简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导
一．等截面细直梁的横向振动
取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y=y(x,t) (1) 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：
22y EI M x ∂=∂
(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。在这些规定下，有：
M Q Q q x x ∂∂==∂∂， (3) 于是，对方程（2）求偏导，可得：
222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4) 考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：
3434y y EI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5) 方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为
22y q t ρ∂=-∂
(6) 其中ρ代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：
4242y y EI x t ρ∂∂=--∂∂ (7) 其中2
/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为：
y(x,t)=X(x)Y(t) (8) 将式（8）代入（7），得： 224241Y a d X Y t
X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。将这一常数记为-p 2.
于是有：
2220Y p Y t
∂+=∂ (10) 44240,/d X X p a dx
ββ-== (11) 方程（10）的通解为：
Y （t ）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B 为积分常数。
方程（11） 的通解为：
1234(x)cos sin X C ch x C sh x C x C x ββββ=+++ (13)
二．简支梁的固有振型和固有频率 简支梁的边界条件为：
X （0）=0，X ’’(0)=0.
X （l ）=0，X ’’(l)=0 所以有：1230C C C ===
特征方程为:
sin 0l β= 由此得特征值为：,1,2,i i l l
πβ=
=⋅⋅⋅ 与此相应的固有频率为
(i )1,2,i p l π==⋅⋅⋅ 而对应的振型函数为 (x)sin sin
,1,2,i i i X x x l l πβ===⋅⋅⋅
王舒雅，1130109125
