一．课题：三角函数的最值
二．教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 三．教学重点：求三角函数的最值． 四．教学过程：
（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：
①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助
角
(cos ϕϕϕ=
=
，化
为
)y x c ϕ=++求解方法同类型①；
③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；
④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i n
c o s t x x =±化为二次函数2(1)
2
a t y bt c -=++±
在闭区间[t ∈上的最值求之；
⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at b
y t
+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最
值； ⑥sin sin a x b
y c x d
+=
+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．
（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．
（三）例题分析：
例1．求函数sin cos()6
y x x π
=+-的最大值和最小值．
解：3sin cos cos sin sin
sin )6626
y x x x x x x ππ
π=++=+=+．
当23
x k π
π=+
，max
y =223
x k π
π=-
，min y =()k Z ∈．
例2．求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．
解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，
令s i n c o s |2)
x x t +
=，则21s i n c o s 2t x
x -=，∴22113
24(2)222
t y t t -=
-+=-+．
∵2[t =∉
，且函数在[
上为减函数，∴当t =时，即2()4
x k k Z π
π=+
∈
时，
min 92y =
-
t =32()4x k k Z ππ=-∈
时，max 92
y =+．
例3．求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈
，求函数y =的最大值；
（2）已知(0,)x π∈，求函数2
sin sin y x x
=+的最小值． 解：（1
）11
2
3sin sin y θθ
=
≤
=+
，当且仅当sin θ=max 12y =．
（2）设sin (01)x t t =<≤，则原函数可化为2
y t t
=+，在(0,1)上为减函数，∴当1t =时，min 3y =． 说明：sin sin a
y x x
=+
型三角函数求最值，当sin 0x >，1a >时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．
例4．求函数2cos (0)sin x
y x x
π-=
<<的最小值．
解：原式可化为sin cos 2y x x +=(0)x π<<，引入辅助角ϕ，1
tan y
ϕ=
，得
)2x ϕ+=，∴
sin()x ϕ+=
|
|1≤，得y ≥y ≤．
又∵1cos 1x -≤≤，∴2cos 0x ->，且sin 0x >，故0y >．∴y ≥max y ．
例5．《高考A 计划》考点32，智能训练10：已知sin sin αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是 ．
解：∵2
2
23(sin sin )(cos cos )2cos()4y αβαβαβ+++=+-=
+，∴25
2cos()4
y αβ=+-，故当
cos()1αβ-=时，max y =
．
（四）巩固练习：
1．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9x π
=
时，取得最大值
12，当49x π=时，取得最小值12
-，
则该函数的解析式是 （ B ）
()A 12sin()3y x π=- ()B 1sin(3)26y x π=+ ()C 1sin(3)26y x π=- ()D 1sin(3)26
y x π
=-+
2．若方程cos2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈[3,1]-．
五．课后作业：《高考A 计划》考点32，智能训练6，8，9，12，13，14．
