2020年高考数学诊断性测试答案

2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题(附带详细解析)2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题注意事项：1.答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

一、单选题1.已知集合$A=\{x|-3<x<4\}$，$B=\{x|-4<x<6\}$，则$(A\cap B)$的取值为（）A.$\{x|4<x<6\}$B.$\{x|-4<x<-3\}\cup\{x|4<x<6\}$C.$\{x|4\leq x<6\}$D.$\{x|-4<x\leq -3\}\cup\{x|4\leq x<6\}$2.若复数$z$的虚部小于$0$，$|z|=5$，且$z+\bar{z}=4$，则$iz$的值为（）A.$1+3i$B.$2+i$C.$1+2i$D.$1-2i$3.“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数$f(x)=x^2-mx+5$在$(2,+\infty)$上单调递增，则$m$的取值范围为（）A.$[4,+\infty)$B.$[2,+\infty)$C.$(-\infty,4]$D.$(-\infty,2]$5.展开$\left(2x-\frac{1}{3}\right)^6$的式子中，中间项的系数为（）A.$-40$B.$-40x^2$C.$40$D.$40x^2$6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率为（）A.$\frac{11}{6}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{1}{12}$D.$\frac{2}{9}$7.如图，在等腰直角$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为斜边$BC$的三等分点（$D$靠近点$B$），过$E$作$AD$的垂线，垂足为$F$，则$AF$的长度为（）无法排版，建议手写）21AB+AC5584D。

慎审题多思考多Just for you!2020屈“3+3+3”岛考备考诊断性联考卷(三)理科数学注意事项：I- #妁前.考生务必用黑色曦累笔将白己的昱幺、淮考证号、考场号、座位号朮答题卡上境写清定•2.每小題选出答案后.用2B铅笔把签盘卡上对总题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撩干净后，选涂其他篆案标号.准试題卷上作答无效.3.考试於束后.请将本试卷和冬期卡一并交回.満分150分，考试用时120分钟.一、选择題(本大题共12小題，每小题5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题口耍求@1.若孩数工满足(x-i)(l-i)=i,则在复平面上复数：所对应的点所在象限是A.笫一象限B.第一彖限C・第三象限I).第四象限2.已知集^A=\x\\o^x<\l .集合fi=|xlVxM^0, X6Z|(K中Z表示整数集)，则/1门心〃)=A. II, 2, 3|B. |-1, 1|C. 11, 2|D. |1|3.已知数列la. i既是等差数列乂退等比数列，由项a, = 1,则它的前2020项的和等于B. 2021a,+202lxlOlOdC. 2020D. 80%5. (H2x2)(l-x)5的展开式中工的系数等于C. 一D. —657・方程/R*lrl=2|¥j图形大致形状为慎审题多思考多 Just for you!C ・(DTO8- J衣小rm. g “农航平而.给出如下5个命弧 ①若a 〃/则o 〃0①若。

丄6.贝Ua 丄0；③a 与0不祈.和・1.1.1 ,.八—〜 P* /lt 则“丄〃利J 俺成龙：④扒“八f. all 9 bll.则a 丄/3：⑤a 丄仪aP 冋<«丄人则。

丄〃・兀中贞命题的个数见A. 01). 1a 211 3巳知能负实数“ •'満足：“2尸220. 3r-2>-2<0,则2x-3y 的取值范国左K 1-2. 4*1 r ,41-I 31十.-]G U 。

2020年全国高考适应性考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某部门共有4名员工， 某次活动期间， 周六、 周日的上午、 下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工， 则该活动值班岗位的不同安排方式共有（ ） A ．120种B ．132种C ．144种D ．156种2．已知i z a b =+(R i )a b ∈、，是虚数单位，12,C z z ∈，定义：()D z z a b ==+，1212(,)D z z z z =−．给出下列命题：（1）对任意C z ∈，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立； （3）若12(z )(z )D D =12(C)z z ∈、，则12z z =； （4）对任意，结论131223(,)(,)(,)D z z D z z D z z ≤+恒成立，则其中真命题是[答]（ ）． A ．（1）（2）（3）（4） B ．（2）（3）（4） C ．（2）（4）D ．（2）（3）3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m n ⊥，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m α⊥，//n β，αβ⊥ B ．q ：m α⊂，n β⊥，//αβ C ．q ：m α⊥，n β⊥，//αβD ．q ：m α⊂，//n β，αβ⊥4．已知,x y 满足线性约束条件：1022010x y x y x −+≥⎧⎪+−≥⎨⎪−<⎩，则目标函数3z y x =−的取值范围是（ ）A ．11,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭B ．()3,1−−C ．13,3⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．13,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦5．已知数列{}n a 满足2123 (2)n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈，且对任意*n N ∈都有12111...nt a a a +++<，则t 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．点(,)P x y 是函数315()sin π,222f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈− ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的点，已知点(2,0)Q ，O 为坐标原点，则OP QP ⋅的取值范围是（ ）A ．[1,0]−B ．[1,2]−C ．[0,3]D ．[1,31]−−7．已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．在中，角所对的边分别为满足则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．设集合，，，则等于A ．B ．C ．D ．10．设复数z 满足2z ii i+=+，则z =（ ） A ．2B 51C 2D ．111．已知集合{|1}A x x =≥，{|230}B x x =−>，则A B = A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实系数一元二次方程2210()x ax a a R −++=∈的一个根是12i +，求a 的值以及另一个根.14．已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M −⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合n M 所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得180n T ≥的最小正整数n 的值为____________．15．某小区拟对如图一直角△ABC 区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观．已知2010AB m AC m ==，,则DEF 面积最小值为____16．在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R 为同一平面内的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使()1OP t OQ tOR =−+.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2CF FA =，BF 交CE 于点M ，设AM xAE y AF =+，则x y +=__________．三、解答题：每小题满分10分。

2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x \=-1FQ k k \×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l \为FQ 的垂直平分线\x f g h k '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形22162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .-V 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x \-<\该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABDx（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k 故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=k \(y 因为,3232'2xax x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。

毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 1 页 共 6 页毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学参考答案及评分建议一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C A A D D A C B B二、填空题13. 3− 14.6π 15. 43− 16. ④ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1>n 时 3133111111=++=++=−−−−n n n n n n a a a a b b 当1=n 时，21=b∴数列}{n b 是首项为2，公比为3的等比数列..................................…. 6分 （Ⅱ）由（1）知1)3(21−×=+=n n n a b ∴1)3(21−=−n n a ∴121121)12)(12(2)12)(12](1)3(2[21+−−=+−=+−−=−n n n n n n a c n n n ∴122121112112151313111+=+−=+−−++−+−=n n n n n ....T n ...................…. 12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 2 页 共 6 页18. 解：（1）每天准时提交作业的A 等学生人数为：301010003.0=××根据题意得到列联表 A 等 非A 等 合计 每天准时提交作业30 70 100 偶尔没有准时提交作业5 35 40 合计35 105 140 841.3667.43141053510040)7053530(14022>≈=××××−××=K 所以有95%以上的把握认为成绩取得A 等与每天准时提交作业有关. .............…. 6分（2）成绩低于60分的学生共8人，其中每天准时提交作业的有5人，偶尔没有准时提交作业的有3人，所以随机变量4,3,2,1=X ．141705)1(483315==⋅==C C C x P ； 737030)2(482325==⋅==C C C x P ； 737030)3(481335==⋅==C C C x P ； 141705)4(480345==⋅==C C C x P ． 随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为：21447372141)(=×+×+×+×=X E .………12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 3 页 共 6 页19.（1）证明：连接ANQ 四边形ABNM 的边长均为2，AN MB ⊥∴NC MB ⊥Q 且N NC AN =I⊥∴MB 面NAC⊂AC Q 面NACAC MB ⊥∴.. ...............................................................................................................