地区s 而言，同样存在地区内的中间投入矩阵ssZ 和地区s 对地区r 的中间投入流量矩阵srZ 。

一个地区价值型投入产出分析的实例投入产出分析是一种应用广泛且经受住了实践检验的经济数量分析方法。

自美国经济学家瓦西里列昂惕夫（Wassily Leontief）于1936年创立投入产出分析方法以来，历经半个多世纪的发展，其理论和方法均比较成熟，在世界绝大多数国家和地区得到了广泛的应用，成效显著。

本文主要对投入产出的产生发展等内容做一简介，随后用一个价值型的投入产出模型来分析其反映的经济问题。

一、投入产出分析的简介（一）投入产出分析的概念、产生及思想渊源投入产出分析（投入产出法）是反映经济系统各部分（如各部门、行业、产品）之间的投入与产出间的数量依存关系，并用于经济分析、政策模拟、经济预测、计划制定和经济控制等的数量分析方法。

投入产出分析是美国经济学家瓦西里列昂惕夫（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出来的，并因此而荣获1973年诺贝尔经济学奖。

投入产出分析产生的思想渊源，最早可追溯到18世纪法国重农学派的代表人物魁奈的《经济表》，但是更直接的影响是19世纪下半期法国的数理经济学派里昂.瓦尔多提出的《全部均衡论》及其数学模型和原苏联“1923与1924年度国民经济平衡表”的有关概念和棋盘式表格的经验。

列昂惕夫的投入产出法分析是在前人工作成果的基础上创立起来的，是有其复杂历史渊源的。

（二）投入产出分析的发展投入产出分析的数量经济分析方法已由提出时的由国家为对象发展到研究地区、地区间、部门、部门间、企业以及国际投入产出间的数量依存关系。

早期的投入产出模型只是静态的投入产出模型，二、下面就以X地区X年的投入产出表为例，看一下投入产出分析在经济分析中的应用。

X地区X年的投入产出表（一） （一）反映本地区生产与分配使用的数学模型1nj xij =∑+c i+ki=X i （1）式中，x ij --本地区第j 部门生产中所消耗本地区第i 部门产品的数量;c i --本地区第i 部门的消费; k i--本地区第i 部门的积累; X i --本地区第部门的总产出。

线性代数在经济管理中的应用投入产出模型目录12 3模型思路应用举例模型简介投入产出模型是什么？投入产出模型如何建？投入产出模型怎么用？Wassily Leontief 列昂惕夫：投入产出分析方法创始人☐1936年，发表了《美国经济体系中投入产出的数量关系》☐1973年，因发展了投入产出分析方法及这种方法在经济领域产生和重大作用，而备受西方经济学界的推崇并因此获得诺贝尔经济学奖☐1941年，出版了投入产出分析的第一本专著《美国经济的结构，1919～1929》☐从数量上系统地研究一个复杂经济实体的各不同部门之间相互关系的方法投入产出分析:研究实际经济问题☐投入产出模型是通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。

宏观经济预测2投入产出模型思路基本假设：假定一个国家的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。

每个部门的产出向量是一个n 元列向量x，考虑该国要向外提供产品，设d 为外部需求向量，表示其他国家和部门对该国经济体的需求，如政府消费、出口贸易和战略储备等。

投入产出模型思路2投入产出模型:核心问题为了满足外部的最终需求向量d，各生产部门的实际产出x应该是多少？内部需求外部需求实际产出x投入产出模型思路2基本假设：对于每个部门，存在一个在n 维单位消耗列向量，它表示第i 个部门每产出一个单位（比如100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。

把这n 个并列起来，就可以构成一个的系数矩阵，成为内部需求矩阵V 。

由于要向外部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。

v i n n v i【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业和服务业三部门组成。

各部门的单位消耗列向量如下表所示。

向下列部门购买每单位输出的输入消耗制造业农业服务业制造业0.50.40.2农业0.20.350.15服务业0.150.10.3v 1v 2v 3【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业和服务业三部门组成。