初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题02 从求根公式谈起_答案[精品]

2020-2021初三培优一元二次方程组辅导专题训练含答案一、一元二次方程1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．2．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m 2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.4．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥， 解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=Q ， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ，4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．5．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣16． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;或( x≥m) ；7．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．8．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.11．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k -≤，得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．12．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+Q 方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m Q ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．14．如图，一艘轮船以30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km ．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t 15由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(1515h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。

初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。

【例3】 解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

初三数学培优资料1(共44页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-初三数学培优资料第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的.求根公式是：x=a acb b24 2-±－. (b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根⇔p2－4q是整数的平方数.3.设x1, x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；②x1=aacbb242-＋－，x2=aacbb242-－－(a≠0, b2－4ac≥0)；③韦达定理：x1+x2=ab－, x1x2=ac(a≠0, b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0⇔x1=0 ， a+b+c=0⇔x1=1 ，a－b+c=0⇔x1=－1.二、例题例1.已知：a, b, c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)有一个公共根. 求a, b的值.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0.那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.）5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9.10.9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110.已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根. 求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解第二讲：未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要1、在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.2、解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题解析：例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.三、巩固练习：1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方元，厂方把这元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：①0-+xx+-y1=13122+② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，出发后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。

初三数学竞赛专题——求根公式一、选择题1．设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0 (全国初中数学联赛题) 答案：A2．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x (2002年重庆市竞赛题)答案：D3．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2．5 (北京市竞赛题) 答案：B4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A ．b a =B ．0=+b aC ．1=+b aD ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题)答案：D5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A 6．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )A ．2B ．1C ．3D ．4 (第十五届江苏省竞赛题) 答案：C7．已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 答案：C二、填空题8．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． (2001年北京市海淀区中考题) 答案：51±9．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．答案：310．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

则代数式a 200012000120003+++的值为 ．(2003年河北省竞赛题) 答案：288935+ 11．满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．(2002年全国初中数学竞赛题)答案：4312．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．(2001年四川省中考题)答案：213．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)答案：7-或6三、解答题14．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值．答案：4115．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值． (四川省选拔赛题)答案：7=p ，1=q16．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．答案：（1）当1=m 时，2=x ；当1≠m 且1211>m 时，)1(21112212,1--±-=m m m x ；当1≠m 且1211=m 时，521==x x ；当1≠m 且1211<m 时，方程无实数根（2）2512,1+±=x （3）121-==x x ，5234,3±-=x 17．设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．(2000年重庆市竞赛题) 答案：62-18．解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．答案：6（1）当1=a 时，方程的根为21=x ；当0>a 且1≠a 时，方程有两个不相等的实数根11-+=a a a x ，12--=a a a x ；当0=a ，方程有两个相等的实数根021==x x ；当0<a 时，方程没有实数根19．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．(2003年全国初中数学联赛题)答案：由已知有：a x b -=1，12---=ax x a x c ，代入x d c =+1得0112=+---d ax x a x ，即01)2()1(23=++--+-ad x a d x ad dx ，又由x a d =+1得ax ad =+1，代入上面的方程得0)2)((3=--x x a d ，由已知0≠-a d ，故023=-x x ，若0=x ，则c a =矛盾，故有22=x ，即2±=x20．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ．答案：6 21．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．答案：2=m ，公共根α=122．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：ABBS 为无理数．(上海市竞赛题)答案：如图，设BC=a ，边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，由△ASR ∽△ABC ，得ay h x h =-，∴a h x h y ⋅-=，∵PQRS ABC nS S 矩形=∆，∴a h x h nx nxy ah ⋅-⋅==21，整理得02222=+-h nxh nx ，∴n n n h x 221212-±=，显然22)1(2-<-n n n ，又3≥n ，∴22)2(2->-n n n ，故n n 22-不是完全平方数，从而n x 为无理数，于是hx BA BS =为无理数23．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题) 答案：124．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值． 答案：199325．已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值． 答案：5。

初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)第3讲一元二次方程的解法(P13----16)第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26)第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)第9讲圆的基本性质(P47----51)第10讲圆心角和圆周角(P52----61)第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)第13讲弧长和扇形面积(P76----78)第14讲概率初步(P78----85)第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108)第18讲相似三角形的性质(P109----117)第19讲相似三角形的判定(P118-----124)第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）ABCD【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=B不能化简；=D==.故本题应选D.【变式题组】6a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ABCD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=B4=C=D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）A ．2B ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=.选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15===中找出规律，并利用这一规律计算：1)++⋅=L _________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B C ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b =那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式11-【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-.【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +--+g＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．（五羊杯）已知1m =1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国）如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b），所以2(2)a b =+=a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（2++L【例５】（五羊杯）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京)已知a 、b 均为正数，且a＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________ 02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C．10D．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．（北京）若有理数x 、y、z 1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京）正数m 、n 满足430m n +-==__________06．（河南）若1x =+，则32(2(15x x x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级01．（信利）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉）如果a b +a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴）当x =32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=则29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（3+++L（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()a b-，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=>12．已知自然数x、y、z0=，求x＋y＋z的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