…5分（2）连接MF BF ,ABC ΔQ 为正三角形，F 为AC 中点BF AC ⊥∴由（1）得MB AC ⊥，且B MB BF =IMBF AC 面⊥∴MFAC ⊥∴在MAF Δ中 1,2==AF MA Q3=∴MF 又3=BF Q ，6=MB222MB BF MF =+∴BF MF ⊥∴以F 为原点，FM FC FB ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图所示 则)3,21,23(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,0(),0,0,3(E M C F B )3,1,0(),3,0,3(),3,21,23(−=−==∴CM BM FE 设平面MBC 的法向量为),,(z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−∴03033z y z x 令1=z ，解得)1,3,1(=毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 4 页 共 6 页 设直线EF 与平面MBC 所成的角为θ则sin =θ分20. 解：（1）设),(),2,(11y x M p t Q −，则1212py x = 由p x y py x 2222=⇒= 所以p x y =′，所以切线MQ 的斜率为px k MQ 1=， 故px t x p y 1112=−+，整理得022211=+−p py tx ，设),(22y x N ， 同理可得022222=+−p py tx所以直线MN 的方程为0222=+−p py tx所以直线MN 恒过定点)20(p ，…..…….…….….….…….….….…….….….…….….…6分（2）由（1）得直线MN 的方程为2p p tx y += 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=p xy p p tx y 222可得0222=−−p tx x ， p p t p x x pt y y t x x +=++=+=+22121212)(,2 设H 为线段MN 的中点，则)2,(2p p t t H +， 由于MN GH ⊥，而)2,(2p pt t GH −=， 与向量1(pt ，平行，所以0)2(2=−+p p t p t t ， 解得p t t ±==或0当0=t 时，p R G 2||==半径圆，π24p G 的面积为所以圆当p t ±=时，p R G 2||==半径圆，π22p G 的面积为所以圆….….…….….…….…. 12分毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 5 页 共 6 页21. 解：（1）mxm x x m x f −=−=′11)(, 令0)(=′x f 得m x =当0>m 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞令0)(>′x f 得m x >；0)(<′x f 得m x <<0所以)(x f 的单调递减区间为),0(m ，单调递增区间为),(+∞m当0<m 时，函数函数)(x f 的定义域为)0,(−∞令0)(>′x f 得0<<x m ；0)(<′x f 得m x <所以)(x f 单调递减区间为),(m −∞，单调递增区间为)0,(m ，.….….…….….….….…6分（2）要证：e n <+++)311()311)(311(2L 只需证：21)]311()311)(311ln[(2<+++n L 即证：21)311ln()311ln()311ln(2<++++++n L 由（1）知，取1=m 时，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(=≥∴f x f ，即1ln ≥−x x1ln −≤∴x xn n 31)311ln(<+∴ n n 313131)311ln()311ln()311ln(22+++<++++++∴L L 21)311(21311)311(31<−=−−=n n 所以，原不等式成立.…….…….…….…….……..…….……….…….…….….…….. 12分22.解：（1）由01321231=−−⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y x t y t x毕节市2020届高三年级诊断性考试（三）理科数学答案 第 6 页 共 6 页 因为222sin cos y x y x +=⎩⎨⎧==ρθρθρ且 由0cos 40cos 42=−⇒=−θρρθρ所以4)2(042222=+−=−+y x x y x ，即所以直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程分别为和013=−−y x 4)2(22=+−y x ….….…….….…….….….…….….….…….….5分（2）解把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231带入0422=−+x y x ，整理得0332=−−t t 设|||||,|||21t PM t PN == 所以3,32121−==+t t t t因为||||PN PM > 所以||1||11121t t PM PN −=−332121=+=t t t t ……….…….….……..……......…10分23. 解：（1）由6||≤−n mx66≤−≤−n mx0>m Qmn x m n 66+≤≤−∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−=−∴1636mn m n 解得：3,3−==n m ….….…….….…….….….…….….….…….….5分 （2）由3=+b a得6)2()1(=+++b a2,1−>−>b a Q2112(61316)2()1()2111(2111++++++=+++⋅+++=+++∴b a a b b a b a b a 323131=+≥.…….….….….….….….….….….…….....….....….....….....….....…......…10分。

绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。

西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学 2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y x =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =- 05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞ （D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，15．在四棱锥P ABCD -ABCD ABCD 4=，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答． 在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．D 5. A6. B7. D8. A9. A 10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．② ③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ……………… 3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ……………… 6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ……… 8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则 1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分 所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=． ……………… 2分 所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ……………… 4分 所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =， ……………… 8分 即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．……………… 14分选择 ③： (Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-.所以数列{}n a 是等差数列． ……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． ……………… 4分 所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *.……………… 6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =， ……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+， ……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， ……………从而b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． … 5 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=． ………… 6分当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+． ………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分 同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=．综上，90PFQ ∠=. ……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-.……………… 6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分（Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得cos ex xa =-. 设函数cos ()e x xh x =-，[0,π]x ∈， ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()42h -=，所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>， 则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。

2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.A8.C二、多项选择题9.BC 10.AC11.B C12.ABD三、填空题13.45-14.30015.1216.24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+,…………………………1分即2sin cos )A A B C =+，…………………………2分又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =，…………………………3分而0A π<<，sin 0A ≠所以cos 2A =，所以6A π=.…………………………4分（2）因为11sin 22ABCBCS bc A a h ∆==⋅…………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =.…………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222232c c =+-⨯，…………………………8分即29180c c -+=，解得3c =或6c =.…………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =，于是8384q q-⨯=，…………………………2分即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）.…………………………4分若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =，…………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分1111(1)1n S n n n n ==-++，…………………………9分于是12111111111+(1)((122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++ ……10分令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16.……12分若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =.