江苏省江阴二中要塞中学等四校2020-2021学年高二数学上学期期中试题【含答案】

2020-2021江阴市江阴二中高中必修一数学上期中模拟试题附答案一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．23．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 16．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．17．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____18．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= .19．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.20．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？ 23．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.25．已知函数()f x A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．5．B解析：B【解析】【分析】把函数1yx=先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位即可.【详解】把1yx=的图象向右平移一个单位得到11yx=-的图象，把11yx=-的图象关于x轴对称得到11yx=--的图象，把11yx=--的图象向上平移一个单位得到()111f xx=--的图象，故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．D解析：D【解析】【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论【详解】设t=f（x）-e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5，故选：D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．C解析：Cx ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．11．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<15．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．16．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->， ∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．17．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+， 又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>，解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ，故答案为()(),40,-∞-+∞U ；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 18．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2【解析】【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值.【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．19．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a（1+b）第二年为y＝a（1+b）（1+b）＝a（1+解析：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案.【详解】设年产量经过x年增加到y件，第一年为y＝a（1+b%）第二年为y＝a（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）2，第三年为y＝a（1+b%）（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）3，…∴y＝a（1+b%）x（x∈N*）．故答案为：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.20．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =，又由1t =时，11()42a -=，解得3a =， 所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.23．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数，所以(0)0f =，即102b a-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数．（2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，∴12220x x -<，又()()1221210x x ++>，∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x-<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．24．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.25．（1）{}2；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出A B I ；（2）由C B B =U ，可得出C B ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，结合C B ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】（1）要使函数()f x ()2log 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥， [)2,A ∴=+∞.对于函数()12x g x 骣琪=琪桫，该函数为减函数，10x -≤≤Q ，则1122x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；（2）C B B =Q U ，C B ∴⊆.当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件；当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得312a ≤≤.综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.26．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。