新课标九年级数学竞赛培训第01讲：求根公式© 2011 菁优网一、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）1、满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有_________个．2、已知a，b为实数，且+|b﹣|=0，则关于x的方程（a+2）x2+b2=a﹣1的解为_________．3、（2001•四川）若x2﹣3x﹣2=0，则=_________．4、已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，则x+y的值为_________．5、若x2﹣5x+1=0，则=_________．6、已知m、n是有理数，方程x2+mx+n=0有一个根是，则m+n的值为_________．7、已知a是方程x2﹣x﹣2000=0的一个正根．则代数式的值为_________．二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）8、设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A、﹣4B、8C、6D、09、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A、a=bB、a+b=0C、a+b=1D、a+b=﹣110、当分式有意义时，x的取值范围是（）A、x＜﹣1B、x＞4C、﹣1＜x＜4D、x≠﹣1且x≠411、方程（x+1）|x+1|﹣x|x|+1=0的实根的个数是（）A、0B、1C、2D、312、对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于（）A、1B、2C、D、2.513、自然数n满足，这样的n的个数是（）A、2B、1C、3D、414、设a，b都是正实数且，那么的值为（）A、B、C、D、三、解答题（共11小题，满分73分）15、是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．16、解关于x的方程（p+1）x2﹣2px+p﹣2=0．17、设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和．18、已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．19、解下列关于x的方程：（1）（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3=0；（2）x2﹣|x|﹣1=0；（3）|x2+4x﹣5|=6﹣2x．20、（2003•上海）已知x2﹣2x=2，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣1）的值．21、已知，求的值．22、已知m、n是方程x2+2003x+7=0的两根，求（m2+2002m+6）（n2+2004n+8）的值．23、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连接起来，如图所示，若小正方形面积为，求n的值．24、已知方程x2﹣3x+1=0的两根α、β也是方程x4﹣px2+q=0的根，求p、q的值．25、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：需为无理数．答案与评分标准一、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）1、满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有4个．考点：负整数指数幂。

初中九年级数学培优训练（奥数）专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba bab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式142a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.初中九年级数学培优训练（奥数）专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,2x =这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b +-=-，那么ba的值是（ ）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（ ）A B C D 、9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a -=，那么代数式1||a a+=（ ）A B 、 C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，初中九年级数学培优训练（奥数）专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．初中九年级数学培优训练（奥数） 专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】 解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(33=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（ ）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211ba +的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .（四川省竞赛试题）10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________.（《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y yy x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）初中九年级数学培优训练（奥数）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b＝（四川省中考试题）3.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示.（1）这个二次函数的解析式是y＝_________；（2）当x＝________时，3=y；（3）根据图象回答，当x_______时，0>y. （常州市中考试题）4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题）5.二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是（）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数cbxxy++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）A.过点（3，0）B.顶点是（2，－2）C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是（0，3）（盐城市中考试题）7.如图，抛物线cbxaxy++=2与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE ＝BE，则下列关系式不能总成立的是（）（大连市中考试题）A.0=b B. 2cSABE=∆C.1-=ac D.0=+ca第7题图第8题图8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D 点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题)5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）。

第二讲一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺.一日师傅韦达对小精灵逍：“师傅给你一件随身法宝——“△”，岀去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到''方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：''晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x24-2n^7y2-10.Y-18.y+19=0,并且问道：“你能说出实数x、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y看成已知数，把它整理成关于x的一元二次方程2 + (2$—10比+(7尸一18〉，+⑼=0.好哇！因为x是实数，上而的方程必有实数根，所以上0,即(2y-10)2 -4x2(7y2-18y+19)>0,可得(>—1)2<0, 一下子便得到了)=1,再将1代人原方程就可得x=2.小精灵这里用的法宝“△”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式.一元二次方程卅+加+。