………………6分于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+，…………………8分131311(2(2)42n S n n n n =⨯=-++，……………………9分于是31111111[(1)()((4324112k T k k k k =-+-++-+--++ 3111(1)4212k k =+--++9311()8412k k =-+++，………………………………………10分令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7.………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ，…………………………2分又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面.………………………………………3分又DE EF E = ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面，……………………………………4分因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面.………………………………5分（2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，31,,0)62G ，11(0,,22FE =-- ，31,0,)62FG =- ，11(0,,)22FP =- .……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即030y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，得1y =-，3x =(3,1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即1111300x z y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，得11z =，13x =，于是取(3,1,1)=n ………………………………………………11分设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>=== m n m n m n .所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35.………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6 (2)分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯…………………5分因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.………………6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人.………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==,………………9分所以随机变量ξ的分布列为不太了解比较了解男性250330女性150270ξ123P0364310n n C C C ++1264310n n C C C ++2164310n n C C C ++36310n n C C ++0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++，23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥.…………………………………………12分21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>，令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==，………………1分当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值，………………3分要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=，故a 的取值范围为1a ≥，………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立，令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln11223n n n ++++<++++ ，即：1111ln(1)23n n++++>+ ；………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--，………………8分当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =，………………10分又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞，………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解 (12)分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=．……3分（2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=，即1y =……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=.（i）将1y =212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R .…………5分因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36=当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号.所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞.……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224xy +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=，………………………………8分所以O 到直线PQ的距离d =，…………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111||||ty t -+=+=+，…………………10分=2===，……………………11分所以2d r ==，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切.…………………………………………12分。

2020年兰州市高三诊断考试数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，则A B =I （ ）A. {}0,2,4B. {}2,4C. {}1,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求解．【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N ==∈，所以{2,4}A B ⋂=， 故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2.已知复数5i22iz =+-，则z =（ ） A. 5 5 C. 1313【答案】B 【解析】 【分析】首先进行除法运算化简z ，再求模即可. 【详解】因为5i 5(2)2212i 2i 5i i z +=+=+=+-，所以5z =故选：B【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题.3.已知非零向量a r ，b r 给定:p R λ∃∈，使得λa b =r r，:q a b a b +=+r r r r ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分析各个命题中向量a r ，b r的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． 【详解】:p R λ∃∈，使得λa b =r r ，则a r ，b r共线，:q a b a b +=+r r r r 等价于a r ，b r同向，因此p 是q 的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要条件的定义判断即可．4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=（ ）A. 4B. 3C. 4-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出tan α的值. 【详解】575555512sincos 2sin cos 2sin cos sin 12121212121262ππππππππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭Q ，2221tan 1tan 222tan tan 2tan 22ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，由题意可得21tan 2α=-，因此，tan 4α=-. 故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.5.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（ ）A.52B.3C.5 D. 23【答案】A 【解析】 【分析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线y b a =-x 上，得到a ＝2b ，再根据e 22222c a ba a+==解.【详解】因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线y ba=-x 上， 所以a ＝2b ，即a 2＝4b 2，所以e 222225c a b a a +===， 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.已知集合571113,,,,66666A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） A.110 B.25C.35D.310【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-，列举出所有的基本事件，并列举出事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可得5131sinsinsin 6662πππ===，7111sin sin 662ππ==-， 从A 中任选两个角，所有的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、57,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、65611,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、713,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1113,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共10种情况.其中，事件“从A 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有：5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭、13,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，共4个， 因此，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率为42105=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示： 年份12345 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可．【详解】对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误； 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，∵第一组数据(1,4,1,1)是离群值，去掉后得到的相关系数为2r ，其相关性更强，∴12r r <，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，∴③错误；综上可知正确命题个数是1． 故选：B ．【点睛】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，属于基础题． 8.