江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷（一）（考试时间120分钟满分160分）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．数列{n+2n}中的第4项是．2．抛物线x2=4y的准线方程为．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n+1＞a n，求实数k的取值范围．17．某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题21．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案一.填空题1．解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．2．解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．3．解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．4．解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．5．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．6．解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．7．解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：58．解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．9．解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．10．解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．11．解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时， +≥2，故≥4；当x•y＜0时， +≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]12．解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．13．解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．14．解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二.解答题15．解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．16．解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n+1＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，整理得：k＞﹣2n﹣1，又∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n，∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．17．解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时， +（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．18．解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．19．解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．20．（1）证明：由，得，…所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…二.高二数学试题21．解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．22．解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．23．解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．24．解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③25．解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．26．解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．江苏省高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．函数f（x）=+的定义域为．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x ﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f （x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=•﹣，=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}满足=pn+r（p，r为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若p=，a1=2，求数列{a n}的通项公式；（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．参考答案一、填空题：1．答案为：{0，1}2．答案为：（2，3）．3．答案是：±1．4．答案为：．5．答案为：5．6．答案为：2ln2．7．答案为：．8．答案为：0．9．答案为：2．10．答案为a＜﹣1．11．答案为：．12．答案为：13．答案为：12．14．答案为（，1）．二、解答题15．解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），∴f（x）=•﹣=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，…4分∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分（2）因为f（B）=0，即sin（2B﹣）=1，∵B∈（0，π），∴2B﹣∈（﹣，），∴2B﹣=，解得B=；…10分又有c=2，a=3，在△ABC中，由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，即b=．…14分．16．证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又∵N分别为线段AC1的中点．∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点， (2)分∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC，…4分又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C…6分（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，∴AD⊥平面BB1C1C，…10分又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BC，…12分又由（1）知，MN∥BC，∴MN⊥AD…14分17．解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．18．解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，所以D=2，F=﹣1，由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，代入解得E=0，所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；…6分（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，不妨设A（，0），B（，0），设直线PA的方程：y=k（x++1），因以MN为直径的圆经过线段AB上点，所以直线PB的方程：，设M（2，k（3+）），N（2，），所以MN为直径的圆方程为，化简得，，由P点任意性得：，解得x=，因为，所以x=，即过线段AB上一定点（，0）…16分．19．解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即．所以c的取值范围是…（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…令，则h'（x）=2（x2+2x﹣3）e2x=2（x+3）（x﹣1）e2x，令h'（x）=0，解得x=﹣3或x=1，列表得：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣0+h（x）增极大值减极小值增由表可知当x=﹣3时，h（x）取得极大值；…当x=1时，h（x）取得极小值．又当x＜﹣3时，，所以此时h（x）＞0，故结合图象得c的取值范围是…20．（1）证明：由p=1，r=0，得S n=na n，∴S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），两式相减，得a n﹣a n﹣1=0（n≥2），∴{a n}是等差数列．（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，则S n=a n，a n﹣1，两式相减，=，∴a n=•…=•…•2=n（n+1），化简得a n=n2+n（n≥2），又a1=2适合a n=n2+n（n≥2），∴a n=n2+n．（3）解：由（2）知r=1﹣p，∴S n=（pn+1﹣p）a n，得S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），两式相减，得p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），易知p≠0，∴=．①当p=时，得=，∴===…==，满足a2016=2016a1，pr=．②当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），又a n＞0，∴p（n﹣1）a n＜pna n﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；综上所述，p=r=，∴pr=．江苏省高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B 两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C 分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．江苏省高二数学上学期期中考试卷（四）（文科）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设命题P：∃x∈R，x2＞1，则¬P为．2．函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为．3．函数y=xe x的极小值为．4．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．5．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．6．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．7．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．8．若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．9．若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=．10．若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为．11．已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．12．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为．13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④f（）＞．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．20．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．参考答案一、填空题1．答案为：∀x∈R，x2≤1；2．答案为：4．3．答案为：．4．答案为：2．5．答案为：．6．答案为：必要不充分．7．答案为：x2﹣y2=1．8．答案为： +=1．9．答案为：1或2．10．答案为：1．11．答案为：（0，]．12．答案为：4π．13．答案为：．14．答案为：①③．二、解答题15．解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．16．解：（I）定义域为（0，+∞）…得，令f'（x）=0，x=2x0＜x＜2x＞2f'（x）﹣+所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）…（II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2…又f（1）=，…因为所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2，…17．解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．19．解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为： +=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，所以，所以g（x）是偶函数…（II）因为当x＞0时xf'（x）﹣f（x）＜0，所以，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数…（III）由（I）f（﹣1）=0，g（﹣1）=g（1）=0，…x＞0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（1），由（II）所以0＜x＜1，…x＜0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（﹣1），由（I）（II）g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以x＜﹣1．…综上不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）…江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．直线的倾斜角为．2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是．3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．参考答案一、填空题1．解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b异面．故答案为：平行、相交或异面3．解：设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）即kx﹣y﹣k﹣=0由圆与直线相切可得d=r，即=2化简得3k2﹣2k+1=0解得k=，。

2020-2021 学年度秋学期四校期中联考试卷高二英语第一部分听力（共两节，20 小题，每题1.5 分，满分30 分）第一节（共5 小题；每小题1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

每段对话仅读一遍。

1. What is George's favorite sport?A. Tennis.B. Fishing.C. Swimming.2. How will the man pay the bill?A. By card.B. By WeChat.C. In cash.3. What are the speakers probably talking about?A. The woman's major.B. The woman's job.C. The woman's parents.4. What will the woman take back to the shop?A.The T-shirt.B. The shorts.C. The sweater. 5. Where is the butter now? A. In the bowl. B. On the shelf. C. In the fridge. 第二节（共15 小题；每小题1.5 分，满分22.5 分）听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。

每段对话或独白读两遍。

听第6 段材料，回答第6、7 题。

6. What is the woman going to do? A. Go shopping. B. Buy some pizza. C. Help with a party. 7. Where are the speakers probably? A. On a bus. B. At a restaurant. C. In a supermarket. 听第7 段材料，回答第8、9 题。

江苏省江阴二中、要塞中学等四校2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案2020-2021学年第一学期高一期中考试数学学科试题时间：120 分钟 满分：150 分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合P ＝{－1，0，1，2｝，Q ＝｛0，2,3}，则P ∩Q 的元素个数为（ ）A. 1B. 2 C 。