=0 (“丸)，当A>0时，有两个不相等的实数根；当』=0时，有两个相等的实数根：当AV0时，没有实数根，反过来也成立.知识延伸】例1已知关于x的二次方程0+肿+©=0与"+必卄92=0,求证：当刃力=2(0+化)时，这两个方程中至少有一个方程有实根.证明设这两个方程的判别式为■，则厶|+4=斤+局一4如+砂.：°/刀“2 = 2(</1+§2),.*.A1+A2= P I + Pt ~2p\pi =(J)1 —/?2)2>0.AAi>0与A2>0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根.点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明A.+A2>0：本题还可用反证法来证明，即假设WO且A2<0,则A14-A2<O,但A1+A2=(/71~P2)2>O，两者矛盾，从而导出原题结论成立.例2求函数y=(4-x)+2jF +9的最小值.解析设"=2 yjx2 +9 —x,则“>0 且y=4+“..•.(“+劝2=4("+9),即3Q—2”x+36—“2=0.•:xWR,故以上方程有解.A=(2w)2-4x3x(36-w2fe0,即u>27.又“>0,：.U>3y/3.y = 4-X + 2W+9的最小值为4 + 3血(当x=^3时取得).好题妙解】佳题新题品味例【L知实数"[,“2 , “3，“4 满足("f + «22 )«42 ~ 加2 ("l + “3 )“4 + U2 + Ct3= ° '求证：“2'之】，“3解析把已知等式看成关于心的方程。

第1讲二次根式的性质和运算欧阳家百（2021.03.07）考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程480x-=，当y＞0时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y2y=，则xy的值(0是__________.32=+，则x－y的值为（）()x yA．－ 1 B．1C．2 D．34．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝________.a c2(4)0【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）D．AA=B=D=，=.故本题应选D.【变式题组】6．如果最简二次根式是同类二次根式，则a ＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和 B．和C．D．和8．已知最简二次根式ba ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ）A=4=C= D．(11-=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D.2(111=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）A．= B=C3= D3=-10．计算：200720074)(4⋅-=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A ．aB ．－aC ．－1D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝的值为（ ）AB ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ． 【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+⋅=_________. 16．已知，则0＜x ＜1，则=_________. 【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】 17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4-的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =+(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．（绵阳）已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝=那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a = 13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a ---，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D ．08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式. 经典·考题·赏板【例１】（河北竞赛）已知2=，那么__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形.解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式-11【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．= ）A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=，∴0= ∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B .【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.1)a=<<，求代数式22632x x xx x x+-+÷-.【解法指导】视x－2，x2-4x=移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约.解：平方得，12x aa=++，∴12x aa-=+，2221442x x aa-+=++，222142x x aa-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x xx x+---+＝2211()1()211()a aa aa aa a aa a++-+-=++--【变式题组】4．（武汉）已知32xx+=+，求代数式35(2)242xxx x-÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m=，1n=-，且22(714)(367)8m m a n n-+--=，则a的值等于（）A．－5B．5C．－9D．9【例４】（全国竞赛）如图，点A、C都在函数0)y x=>的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则，CFb ，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b），所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D 的坐标为（,0） 【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四） （1）请你用不同的方法化简352+； ①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） ②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（22n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE =，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U ＝演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________ 05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-==__________ 06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y +=，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．（全国联赛）7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2 （34947+ （4）10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b ---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足等式0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》讲义第2讲一元二次方程应用（有答案）1、了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的状况，并会用判别式求一元二次方程中契合题意的参数取值范围。

〔1〕∆=ac b 42-〔2〕根的判别式定理及其逆定理：关于一元二次方程02=++c bx ax 〔0≠a 〕①、当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根； 当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根； 当⎩⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根； ②当⎩⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2、罕见的效果类型〔1〕应用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的状况〔2〕方程中根的状况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 〔3〕运用判别式，证明一元二次方程根的状况①先计算出判别式〔关键步骤〕；②用配方法将判别式恒等变形；③判别判别式的符号；④总结出结论.〔4〕分类讨论思想的运用：假设方程给出的时未指明是二次方程，前面也未指明两个根，那一定要对方程停止分类讨论，假设二次系数为0，方程有能够是一元一次方程；假设二次项系数不为0，一元二次方程能够会有两个实数根或无实数根。

〔5〕一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式〔组〕等知识综合命题，解答时要在片面剖析的前提下，留意合理运用代数式的变形技巧〔6〕一元二次方程根的判别式与整数解的综合 知识点二：根与系数的关系1、假设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的两根，依据韦达定理，2、提示：应用根与系数的关系解题时，一元二次方程必需有实数根。

3、应用韦达定理求一些重要代数式(2212x x +、1211x x +、12x x |-|)的值： 解题小窍门：当一元二次方程的标题中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

