课题直线的倾斜角与斜率
教学目标掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。
教学内容
一、目标认知
1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
2．理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；
3．已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；
4．掌握经过两点和的直线的斜率公式：()；
5．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.
二、知识要点梳理
知识点一：直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.
2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
3.倾斜角的范围是.当时，直线与轴平行或与轴重合.
4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应.
5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线
的位置.
知识点二：直线的斜率
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．
要点诠释：
1.当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；
2.直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.
由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
知识点三：斜率公式
1
l 2
l 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x 轴垂直；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当y 1=y 2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x 轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1)由
、
点的坐标求的值；
(2)已知及中的三个量可求第四个量；
(3)已知及
、
的横坐标(或纵坐标)可求
；
(4)证明三点共线.
知识点四：两直线平行
设两条不重合的直线
的斜率分别为.若，则
与
的倾斜角
与相等.由
，可得
，即
.因此，若
，则
.反之，若
，则
.
要点诠释： 1.公式
成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为
；②不重合；
2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，
的倾斜角都是
，则
.
知识点五：两直线垂直
设两条直线
的斜率分别为
.若
，则
.
例1．如图，直线1l 的倾斜角130α=，直线12l l ⊥，求1l 、2l 的斜率。
解：1l 的斜率13tan 303
k ==
， ∵2l 的倾斜角29030120α=+=， ∴2l 的斜率22tan tan1203k α===-．
例2．（1）已知直线l 的倾斜角的变化范围为[
,)63
ππ
α∈，求该直线斜率的变化范围；
（2）已知直线l 的斜率[1,3)k ∈-，求该直线的倾斜角的范围. 解：（1）∵[
,)63
ππ
α∈，∴3
tan [,3)3α∈．
（2）∵tan [1,3)k α=∈-， ∴3[
,)[0,)43
ππαπ∈． 例3．已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当（1）3sin 5α=；（2）3cos 5α=；（3）3
cos 5
α=-时，分别求直线l 的斜率k ． 解：当3sin 5α=
时，∵0180α≤<，∴3
tan 4k α==±． 当3cos 5α=时，∵0180α≤<，∴090α≤<，∴4
tan 3
k α==．
当3cos 5α=-
时，∵0180α≤<，∴90180α<<，∴4tan 3
k α==-．
要点诠释： 1.公式
成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
三、规律方法指导
1．由斜率的定义可知，当在
范围内时，直线的斜率大于零；当
在
范围内时，
直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当
时，直线的斜率不存在．直线的斜
率与直线的倾斜角(
除外)为一一对应关系，且在
和
范围内分别与倾斜角的变 化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在
或
范围内比较倾斜角的大小只
需比较斜率的大小即可，反之亦然．
2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方程的求解等．
3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断； 4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；
5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.
三：经典例题透析
类型一：倾斜角与斜率的关系
已知直线的倾斜角的变化范围为
，求该直线斜率的变化范围；
类型二：斜率定义
已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率
类型三：斜率公式的应用
求经过点，
直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．
