第三章 二阶线性常系数微分方程
1.考虑两个参数的线性方程组
.Y a b b a dt dY ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛= 若)0,0(分别是鞍点、汇、源，试在平面上确定出相应的区域。
解：方程的特征方程为0)(22
22=-+-b a a λλ. 解得特征根为b a b a ±=±=2
2,1λ。
需分类讨论：
（I ）当0>b 时，知b a b a +=<-=21λλ。 （i ）当0<+<-b a b a ，即b a -<时，)0,0(是汇。 （ii ）当b a b a +<<-0，即b a b <<-时，)0,0(是鞍点。 （ii ）当b a b a +<-<0，即b a >时，)0,0(是源。 （II ）当0-=21λλ。 （i ）当0<-<+b a b a ，即b a <时，)0,0(是汇。 （ii ）当b a b a -<<+0，即b a b -<<时，)0,0(是鞍点。 （ii ）当b a b a -<+<0，即b a ->时，)0,0(是源。
图3-1
2.求解下列给定二阶微分方程的通解:
（1）076
22=--y dt
dy
dt y d 解：方程的特征方程为0762
=--λλ. 解得特征根为1,721-==λλ. 因此，t
t
e t y e t y -==)(,)(271 为齐次方程的两个解。
设21,k k 为常数，使得 0271≡+-t
t
e
k e k 。
将上式两端求导得 07271≡-t
t
e k e k 。
令0=t 得⎩⎨⎧=-=+.
07,02121k k k k 由此得021==k k 。因此，t e t y 71)(=与t e t y -=)(2线性无
关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为
t
t
e c e c t y -+=271)(。
（2）096
22=++y dt
dy
dt y d 解：特征方程：0962
=++λλ. 解得特征根为321-==λλ. 因此，t t
te t y e
t y 3231)(,)(--== 为齐次方程的两个解。
设21,k k 为常数，使得 03231≡+--t t
te k e
k 。
将上式两端求导得 03)3(32312≡----t t
te k e
k k 。
令0=t ，得021==k k 。因此，t
e t y 31)(-=与t
te
t y 32)(-=线性无关。则由二阶齐次
常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为
t t
te c e c t y 3231)(--+=。
（3）0258
22=++y dt
dy
dt y d 解：特征方程：02582
=++λλ. 解得特征根为.34,3421i i --=+-=λλ. 因此，t e t y t e
t y t t
3sin )(,3cos )(4241--== 为齐次方程的两个解。
设21,k k 为常数，使得 03sin 3cos 4241≡+--t e k t e
k t t
。
将上式两端求导得 03sin )43(3cos )34(421421≡--++--t e k k t e
k k t t
。
令0=t 得021==k k 。因此，t e
t y t
3cos )(41-=与t e t y t 3sin )(42-=线性无关。则由
二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为
t e c t e
c t y t t
3sin 3cos )(4241--+=。
（4）0127
22=++y dt
dy
dt y d 解：特征方程：01272
=++λλ. 解得特征根为4,321-=-=λλ. 因此，t t
e t y e
t y 4231)(,)(--== 为齐次方程的两个解。
设21,k k 为常数，使得 04231≡+--t t
e k e k 。 将上式两端求导得 0434231≡----t t
e k e
k 。
令0=t ，得⎩⎨⎧=--=+.
043,02121k k k k 由此得021==k k 。因此，t e t y 31)(-=与t e t y 42)(-=线
性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为
t t
e c e
c t y 4231)(--+=。
（5）0922=+y dt
y
d
解：特征方程：092
=+λ. 解得特征根为i 321-==λλ.
因此，t t y t t y 3sin )(,3cos )(21== 为齐次方程的两个解。
设21,k k 为常数，使得 03sin 3cos 21≡+t k t k 。 将上式两端求导得 03cos 3sin 321≡+-t k t k 。
令0=t ，得021==k k 。因此，t t y 3cos )(1=与t t y 3sin )(2=线性无关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为
t c t c t y 3sin 3cos )(21+=。
（6）0102
22=+-y dt
dy
dt y d 解：特征方程：01022
=+-λλ. 解得特征根为i i 31,3121-=+=λλ.