第二局部 考点精讲精练考点1、根的判别式运用例1、关于x 的一元二次方程3x 2+4x-5=0，以下说法正确的选项是〔 〕A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定例2、假设关于x 的一元二次方程x 2+2x-m=0有实数根，那么m 的取值范围是〔 〕 A ．m≥-1 B ．m≤-1 C ．m ＞1 D ．m ＜1例3、方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕中，，那么该方程〔 〕A ．一定没有实数根B ．一定有两个不相等的实数根C ．一定又两个相等的实数根D ．只要一个实数根例4、假定关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，那么k 的非负整数值是 ．例5、关于x 的方程xa -2=1+x 有一个根，那么a 的值为 ． 例6、a 取什么值时，方程a 〔a-2〕x=4〔a-2〕 ①有独一的解？②无解？③有有数多解？④是正数解？举一反三：1、假设关于x 的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是〔 〕A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＜1且k≠0D ．k ＞12、以下方程中没有实数根的是〔〕A．x2+x-1=0 B．x2+8x+1=0 C．x2+x+2=0 D．x2-6x+2=03、关于x的方程〔a-5〕x2-4x-1=0有实数根，那么a满足_______．4、假定关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，那么k的取值范围是．5、：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0〔1〕不解方程，判别方程根的状况；〔2〕假定方程有一个根为3，求m的值．6、a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．〔1〕求a的最小值；〔2〕当a到达最小时，解这个方程．考点2、根与系数的关系例1、假定关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程能够是〔〕A、x2+3x-2=0 B、x2+3x+2=0 C、x2-3x+2=0 D、x2-2x+3=0例2、α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．-1 B．9 C．23 D．27例3、假定方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，那么p+q=〔〕A.-6B.-7C.-8D.-9例4、假定关于未知数x的方程x2+〔m+2〕x+m+5=0的两根都是正数，那么m的取值范围是．例5、关于x的方程x2-〔m+5〕x+3〔m+2〕=0．〔1〕求证：无论m取何实数值，方程总有两个实数根；〔2〕假设Rt△ABC的斜边长为5，两条直角边长恰恰是这个方程的两个根．求△ABC 的面积．举一反三：1、关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，那么另一根是〔〕A．4 B．1 C．2 D．-22、设a，b是方程x2+x-2021=0的两个根，那么a2+2a+b的值为〔〕A. 2020B. 2010C. 2021D. 20213、假定方程x2+〔m2-1〕x+m=0的两根互为相反数，那么m= ．4、设α，β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，那么α2+4α+β=．5、关于x的一元二次方程x2+2〔2一m〕x+3-6m=0．〔1〕求证：无论m取何实数，方程总有实数根；〔2〕假定方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．6、关于x的一元二次方程x2+〔a+1〕x+a2-3=0的两个实数根的平方和为4，求a的值．考点3、配方法的运用例1、P=2x2+4y+13，Q=x2-y2+6x-1，那么代数式P，Q的大小关系是〔〕A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q例2、a2+10a+b2-4b+29=0，那么a+b的值是〔〕A．-1 B．-3 C．-2 D．0例3、x2+y2-2x-4y+5=0，分式的值为．例4、a2b2+a2+b2+1=4ab，那么a= ，b= ．例5、阅读以下资料，解答效果：例：设y=x2+6x-1，求y的最小值．【解析】y=x2+6x-1=x2+2•3•x+32-32-1 =〔x+3〕2-10∵〔x+3〕2≥0∴〔x+3〕2-10≥-10即y的最小值是-10．效果：〔1〕设y=x2-4x+5，求y的最小值．〔2〕：a2+2a+b2-4b+5=0，求ab的值．例6、我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．〝配方法〞是处置数学效果的一种重要方法．请应用以上提示处置下题：求证：〔1〕不论m取任何实数，代数式4m2-4〔m+1〕+9的值总是正数〔2〕当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．举一反三：1、假定a，b都是有理数，且a2-2ab+2b2+4b+4=0，那么ab等于〔〕A．4 B．8 C．-8 D．-42、实数x，y满足，那么x-y= ．3、假定a，b都是有理数，且a2-2ab+2b2+4a+8=0，那么= ．4、，求的值．5、a、b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求等腰△ABC的周长．6、阅读资料：把形如ax2+bx+c的二次三项式〔或其一局部〕配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本方式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=〔a±b〕2．例如：x2-2x+4=x2-2x+1+3=〔x-1〕2+3是x2-2x+4的一种方式的配方，x2-2x+4=x2-4x+4+2x=〔x-2〕2+2x是x2-2x+4的另一种方式的配方…请依据阅读资料处置以下效果：〔1〕对比下面的例子，写出x2-4x+1的两种不同方式的配方；〔2〕x2+y2-4x+6y+13=0，求2x-y的值；〔3〕a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值．第三局部课堂小测1、关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的状况是〔〕A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2、假定方程8x2+2kx+k-1=0的两个实数根是x1，x2且满足x12+x22=1，那么k的值为〔〕A．-2或6 B．-2 C．6 D．43、关于x的方程x2-〔a2-2a-15〕x+a-1=0两个根是互为相反数，那么a的值为______．4、关于x的方程mx2-2〔3m-1〕x+9m-1=0有实数根，那么m的取值范围是。