已知函数()(2ln1f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D.b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】分析出函数()y f x =是偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，利用偶函数的性质可得()1c f =，利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法比较0.20.2、1、3log 4的大小关系，利用函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】函数()2ln1f x x =+的定义域为R ，且()(()221ln1ln 12f x x x =+=+，()()()()2211ln 1ln 122f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，函数()y f x =为偶函数，()()13log 311c f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，由于函数21u x =+在[)0,+∞上为增函数，函数ln y u =为增函数， 所以，函数()(2ln1f x x =+在[)0,+∞上为增函数，0.203300.20.21log 3log 4<<==<Q ，因此，a c b <<.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ） A.3 B.22C.3 D.13【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点D 为底面圆周上的一点，∠ABD ＝60，可知D 为¶BE的中点，则以底面中心为原点，分别以OD ，OE ，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为1，求得向量AB u u u r ，DE u u u r 的坐标，代入公式cos AB u u u r ＜，AB DEDE AB DE⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞求解.【详解】因为高和底面的半径相等，∴OE ＝OB ＝OA ，OA ⊥底面DEB.∵点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD ＝60°， ∴AB ＝AD ＝DB ；∴D 为¶BE的中点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设OB ＝1则O （0，0，0），B （0，﹣1，0），D （1，0，0），A （0，0，1），E （0，1，0）， ∴AB =uu u r （0，﹣1，﹣1），DE =uuu r（﹣1，1，0），∴cos AB u u u r ＜，12AB DE DE AB DE⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ＞， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为3π. ∴异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为32. 故选：A .【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和向量法求异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.10.已知函数()()sin sin cos f x x x x ωωω=+（0>ω），若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的取值范围是（ ）A. 13,24⎛⎤⎥⎝⎦B. 15,24⎛⎤⎥⎝⎦ C. 53,42⎛⎤⎥⎝⎦D. 55,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得ω的范围. 【详解】()()1cos 2121sin sin cos sin 2222242x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同交点，即方程2sin 242x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在()0,π上有3个实根， 由()0,x π∈得2,2444x πππωωπ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以9112444πππωπ<-≤，解得5342ω<≤. 故选：C【点睛】本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于中档题.11.已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR+的最小值为（ ） A. 15+ B. 5 C. 17 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，推导出直线1l 为线段FQ 的垂直平分线，利用中垂线的定义可得RQ FR =，进而可得出QR MR FR MR +=+，利用F 、R 、M 三点共线可求得QR MR +的最小值. 【详解】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥Q ，则1l 为FQ 的垂直平分线，FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线中折线段长度之和最小值的求解，考查抛物线定义的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()2xxf x f x x e '-=，()1f e =，则()f x 的最小值为（ ）A. e -B. eC.1eD. 1e-【答案】D 【解析】 【分析】将题干中的等式变形为()()2x xf x f x e x -='，可得出()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并构造函数()()f x F x x=，可得出()x f x e c x=+，进而可得出()xf x xe cx =+，利用()1f e =求得c的值，可得出函数()y f x =的解析式，进而利用导数可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】由()()2xxf x f x x e -='，变形得()()2x xf x f x e x -='，即()xf x e x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()x f x e c x∴=+（c 为常数），则()xf x xe cx =+，()1f e c e =+=，得0c =. ()x f x xe ∴=，()()1x f x x e ∴=+'，当1x <-时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在1x =-处取得极小值，亦即最小值，则()()min 11f x f e=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，利用导数等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，则232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，的定义域，先求232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求232f f log ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】∵函数()21211x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，，，且23log 12<，∴232f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭232322log ==，∴232f f log ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （32）＝23142⨯+=. .故答案为：4.【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知向量a →，b →满足2b →=，向量a →，b →夹角为120︒，且a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则向量a b →→+=________．6 【解析】 【分析】由垂直得数量积为0，从而得a b ⋅r r，得a r ，然后把模的运算转化为数量积运算即得．【详解】由a b b →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭得2()0a b b a b b +⋅=⋅+=uu r r r r r r ，2a b ⋅=-r r ，即cos1202a b ︒=-r r ，22a =ra b →→+=22222()2(22)2(2)(2)6a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+r r r r r r6．【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握向量的垂直、模与数量积的关系． 15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222c a b ab =+，8a =，1sin 23A =，则c =_______. 【答案】9 【解析】 【分析】已知由余弦定理即可求得4C π=,由1sin23A =可求得22cos 23A =,即可求得sin A ,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-和2222c a b ab =+-，可得2cos 2C =，得2sin C =，由1sin 23A =，22cos 2A =，42sin 2sin cos 22A A A ∴==sin sin a cA C=，得9c =. 故答案为:9.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''.已知一个房中BB'＝53，AB ＝26，tan54°44′08''2=，则此蜂房的表面积是_____.【答案】2162【解析】【分析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD ＝B′D′＝62，再根据∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''2=，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.【详解】如图所示：连接BD ，B ′D ′，则由题意BD ∥B ′D ′，BD ＝B ′D ′＝2， ∵四边形OB ′C ′D ′为菱形，∠B ′C ′D ′＝109°28′16''，tan 54°44′08''2=∴OC ′＝21''25444'08B D tan ⋅=︒"2322=6，B ′C ′＝3， ∴CC ′＝BB ′22''BC BC --=3 ∴S 梯形BB ′CC ′(2653432==2，∴S 表面积＝62⨯316622⨯⨯⨯=2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95n T =，求n 的值. 【答案】（Ⅰ）210n a n =-；（Ⅱ）9n =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，根据题中条件求出d 的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求得1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n T ，然后解方程95n T =，可求得正整数n 的值.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ，由18a =-，243a a =，得()8338d d -=-，解得2d =.因此，()11210n a a n d n =+-=-； （Ⅱ）设()()4411212221n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，11111121222122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，令95n T =，即192115n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，得到9n =.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1==PA AB ，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥-P EAC 的体积.【答案】（Ⅰ）点E 为PD 中点时，直线PB 与面ACE 平行，理由见解析；（Ⅱ）112. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接OE ，利用中位线的性质证得//OE PB ，进而可证得//PB 平面ACE ，由此可得出结论；（Ⅱ）推导出AC ⊥平面PAB ，由E 为PD 的中点，可得出12P ACE P ACD V V --=，进而可求得三棱锥-P EAC 的体积.【详解】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与面ACE 平行. 