1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得
l S D s
τ=⋅⎰ρ
ρd
考虑到此问题中的电通量均为r e ρ
即半径方向，所以电通量对圆柱体前后
两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是
l rD l τπ=2
即 r e r D ρρπτ2=
， r e r
E ρ
ρ02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b a r r b a
ln 2d 2d 00
⎰
⎰επτ=⋅επτ=⋅=ρρρρ
1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。内导体的半径为
a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a 太大，内外导体的间隙就变得很
小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由于
E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为
r E πετ2=
， a
E πετ
2max = 而内外导体之间的电压为
a
b
r r r E U b
a b
a ln 2d 2d πετπετ⎰
⎰===
或 )ln(max a
b aE U =
0]1)[ln(a d d max =-+=a
b
E U
即 01ln =-a b ， cm 736.0e
==b
a V)(1047.1102736.0ln 5
5max max ⨯=⨯⨯==a
b aE U
1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。
解：25045sin 10001==t E ，25045cos 10001==n E
220040101εε==n n E D 根据 t t E E 21=，n n D D 21=得
2502=t E ，220002ε=n D ， 210020
22==
εn
n D E 于是： V/m)(1050)2100()250(222
2222=+=
+=n t E E E
1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、2Ax =ϕ （2）、Axyz =ϕ （3）、Brz Ar +=φϕsin 2 （4）、φθϕcos sin 2Ar =
解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。
（1）、i Ax i x Ax k z j y i x E ρρ
ρρρρ2)()(2-=∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ
00002)2()(εεεερA Ax x
x E z E y E x E D x z y x -=-∂∂
=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=ρ
（2）、)(k z
j y i x E ρ
ρρρ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕϕϕϕ )(
k z
Axyz j y Axyz i x Axyz ρρρ∂∂+∂∂+∂∂-= )(k xy j xz i yz A ρρ
ρ++-=
0)]()()([0=-∂∂
+-∂∂+-∂∂=⋅∇=Axy z Axz y Ayz x D ερρ
（3）、)1[k z
e r e r E r ρ
ρρρ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=ϕφϕϕϕφ φφφφe Brz Ar r e Brz Ar r r ρρ)sin (1)sin ([
22+∂∂++∂∂-=
)])sin (2
k Brz Ar z ρ+∂∂+φ
)]cos )sin 2[(k Br e Ar e Bz Ar r ρρ
ρ+++-=φφφ
)
cos (1)sin 2(1[0φφ
φερAr r Bz Ar r r r D ∂∂
++∂∂-=⋅∇=ρ
)](Br z
∂∂
+
]sin )sin 4(1
[0φφεA Bz Ar r
-+-=
]sin )sin 4[0φφεA r
Bz
A -+
-= （4）、]sin 11[φ
ϕ
θθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=r e r e r e E r
ρρρρ )
cos sin (1)cos sin ([22φθθ
φθθAr r e Ar r e r ∂∂
+∂∂-=ρρ)]cos sin (sin 12φθφ
θφ
Ar r e ∂∂
+ρ
θφθφθe Ar r e Ar r ρρ)cos cos (1)cos sin 2[(2+-=])sin sin (sin 1
2φφθθe Ar r ρ-
])sin ()cos cos ()cos sin 2[(φθφφθφθe Ar e Ar e Ar r ρ
ρρ-+-=
)](sin 1
)sin (sin 1)(1[220φθφθθθθερE r E r E r r r D r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇=ρ
)sin cos cos (sin 1)cos sin 2(1[
3
2
0θφθθθφθεAr r Ar r
r -∂∂+-∂∂= )]sin (sin 1
φφ
θAr r ∂∂+
]sin cos )sin (cos sin cos cos sin 6[220θφ
θθθφφθεA A A +--
-=
1—4—2、两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为0，另一板的电位为0V ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即
x x 0)(ρρ=。试求两极板之间的电位分布（注：0=x 处板的电位为0）。
解：电位满足的微分方程为