初三培优竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的描述，正确的是（）。

A. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根B. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C. 当Δ<0时，方程没有实数根D. 以上说法均正确答案：D2. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A3. 已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），则k和b的值分别是（）。

A. k=1，b=1B. k=-1，b=1C. k=1，b=-1D. k=-1，b=-1答案：B4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么这个三角形的周长是（）。

A. 14B. 16C. 18D. 205. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，那么△ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B6. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1或-1答案：D8. 已知一个等差数列的首项为a₁，公差为d，那么这个数列的第n项可以表示为（）。

A. a₁+(n-1)dB. a₁-(n-1)dC. a₁+ndD. a₁-nd答案：A9. 已知一个二次函数的顶点坐标为（2，3），且经过点（1，1），那么这个二次函数的解析式是（）。

A. y=(x-2)²+3B. y=(x-2)²-3C. y=(x-1)²+3D. y=(x-1)²-3答案：A10. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1）和（2，-3），那么这个二次函数的解析式为：________。

专题29 方程思想例1. -1 提示：a 、b 是方程01))((=-++d x c x 的两个根，由根的性质得)(1))((b x a x d x c x --=-++）（，将x = - c 代入上式得－1=(－c －a )(－c －b )，即(a +c )(b +c )=－1． 例2 B 例3 A 提示：解法一：∵42423x x-=， 22222()()3x x ∴-+-=．又y 4+y 2=3，即（y 2)2+y 2=3，且220x -<，y 2≥0，∴220x-<，y 2是一元二次方程t 2+t －3=0的两个不等实根．由韦达定理，222y x -+=－1，222y x -=－3，4222422422()2()y y y x x x∴+=-+--=1+6=7． 解法二：∵x 2>0，y 2≥0，由已知条件得21x y 2=，∴4224224223367y y y x x x+=++-=-+=． 例42,3,4xy xz yz x y x z y z ===+++，1112x y ∴+=①，1113x z +=② 1114y z +=③． ①+②－③得2111234x =+-，解得x =247;①+③－②得2111243y =+-，解得245y =；②+③－①得2111342z =+-，解得z =24．∴7x +5y－2z =0． 例5 分当BP ≤14AB ，14AB <BP <12AB ，BP =12AB 三种情况讨论．当BP =4040640,,5,2111231时，HDE 为等腰三角形．例6 由题意得222612a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+⎧⎪++=⎪⎪⎨+=⎪⎪=⎪⎩①②③④由①②得2c <a +b +c =6<3c ，∴2<c <3 ⑤．由②有（a +b )2=(6－c )2，将③④代入得3C =9－s ，∴有6<3c <9，从而3C =7或3c =8．若3c =7，则s =2，代入②④得a +b =113，ab =4，由于此时方程组无解，故此情形不可能；若3c =8，则s =1，此时a +b =103，ab =2．解得a b =而c =83，以这三个数为边长构成唯一的直角三角形．能力训练 1．－2 提示：2251a a a -=∴==-，∴a 2+a =1，3232332()2()2212(1)a a a a a a a a a a a a a a +--++--+∴=---=332211(1)21a a a a a a--=-=-++=---． 2．1 6 提示：六位同学读过的书的总本数等于六本书被读过的人次总数． 3．∵x －y =2，即x ≠y ，∴x ，y 是方程2z 2－2z +k =0的两根，x +y =1，xy =2k ，又x －y =2，∴k =2xy =－32． 4．4 由x +y =－z ，xy =2z知，x ，y 是方程t 2+zt +2z=0的两根，由Δ≥0得z ≥2，又|x |+|y |=－(x +y )=z ≥2． 5．设∠BAC =x ，则'2,4,''4B BD x CBD x AA B ABA CBD x ∠=∠=∠=∠=∠=，01'(180)2A AB x ∠=-，∴01(180)2x -+4x +4x =1800，解得x =120． 6．B 7．C 提示：设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分别有x ，y ，z 盒，则22853140x y x x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×8－②得3y +5z =36，5z =36－3y ≤36．由此可知z ≤7，且3y ，36均是3的倍数知z 是3的倍数．∴z 的可能值为0 ，3，6，相应的y 的值为12，7，2．∴共有3组解：10120x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1273x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，1426x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 8．