连接BD ，交AC 点O ，则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PBD △的中位线，则//OE PB ，OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以，//PB 平面ACE ；（Ⅱ）根据题意AC PB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则有AC PA ⊥，PA PB P =I ，所以AC ⊥平面PAB ，则AC AB ⊥，设AC x =，2111113112323223P ACB A PBC V V x x --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯，得1AC =， 则11111111223212P EAC P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的判断，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）列联表见解析，有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）根据两幅频率分布直方图完善22⨯列联表，并根据列联表计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C，()0.80.160.360.6P C=++=；（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：()22100303020204 3.84150505050K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计概率，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力，属于基础题.20.已知点F为椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）.【答案】（1）22143x y+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1，则有31a ca c+=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，3），分别设直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx3-M，N的坐标，再利用斜率公式代入k1•k2求解.【详解】（1）由题意可知，31a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得21ac=⎧⎨=⎩，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3）， 设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝kx 3-由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0， ∴221612234M k x k -=+，∴228634Mk x k -=+，21234M k y k -=+， ∴22286123434k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，由2234123x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2234830k x kx +-=， ∴83N k x =，24333N k y -=， ∴2228343333434k k N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，∴()221243333433483244332k k k k k k k --+==--+- )()22222212334433348624334kk k k k k k k --++==--+， ∴k 1k 2()2234324433k k k -=--+•)()223443334243k k k -+=--，又∵12c e a ==， ∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()21123ln 22f x x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）当23a =()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-. 【答案】（Ⅰ）310x y +-=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()223x x af x -+-'=2230x x a -+-=，分>0∆和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出1223x x +=12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+ （Ⅰ）因为23a =()211232322f x x x x =--+，所以()2323f x x x'=-， 那么()11f '=-，()123f =所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()231y x -=--， 即2310x y +-=；（Ⅱ）因为()22323a x x af x x x -+-'=-=2230x x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有133x a =-233x a =-120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在33,33a a --上增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在()0,∞+为减函数. 综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(33a -和()33,a -+∞上为减函数，在33,33a a --上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数； （Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()2230x x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且1223x x +=120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()2212121212123ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++ 若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>， 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->， 所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =， 且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立， 即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-（1）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围.【答案】（16（2）121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆C 1的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r ，d ”法求弦长.（2）将曲线C 2的直角坐标方程转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π），由A （1，0），B （0，1），P （2cosθ，2sinθ），得到AB u u u r，AP u u u r的坐标，再利用数量积公式得到AB AP ⋅u u u r u u u r 2214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后用正弦函数的性质求解.【详解】（1）直线l 的参数方程为212222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为x +y ﹣1＝0，因为曲线C 1的极坐标方程为24cos πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以222sin cos ρραρα=-所以直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x +2y ＝0， 标准式方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d 222== 所以弦长|MN |＝222(2)()62-=（2）因为曲线C 2的直角坐标方程为24y x =-所以x 2+y 2＝40y ≥，转换为参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ≤π）.因为A （1，0），B （0，1），点P 在曲线C 2上，故P （2cosθ，2sinθ），所以()11AB =-u u u r ，，()212AP cos sin θθ=-u u u r，，（0≤θ≤π）， 所以AB AP ⋅=u u u r u u u r 122cos sin θθ=-+214sin πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,444πππθπθ≤≤-≤-≤所以2124sin πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以121AB AP ⎡⎤⋅∈-⎣⎦u u u r u u u r，2.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|，g （x ）＝|x +2|﹣|x ﹣2a |+a .（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，（2）[﹣4，0] 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，再分类解不等式f （x ）＞4.（2）根据对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，则f （x ）min ≥g （x ）min ，由（1）知， f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，解不等式2≥|2a +2|+a 即可.【详解】（1）因为()311311311x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，， 所以f （x ）＞4即为1314x x ≤-⎧⎨--⎩＞或1134x x -⎧⎨+⎩＜＜＞或1314x x ≥⎧⎨+⎩＞，解得53x -＜或x ＞1，所以不等式的解集为()513∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭，，； （2）由（1）知，当x ＝﹣1时，f （x ）min ＝2，g （x ）＝|x +2|+|x ﹣2a |+a ≥|（x +2）﹣（x ﹣2a ）|+a ＝|2a +2|+a ，由题意，对∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f （x 1）≥g （x 2）成立， 故f （x ）min ≥g （x ）min ， 即2≥|2a +2|+a ，所以2222a a a -≤+≤- 解得﹣4≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[﹣4，0].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届贵州省毕节市高三诊断性考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|312}=->B x x ，则A B =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}2,1,0--D ．{}2,3【答案】D【解析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由312x ->得33x >，1x >，即{}|1B x x =>，所以A B ={}2,3.故选：D. 【点睛】本小题主要考查集合的交集的概念和运算，考查一元一次不等式的解法，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若2(1)2+=+z i i ，则z =（ ） A ．12i - B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i + 【答案】A【解析】利用复数乘方和除法运算求得z 的表达式. 【详解】由2(1)2+=+z i i 得()()()()()22222241222421i i ii i z i i i i i +⋅-++-=====-⋅-+. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“2230x x --<”是“13x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解一元二次不等式、绝对值不等式，对已知进行化简，结合充分、必要条件的知识选出正确选项.【详解】由()()223310x x x x --=-+<，解得13x；由13x -<得313,24x x -<-<-<<.由于()()1,32,4-⊂-，所以“2230x x --<”是“13x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.4．已知m ，n ，p ，q 成等差数列，且函数1()7+=-x f x a （0a >且1a ≠）的图象过定点(,)n p ，则+=m q （ ） A ．-8 B ．-7C ．-6D ．1【答案】B【解析】根据等差数列的性质列方程，求得定点(),n p 的具体值，进而求得m q +的值. 【详解】由于,,,m n p q 成等差数列，所以m q n p +=+①，当10x +=，即1x =-时，()0176f a -=-=-，即()f x 的图像过定点()1,6--，所以1,6n p =-=-，代入①得7m q n p +=+=-. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查指数型函数过定点问题，属于基础题. 5．已知5log =a 121log 3b =，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】C【解析】利用对数运算求得a 的值，利用指数函数单调性比较,,1a c 的大小，利用对数函数单调性比较,1b 的大小，由此确定,,a b c 三者大小关系. 【详解】1251log 52a ==，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，故1103111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1a c <<，而12log y x =在()0,∞+上递减，故112211log log 132b =>=，所以b c a >>. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．若变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．-2C ．-5D ．-7【答案】C【解析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 20x y -=到可行域边界()3,4A 的位置，由此求得目标函数的最小值为3245z =-⨯=-. 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7．执行如图所示的程序框图，如果输出3=，S 则a =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】运行程序，当k a >时，退出程序，根据输出的3S =，求得a 的值. 【详解】运行程序，2,1k S ==，进入循环结构：221log 3log 3,3S k =⋅==，判断否；232log 3log 4log 4,4S k =⋅==，判断否；242log 4log 5log 5,5S k =⋅==；判断否；252log 5log 6log 6,6S k =⋅==，判断否；262log 6log 7log 7,7S k =⋅==，判断否；272log 7log 8log 83,8S k =⋅===，判断是，输出3S =，故7a =.故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图输出结果求参数，考查对数运算，属于基础题. 8．某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会.抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是（ ）A ．715B ．815C ．115D ．35【答案】A【解析】利用几何概型的知识，结合等比数列前n 项和公式列方程，解方程求得等比数列的通项公式，由此求得中奖概率. 【详解】根据几何概型的知识可知，中1,2,3等奖以及不中奖的概率成公比为2的等比数列，设一等奖概率为1a ，2q，故()41412112a S -==-，解得1115a =.故中奖的概率为()313112771215a S a -===-. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查几何概型，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.9．据《九章算术》记载，“鳖臑（biēnào ）”为四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一个“鳖臑”如图，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且PA AB BC ==，则异面直线PB 与AC 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据P ABC -的结构，将其补形为正方体，作出异面直线所成角，由此求得异面直线PB 与AC 所成角的大小. 【详解】依题意可知PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且PA AB BC ==，故可将几何体P ABC -补形为正方体如下图所示，由于//PB CD 所以DCA ∠是异面直线PB 与AC 所成角，而三角形ADC 是等边三角形，所以π3DCA ∠=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查中国古代数学文化，属于基础题. 10．已知向量(2,2)AB =，(1,)=AC a ，若||1BC =，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】先求得BC 的坐标，根据||1BC =列方程，解方程求得a 的值.求得cos ,AB BC ，由此求得向量AB 与BC 的夹角.【详解】()()()1,2,21,2BC AC AB a a =-=-=--，由||1BC =得()2121a +-=解得2a =，故()1,0BC =-，所以2cos ,2441AB BC AB BC AB BC⋅===-+⋅⋅，故3π,4AB BC =. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法、数量积和模的坐标运算，考查两个向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，Q 为抛物线上一点，连接PF 并延长交抛物线的准线于点P ，且点P 3|2||=PQ QF ，则直线PF 的方程为（ ）A ．330x y --=B ．330x y +-=C ．330x y --=或330x y +-=D ．310x y --=【答案】D【解析】根据P 的纵坐标为负数，判断出直线PF 斜率大于零，设直线PF 的倾斜角为θ，根据抛物线的定义，求得cos θ的值，进而求得θ，从而求得tan θ也即直线PF 的斜率，利用点斜式求得直线PF 的方程. 【详解】由于P 的纵坐标为负数，所以直线PF 斜率大于零，由此排除B,C 选项.设直线PF 的倾斜角为θ.作出抛物线24y x =和准线1x =-的图像如下图所示.作QA PA ⊥，交准线1x =-于A 点.根据抛物线的定义可知QF QA =，且QFx AQP θ∠=∠=.依题意3||2||=PQ QF ，故在直角三角形PQA 中3cos 2QA QF PQ PQ θ===，所以π6θ=，故直线PF 的斜率为π3tan63=，所以直线PF 的方程为()3013y x -=-，化简得310x y --=.故选：D.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．已知()ln f x x =，0,01()22,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩，则方程()()1+=f x g x 的实数根个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用分段函数表示出()()f x g x +，画出()()f x g x +的图像，根据()()f x g x +图像与1y =±的交点个数，求得方程()()1+=f x g x 的实数根个数. 【详解】()ln ,01ln ,1x x f x x x -<≤⎧=⎨>⎩，而0,01()22,1x g x x x <≤⎧=⎨-->⎩0,01,124,2x x x x x <≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 所以()()f x g x +ln ,01ln ,12ln 4,2x x x x x x x x -<≤⎧⎪=-<<⎨⎪+-≥⎩.令()()()h x f x g x =+，当12x <<时，()'110h x x =-<，()h x 递减；当2x ≥时()'110h x x=+>，()h x 递增.由此画出()h x 图像下图所示.由于可知，()()f x g x +图像与1y =±的交点个数为3个. 故选：B.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知3(2)(1)++mx x 的展开式中3x 的系数为5，则m =________. 【答案】1【解析】利用乘法分配律，结合二项式展开式的通项公式，利用展开式中3x 的系数为5列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意可知，展开式中3x 的项为()3322333223C x mx C x m x ⋅+⋅=+，所以235m +=，解得1m =. 故答案为：1. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法分配律，属于基础题. 14．设数列{}n a 满足()21*123222-++++=∈n n a a a a n n N ，则11a =________.【答案】1012 【解析】先求得1a 的值，然后利用退1作差法，求得n a ，由此求得11a 的值. 【详解】由21123222n n a a a a n -++++=①得：当1n =时，11a =；当2n ≥时，2212312221n n a a a a n --++++=-②， ①-②得11121,2n n n n a a --⋅==. 所以11111101122a -==. 故答案为：1012. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.15．关于函数()sin 2()6π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R f x x x 有下列命题，其中正确的是________.①()y f x =的表达式可改写为()cos 2()3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R f x x x ； ②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称【答案】②④【解析】利用诱导公式、三角函数的最小正周期公式、正弦型三角函数的对称性对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】对于①，由诱导公式得π()sin 2cos 2626f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π2ππcos 2cos π2cos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故①错误.对于②，()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故②正确. 由于ππsin 162f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的对称轴，故③错误、④正确.故答案为：②④ 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的最小正周期、对称性等知识，属于基础题.16．已知圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________. 【答案】52【解析】求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为1，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率. 【详解】圆C 方程可化为()22253x y +-=，故圆心为()0,5，半径3r =.由于圆C 上有且仅有三个点到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为1，所以圆心到渐近线的距离为2.不妨设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，由点到直线距离公式得225552,2a a c e c a ab -====+. 故答案为：52. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率三、解答题17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图.（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；（Ⅱ）以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于[)20,40（单位：万元）的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）33.6；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I ）先求得[)20,40的频率，利用每组中点值作为代表，成立各自的频率然后相加，求得该市企业年上缴税收的平均值.（II ）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图得：1(0.0030.0030.00650.0125)200.5-+++⨯=∴该市企业年上缴税收平均值估计为：100.25300.5500.13700.069000633.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）0,1,2,3,4X =40411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴X 的分布列为：∵1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴1()422=⨯=E X 【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数，考查二项分布的识别和分布列、数学期望的计算，属于中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin =A A ，4b =，4⋅=-AB AC ．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ADC 的面积【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ. 【解析】（I ）先求得tan A 的值，由此求得A 的大小，利用4⋅=-AB AC 列方程，求得c 的值，由此利用余弦定理求得a 的值.（II ）求得π6BAD ∠=，求得ABD ∆和ACD ∆的面积比，结合ABC ∆的面积，求得ACD ∆的面积.【详解】（Ⅰ）sin =A A 得tan A =∵(0,)A π∈，∴23A π=又4⋅=-AB AC ，∴2cos43π=-cb ，∵4b =，∴2c = 由余弦定理得2222cos 28=+-=a b c bc A ，∴2a =（Ⅱ）由题设可得2CAD π∠=，∴6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=，故ABD △面积与ACD 面积的比值为1sin 126142π⋅⋅=⋅AB AD AC AD .又ABC 的面积为142sin 232⨯⨯⨯∠=BAC .所以ACD 的面积为835【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查三角形面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，PAB △是等边三角形.（Ⅰ）证明：AB PD ⊥；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面--角A PB C 的余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）55-. 【解析】（I ）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，利用等比三角形的性质得到PO AB ⊥，利用有一个角是60的菱形的几何性质，证得⊥DO AB ，由此证得AB ⊥平面POD ，从而证得AB PD ⊥.（II ）证得⊥PO DO ，结合,PO OB DO OB ⊥⊥，以O 为原点，建立空间直角坐标系，通过计算平面APB 和平面CPB 的法向量，求得二面角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD∵PAB △是等边三角形，∴PO AB ⊥ 又∵四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒ ∴ABD △是等边三角形 ∴⊥DO AB ∵=PODO O ，PO ，DO ⊂平面POD∴AB ⊥平面POD ∵PD ⊂平面POD∴AB PD ⊥ （Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面=BCD AB ，PO AB ⊥∴PO ⊥平面ABCD ，∴⊥PO DO以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，设2AB =平面P AB 的一个法向量为(0,1,0)m =，3)P ，(1,0,0)B ，3,0)C ∴(1,0,3)=PB ，3,3)=PC设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则302330x z x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，得3x 1y =- ∴(3,1,1)=-n设二面角A PB C --的平面角为θ，θ为钝角∴||1cos ||||55θ⋅=-=-=-⋅m n m n 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明线线垂直，考查面面垂直的性质定理，考查空间向量法计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 20．已知函数()ln 1()=-+∈R f x x ax a . （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2f x x ≥在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）极大值为1lna，无极小值；（Ⅱ）1a ≤-. 【解析】（I ）求得函数()f x 的定义域和导函数()'f x ，对a 分成0,0a a ≤>两种情况分类讨论，求得函数()f x 的极值.（II ）对不等式()2f x x ≥分离常数a ，即ln 12≤-+x a x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，构造函数ln 1()2=-+x h x x x ，利用导数求得()h x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，11()'-=-=ax f x a x x， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，此时()f x 无极值 当0a >时， 令()0f x '≥得10<≤x a令()0f x '<得1x a>∴()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数.∴()f x 的极大值为11ln ⎛⎫=⎪⎝⎭f a a ，无极小值 （Ⅱ）由()2f x x ≥得ln 12≤+-ax x x∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴ln 12≤-+x a x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令ln 1()2=-+x h x x x ，2ln ()'-=xh x x， 令()0h x '≥得112x ≤≤，令()0h x '<得12x <≤∴()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在(1,2]上是减函数∴max ()(1)1h x h ==- ∴1a ≤- 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，考查不等式在给定区间上有解的问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为B 、A ，AB 4=，(1,)(0)≠M m m 是椭圆内一点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于P 、Q 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若BMP 的面积是AMQ △的面积的5倍，求实数m 的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）12m =±. 【解析】（I ）根据椭圆的长轴长、离心率，求得c 的值，进而求得b 的值，由此求得椭圆的标准方程.（II ）求得直线,AM BM 的方程，代入椭圆方程，求得,P Q 两点的纵坐标.根据已知得到5=BMP AMQ S S △△，将其转化为54=-ARP MSQ ABM S S S △△△，由此列方程，解方程求得m 的值.【详解】（Ⅰ）由||4AB =，得2a =，又因为c a =c =1b =， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=（Ⅱ）因为(1,)M m ，(2,0)A ，(2,0)B -，所以3=BM mk ，所以:(2)3=+BM m l y x ，由22(2)314m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294=+Q my m ，同理可得2414=+P my m，又因为5=BMP AMQ S S △△，即()5-=-ABP ABM ABQ ABM S S S S △△△△所以54=-ARP MSQ ABM S S S △△△，所以2241254||1494=-++m mm m m，因为0m ≠ 所以42161630-+=m m ，因为点M在椭圆内，所以2≠±m ， 所以12m =± 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积计算有关问题，考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22．将圆221x y +=上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得曲线C .（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程；（Ⅱ）设直线:220+-=l x y 与曲线C 的交点为1M 、2M ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12M M 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（Ⅰ）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（Ⅱ）34cos 2sin ρθθ=-. 【解析】（I ）根据变换前后坐标的对应关系，利用代入法，求得曲线C 的直角坐标方程，进而求得其参数方程.（II ）联立直线l 和曲线C 的直角坐标方程，求得交点12,M M 的坐标，由此求得线段12M M 中点坐标，结合所求直线的斜率，求得其直角坐标方程，再转化为极坐标方程.【详解】（Ⅰ）设圆上的一点()11,x y ，在已知变换下变为点(, )x y ，依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得2212⎛⎫+= ⎪⎝⎭x y即曲线C 的方程为2214x y +=，所以曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（Ⅱ）由2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩ 不妨设1(0,1)M ，2(2,0)M ，则线段12M M 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线斜率2k =，所以所求直线方程为4230--=x y 转化为极坐标方程为4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查椭圆参数方程，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查两条直线垂直时斜率的关系，考查直线的极坐标方程的求法，属于中档题. 23．（Ⅰ）解不等式|1||4|7++-≤x x （Ⅱ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求9411+++a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）[]2,5-；（Ⅱ）254. 【解析】（I ）利用零点分段法，将|1||4|x x ++-表示为分段的形式，由此求得不等式147x x ++-≤的解集.（II ）由2a b +=转化为11144+++=a b ，利用“乘1法”，结合基本不等式，求得9411+++a b 的最小值. 