C 9．A 提示：设甲现在x 岁，乙现在y 岁，x >y ，则有()10()25y x y x x y --=⎧⎨+-=⎩， 10．D 提示：由已知得a 4+3a 2－1=0，211()3()10b b +-=，∴a 2，1b 是方程x 2+3x －1=0的根．又由a 2b ≠1得a 2≠1b ，由根与系数关系得a 2+1b=－3，2a b=－1，∴6326222331111()[()3]36a b a a a a b b b b b +=+=++-=-． 11．22263x xy y ≤-+≤ 提示：设22222x xy y m x xy y ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，则22m xy -=，(x+y )=，∴x ，y 是方程2202m z -+=的两个实根．由Δ≥0得m 23≥，又26()02m x y -+=≥，263m ∴≤≤． 12．sin CBF =23，BC 提示：；连结OE ，DF ，则OE ∥BF ，∴AE ：EF =AO ：OB =3：1，OE ：BF =3：4，∴AE =3EF ，AO ：AB =3：4． 设OB =r ，则AO =3r ，BF =43r ，AD =2r ． 由AE ·AF =AD ·AB 得EF ．在Rt ΔABC 中，BC 2=CF ·CE =4（4+EF ）=AC 2－AB 2，解得r ，sin ∠CBF =sin ∠BDF =FB DB ． 13．设DP =x ，则PC ，AB y =AB ·S ΔABP =2(1)2(1)x x +-，即x 2+2(1－y )x +1+2y =0．由Δ≥0得y ≥4，故AB ·S ΔABP 的最小值为4． 14．由题设知x 1=a 1，x 2=a 2是一元二次方程（x +b 1）(x +b 2)－1=0的两根，∴（x +b 1）(x +b 2)－1=（x 1－a 1）(x 2－a 2)．令x =－b 1，得（a 1+b 1）(a 2+b 1)=－1；令x =－b 2，得（a 1+b 2）(a 2+b 2)=－1． 15．设A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2+bx+c的两根，∴x 1+x 2=b a -＜0，x 1x 2=c a＞0，则x 1＜0，x 2＜0.∵方程有两个不相等的实根，∴△=b 2-4ac ＞0，得b ＞.∵11OA x =＜，21OB x =＜，即-1＜x 1＜0， -1＜x2＜0，∴121cx x a=＜，得c<a ②．从而a ≥1，故抛物线开口向上．旦当x=-1时，y>0．∴2(1)(1)0a b c-+-+＞，得b<a+c．∵b，a+c是整数，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>+1→2>1．，即a>）2≥+1）2=4，∴a≥5．又≥，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1时．抛物线y=5x2+5x+l满足题设条件，故a+b+c的最小值为5+5+l=ll. 16.设y=m2，（x-90）2=k2，m，k都是非负数，则k2-m2=7×701=1×4907，即(k+m)（k-m）=7×701=1×4907.∴7017k mk m+=⎧⎨-=⎩或49071k mk m+=⎧⎨-=⎩，解得11354,347;km=⎧⎨=⎩222454,2453.km=⎧⎨=⎩∴11444,120409;xy=⎧⎨=⎩22264,120409;xy=-⎧⎨=⎩3325446017209xy=⎧⎨=⎩4423646017209xy=-⎧⎨=⎩∴“好点”共有4个，它们的坐标分别为：（444，120409）．（-264,120 409），(2 544,6 017 209)，（-2 364,6 017 209）．17．①×②得()()b c a a c b a b ca b cbc ca ab+-+-+-++++=8→222222()()()b c a a c b a b cbc ca ab+-+-+-++=8→222222()()()44b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+--+-+=0→222222()()()b c a c a b a b cbc ca ab----+-++=0→()()()()()()b c a b c a c b a c b a a b c a b cbc ca ab---+--+-+-++++=0→[]()()()()b c aa b c a b c a b c a b cabc-+-+--++++=0→222()(2)0b c aab a b cabc-+--+=→22()()0b c ac a babc-+⎡⎤--=⎣⎦→()()()b c a c a b c a babc-++--+=故b-c+a=0或c+a- b=0或c-a+b=0，即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0．18．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶lkm磨损量为5000k，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykrn分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程．有5000300050003000kx ky k ky kx k⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则237501150003000x y +==+.19.连结AC ，BC ，O 1E ，O 2F ，设A D=a,BD=b.∵⊙O 2与AB ，CD 相切，∴O 2F=DF=x ，∴AF=AD+DF=a+x.在Rt △OFD 2中，OF 2=OO 22-O 2F 2，易证2111O F AF BF =+，即111x a x b x=++-，化简得x 2+2ax-ab=0,∴x=-a+AF 2=a （a+b ）=AD AB=AC 2，∴AF=AC.同理，BE= BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°，∴∠ECF=45°．。

专题02 从求根公式谈起思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富： ① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美；② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍) ① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x请参照例题解方程： 2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =-- ②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为c ax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换.例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是：①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解.②设出公共根，设而不求，消去二次项.能力训练A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿. 3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、07、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b +-=-，那么b a的值是（ ）A 、12+B 、12-C 、12-D 、12+-8、方程2||10x x --=的解是（ ）A 、12±B 、12-C 、12±或12-D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值. 10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a --=++，求m 的值.11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5、已知1||1a a -=，那么代数式1||a a+=（ ）A B 、 C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ） A 、1996 B 、1997 C 、1998 D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b cbc ca ab++的值为（）A、0B、1C、2D、39、已知x=，求4322621823815x x x xx x--++-+的值.10、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a--+++=①及222(1)(2)(2)0b x b x b b--+++=②（其中a，b为正整数）有一个公共根，求b ab aa ba b--++的值.。

初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)第3讲一元二次方程的解法(P13----16)第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26)第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)第9讲圆的基本性质(P47----51)第10讲圆心角和圆周角(P52----61)第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆内等积证明及变换((P70----76)第13讲弧长和扇形面积(P76----78)第14讲概率初步(P78----85)第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108)第18讲相似三角形的性质(P109----117)第19讲相似三角形的判定(P118-----124)第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.A ．①,②B ．③,④C ．①,③D ．①,④【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜1B ．m ≥2C ．m ＜2D ．m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x 、y 2(0y =，则xy 的值是__________.3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－ 1B ．1C ．2D ．34．有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ≥3C ．x ＞4D ．x ≥3且x ≠45.（怀化）22(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.【例３是同类二次根式的是（ ）ABCD【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=B不能化简；=D==.故本题应选D.【变式题组】6a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）ABCD8．已知最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A=B4=C=D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. 2(111+-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝的值为（）A ．2B ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=.选D. 【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --_______.15===中找出规律，并利用这一规律计算：1)++⋅=L _________.16．已知，则0＜x ＜1=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0=的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A.04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A =B =C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A ．B C ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b =那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a-+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中12a =. 培优升级01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式11-【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1）=________2=- ） A ．1a a -B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=的值.【例３】1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-.【解法指导】视x －2，x 2-4x=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +--+g＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】 4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．（五羊杯）已知1m =1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ） A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国）如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b），所以2(2)a b =+=a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（2++L【例５】（五羊杯）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京)已知a 、b 均为正数，且a＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________ 02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C．10D．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．（北京）若有理数x 、y、z 1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京）正数m 、n 满足430m n +-==__________06．（河南）若1x =+，则32(2(15x x x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =c =a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级01．（信利）已知1x =+2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，则x ＝__________05．已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉）如果a b +a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．B ．2001C ．1D ．007．（绍兴）当x =32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=则29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（3+++L（410．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()a b-，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=>12．已知自然数x、y、z0=，求x＋y＋z的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进展辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进展化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值〔或取值围〕.经典·考题·赏板【例１】〔荆州〕以下根式中属最简二次根式的是〔〕【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，应选A.【变式题组】1．⑴〔〕以下根式中不是最简二次根式的是〔〕x-=，当y＞0时，m的取值围是〔〕【例２】(黔东南)方程480A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】此题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，那么2－m＞0，应选C.【变式题组】2．〔〕假设实数x、y2y=，那么xy的值是__________.(03．2=+，那么x－y的值为〔〕x y()A．－1 B．1 C．2 D．3有意义的x的取值围是〔〕4．〔〕使代数式x-4A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠45.