【详解】（I ）解：因为23414514231x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩所以由147x x ++-≤，解得25x -≤≤所以原不等式的解集是[]2,5- （II ）解：由2a b +=，∴(a+1)+(b+1)=4，∴11144+++=a b 949411139(1)11325311114444(1)144++++⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭a b b a a b a b a b 当且仅当9(1)(1)4(1)(1)++=++b a a b 时，取最小值，即75a =，35=b 时，9411+++a b 的最小值是254. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查“乘1法”解与基本不等式的运用有关问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2019～2020学年第一学期高三第四次诊断考试数学试题（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．复数1ii+的虚部是( ) A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2．双曲线2213664x y -=的离心率是( )A ．54BC ．53D ．453．tan300°的值为（ ） A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．下列说法不正确的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件D ．若命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”5．角θ的终边经过点(,3)(0)P x x <，且cos x θ=，则x 等于（ ） A． B ． 13- C ． 3- D ．1- 6. 全集U R =，2{|(2)(2)0}A x x x =+-<，{}|4B x x =≤，则图中阴影部分表示( ) A ．(,4){2}[2-∞--，)+∞ B ．(-∞，4]{2}[2--，)+∞ C ．()(),42,-∞-+∞ D ．(,4)[2-∞-，)+∞7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为()ABCD8．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋯中“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得x=( )A．1 B．2C．3 D.4 11．等差数列{}na的前n项和为nS,109a=，10S=最大时n为() A．1B．5 C．6D．7 12．已知函数()()52log1,1()22,1x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若方程()()lnf x a a R=∈有4个实根，则a的取值范围是()A．(]1,e B．[),e+∞C．)2,e e⎡⎣D．()21,e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{}na中，467,21,a a==，则10a=．14．已知0a >，0b >，若直线(21)210a x y -+-=与直线20x by +-=垂直，则11a b+的最小值为 ．15．某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为1n +时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为 ．16．已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分） 17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，AC BD ⊥． （Ⅰ）证明：BD PC ⊥；（Ⅱ）若4AD =，2BC =，直线PD 与平面PAC 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．18．（12分）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,)m c a b a =--，(,)n a b c =+，若//m n ．（1）求角B 的大小． （2）求sin sin A C +的取值范围． 19．（12分）某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）求价格落在[16,17)内的地区数；（2）借助频率分布直方图，估计该商品价格的中位数 (精确到0.1)；（3）现从[13,14)， [17,18] 这两组的全部样本数据中，随机选取两个地区的零售价格， 记为m ，n ，求事件“|m －n |>1”的概率．20．（12分）已知函数()(1)(0)af x a x lnx a x=-++>． （1）当2a =时，求()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值； （2）讨论函数()f x 的单调性；21. （12分）已知直线l ：x ＝my +1过椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为点D 、K 、E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==m 变化时，证明：λ1+λ2 是定值；（Ⅲ）当m 变化时，连接AE 、BD ，直线AE 与BD 定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，请考生在第22、23写清题号．22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直， 求直线CD 的倾斜角及点D 的直角坐标． 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a =-，()1g x x =+． （1）若1a =，求不等式()1f x ≤的解集；（2）对任意的x R ∈，2()()2(0)f x g x a a a +≥+>恒成立，求实数a 的取值范围．2020届四诊数学（文）答案一．选择题（共12小题） BCBBDA AADBCC 二．填空题（共4小题） 13．18914．815． 6．16．[0,6]三．解答题（共7小题）17．解：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥； 又AC BD ⊥，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD ∴⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，BD PC ∴⊥；（Ⅱ）设ACBD O =，连接PO ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面PAC ，DPO ∴∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，30DPO ∴∠=︒，由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD PO ⊥．在Rt POD ∆中，由30DPO ∠=︒得2PD OD =．四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD ⊥，AOD ∴∆，BOC ∆均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3222AD BC +=⨯+=， 于是1(42)392ABCD S =⨯+⨯=．在等腰三角形AOD 中，OD AD ==2PD OD ∴==4PA =，11941233P ABCD ABCD V S PA -∴=⨯=⨯⨯=．18．解：（1）//m n ．()()()c c a a b b a ∴-=+-，222c ac b a ∴-=-，2221cos 22a c b B ac +-∴==3B π∴=（2）A B C π++=，23A C π∴+=21sin sin sin sin()sin sin )326A C A A A A A A ππ∴+=+-=+=+203A π<<∴5666A πππ<+<∴1sin()126A π<+…，∴sin sin A C <+…19．解：(1)价格在[16,17)内的频率为1－(0.06＋0.08＋0.16＋0.38)×1＝0.32.所以价格在[16,17)内的地区数为50×0.32＝16.设价格中位数为x ，由0.06＋0.16＋(x －15)×0.38＝0.5，解得x ＝151419≈15.7(元)．(2)由直方图知，价格在[13,14)的地区数为50×0.06＝3，设为x ，y ，z ；价格在[17,18)的地区数为50×0.08＝4，设为A ，B ，C ，D . 若m ，n ∈[13,14)时，有xy ，xz ，yz,3种情况；若m ，n ∈[17,18)时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD,6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18)内时，共有12”所包含的基本事件个数有12种．P (|m －n |>1)＝1221＝47.．20．解：（1）当2a =时，()f x 在1[e -，1]上单调递减，在[1，]e 上单调递增．11()(1)3,()21min f x f f e e e --===+-，12()1,()()f e e f e f e e-=++>， （2）22221(1)[(1)](1)()1a a x x a a x a x f x a x x x x -+--+-'=--+==， ①当1a =时，21()x f x x-'=，所以()f x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减．②当1a >时，1x >或01ax a <-<-，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增； ③当1a <时， 若102a <<时，()f x 在(,1)1a a -上单调递增，在(0,)1a a-和(1,)+∞上单调递减； 若12a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；若112a<<时，()f x在(1,)1aa-上单调递增，在(0,1)和(,)1aa+∞-上单调递减．21．解：（Ⅰ）由题设条件知椭圆右焦点F（1，0），∴c＝1，抛物线的焦点坐标(0,3),∴3b=，∴a2＝b2+c2＝4，∴椭圆C的方程22143x y+=．…（3分）（Ⅱ）由题意知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由22221,(34)690143x mym y myx y=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩∴12122269,,3434my y y ym m--+==++…（5分）又由，∴，同理∴=83-所以，当m变化时，λ1+λ2的值是定值，定值为83-．…（9分）（Ⅲ）先探索，当m＝0时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N，且N（2.5，0），猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2.5，0）．证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2），当m变化时，首先证明直线AE过定点N（2.5，0），∵l AE：y﹣y2＝2114y yx--（x﹣4），当x＝2.5时，y ＝y 2+2114y y x --•（﹣1.5）＝0，∴点N （2.5，0）在直线l AE 上，同理可证，点N （2.5，0）也在直线l BD 上， ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于点N （2.5，0）．22．解：（1）由半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0θ∈，]2π，即22c o s ρρθ=，可得C的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=剟． 可得C 的参数方程为1cos (sin x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数，[]0,t π∈) （2）设(1cos D + t ，sin )t ，由（1）知C 是以(1,0)C 为圆心，1为半径的上半圆， 直线CD 的斜率与直线l的斜率相等，tan t ∴3t π=．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2．23．解：（1）若1a =，不等式()1f x …，即|21|1x -…，即1211x --剟，求得01x 剟， 故不等式的解集为[]0,1x ∈．（2）对任意的x R ∈，2()|()|2(0)f x g x a a a ++>…恒成立，即2|2||1|2x a x a a -+++…， 故|2||1|x a x -++的最小值大于或等于22a a +．2(1),1|2||1|1,1231,2a x x x a x a x a x x a x a x ⎧⎪-+--<-⎪⎪-++=+--⎨⎪⎪-+>⎪⎩剟，故当2a x =时，|2||1|x a x -++取得最小值为12a +，∴2122a a a +≥+，求得102a <≤．。