〔〕2a c--=，那么a－b－c＝________.2(4)0是同类二次根式的是〔〕A B C D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=；B不能化简；=D=故此题应选D.【变式题组】6是同类二次根式，那么a＝________．7．在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔〕ABCD8．最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】以下计算正确的选项是〔〕A=B4=C=D．(11=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥0,0)b a=≥＞进展化简计算，并能运用乘法公式进展计算.A、B中的项不能合并.D.2(111=-=-.故此题应选C.【变式题组】9. 〔聊城〕以下计算正确的选项是〔〕A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．()a〕A．a B．－a C．－1 D．013．a＞b＞0，a＋b＝的值为〔〕A．2B．2 CD．12【例５】xy ＞0，化简二次根式 〕A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．a 、b 、c 为△AB C 三边的长，那么化简a b c --+_______.15===，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．，那么0＜x ＜1=_________.【例６】〔〕⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =，b =.⑵x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．〔威海〕先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．〔〕a 是422224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】实数x 、y 满足(2008x y -=，那么3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为〔 〕A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1..【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y -=，∴(x =y =+(y -=x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，应选D.【变式题组】19．假设a ＞0，b ＞0=.演练稳固·反响提高01．假设4m =，那么估计m 的值所在的围是〔 〕A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．是正整数，那么实数n 的最大值为〔 〕 A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 03．〔〕以下根式中，不是．．最简二次根式的是〔 〕04．〔贺州〕以下根式中，不是最简二次根式的是〔 〕05．以下二次根式中，是最简二次根式的是〔 〕06．〔〕设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 那么a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的选项是〔 〕 A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．〔〕以下运算正确的选项是〔 〕A ==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号，化简的结果为〔 〕AC ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，那么x 的取值围是〔 〕A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．〔〕函数y =中自变量的取值围是________.11．〔湘西〕对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．〔荆州〕先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．〔〕先化简，再求值：((6)a a a a --，其中12a =.培优升级·奥赛检测01．〔凉山州〕一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，那么这个数是________.02．a 、b 是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对〔a ，b 〕共有________对.03．〔全国竞赛〕设a =，那么5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．〔全国竞赛〕设x =a 是x 的小数局部,b 是x 的小数部,那么a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．〔竞赛〕2y =，那么x 2＋y 2＝________.06．〔全国竞赛〕1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．〔联赛〕y =x ，y 均为实数〕，那么y 的最大值与最小值的差为〔 〕A 3B ．3C 3D08．〔全国竞赛〕非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，那么a ＋b 等于〔 〕 A ．－1B ．0C ．1D ．209．〔全国竞赛〕 〕A ．5-B ．1C ．5D ．110．0(0,0)x y x y -=>> 〕A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．152a b c +--，求a ＋b ＋c 的值.12．99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进展二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式围分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式11- 【变式题组】1．假设14a a +=〔0＜a ＜1〕=________ 2=的值为〔 〕 A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定 【例２】〔全国初中数学联赛〕满足等式＝2003的正整数对〔x ,y 〕的个数是〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，那么xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对〔x ,y 〕的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．假设a ＞0，b ＞0=.【例３】〔〕1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=平方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．〔〕32x x +=+35(2)242x x x x -÷----的值.5．〔五羊杯竞赛〕1m =1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，那么a 的值等于〔 〕A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】〔全国竞赛〕如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，那么点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，那么，CF，所以，点A 、C 的坐标为〔a〕、〔2a ＋b〕，所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为〔,0〕 【变式题组】6．〔〕阅读以下材料，然后答复以下问题. 在进展二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=； 〔一〕 36333232=⨯⨯=； 〔二〕 ()()()131313132132-=-+-⨯=+； 〔三〕 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； 〔四〕〔1〕请你用不同的方法化简352+；①参照〔三〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕②参照〔四〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕〔22n ++【例５】〔五羊杯竞赛〕设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，那么BF＝，EF＝，BE 从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(竞赛)a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练稳固·反响提高01．x =，y =__________ 02．设1a =，那么32312612a a a +--＝〔 〕A ． 24B ．25C ．10D．1203．〔XX 〕计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．〔竞赛〕假设有理数x 、y、z 1()2x y z =++，那么2()x yz -=__________05．〔竞赛〕正数m、n 满足430m n +-==__________06．〔竞赛〕假设1x=，那么32(2(15x x x -++的值是〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．807．实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是〔 〕A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =，c =a 、b 、c 之间的大小关系是〔 〕A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．1x =培优升级·奥赛检测01．〔信利杯竞赛〕1x =，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．〔竞赛〕(2002x y ++=，那么2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，那么x ＝__________05．(T 1杯联赛)x =，y =，那么22y x x y +=__________06．〔选拔赛〕如果a b +=a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为〔 〕A ．．2001C ．1D ．007．〔竞赛〕当x =32003(420052001)x x --的值是〔 〕 A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．〔全国联赛〕设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是〔 〕 A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：〔1〔2〔34947+++〔410．实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---b 的形式.11．21(0)a x a a +=>12．〔奥林匹克竞赛〕自然数x 、y 、z 0，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。