3 D. 42．如图，已知全集U ＝R,集合A ＝{x|x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x|－2≤x≤3｝，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．｛x ｜－2≤x ＜4}B ．{x ｜x≤3或x≥4｝C ．{x|－2≤x≤－1｝D ．{x|－1≤x≤3}3．设命题甲为：15x -<<，命题乙为:|2|4x -<，那么甲是乙的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()f x 满足1(21)f x x-=，则(3)f =( ） A ．12-B ．12C ．1-D ．15、有下列四个命题:①∀x ∈R ，+1＞0；②∀x ∈N ，x 2＞0；③∃x ∈N ，x ∈［﹣3,﹣1）;④∃x ∈Q ，x 2＝2．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46、若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（)A．B．C．D．7、下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1 B．y＝﹣x2C．y＝x3D．y＝﹣8、某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10％）又经历了3次跌停（每次下降10%）,则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（)A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（)A．∃x0∈R，x错误!－x0＋错误!〈0 B．所有的正方形都是矩形C．∃x0∈R，x错误!＋2x0＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝010、2x＞1的充分不必要条件是(）A．x＜0 B．x＞0 C．0＜x＜1 D．x＞111．若 a > b >0，d 〈 c < 0，则下列不等式成立的（)A 。

江苏省无锡市江阴要塞中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知x ，y 的取值如下表： 22从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为，则实数a 的值为（ ）A. -0.1B. 0.61C. -0.61 D . 0.1参考答案：C 【分析】 算出可得.【详解】，，故.故选C.【点睛】一般地，线性回归方程对应的直线过样本中心，此类问题属于基础题.2. 840和1764的最大公约数是（ ） A ．84 B ． 12 C ． 168 D ． 252 参考答案： A3. 已知P 是曲线上一点，则点P 到直线距离的最小值为A ．B ．C ．D ．参考答案：B4. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：该程序框图的功能是（ ）A ．求出a, b, c 三数中的最大数B ． 求出a, b, c 三数中的最小数C ．将a, b, c 按从小到大排列D ． 将a, b, c 按从大到小排列参考答案： B5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：x+y+a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA|2+|MO|2=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣﹣1，﹣1）B ．[﹣﹣1，﹣1]C ．（﹣2﹣1，2﹣1） D ．[﹣2﹣1，2﹣1]参考答案：D【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设M （x ，﹣x ﹣a ），由已知条件利用两点间距离公式得x 2+（﹣x ﹣a ）2+x 2+（﹣x ﹣a ﹣2）2=10，由此利用根的判别式能求出实数a 的取值范围．【解答】解：设M （x ，﹣x ﹣a ），∵直线l ：x+y+a=0，点A （0，2），直线l 上存在点M ，满足|MA|2+|MO|2=10，∴x2+（x+a）2+x2+（﹣x﹣a﹣2）2=10，整理，得4x2+2（2a+2）x+a2+（a+2）2﹣10=0①，∵直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，∴方程①有解，∴△=4（2a+2）2﹣16[a2+（a+2）2﹣10]≥0，解得：﹣2﹣1≤a≤2﹣1，故选：D．6. 已知为异面直线，平面，平面．直线满足则（）A．,且B．,且C．与相交,且交线垂直于D．与相交,且交线平行于参考答案：D7. 若一个椭圆的内接正方形有两边分别经过它的两个焦点，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆的通径长，则=2c，由椭圆的离心率e=，求得e2+e﹣1=0，根据椭圆的离心率取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由椭圆与正方形的对称性可知：正方形的一边长为椭圆焦距为2c，另一边长为通径长，则=2c，∴a2﹣c2=ac，由椭圆的离心率e=，整理得：e2+e﹣1=0，解得：e=，由椭圆的离心率e＞0，则e=，故选C．8. 空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 在直角坐标系xOy中，若直线l：（t为参数）过椭圆C：（为参数）的左顶点，则a=（）A. B. －5 C. －2 D. －4参考答案：D【分析】根据直线和椭圆的参数方程转化为普通方程求解.【详解】直线的普通方程为，椭圆的普通方程为，左顶点为．因为直线过椭圆的左顶点，所以，即．选D.【点睛】本题考查直线和椭圆的参数方程转化为普通方程，属于基础题.10. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如表关系，y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）参考答案：A【分析】将代入与的线性回归方程为得出对应销售额的预测值，然后再求残差。

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“x∈R，x≤1或x>4”的否定为．2.若直线x+ay−a=0与直线ax−(2a−3)y−1=0垂直，则a的值为3.设条件p：|2x+3|<1；条件q：x2−(2a+2)x+a(a+2)≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．4.圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心坐标为______ ．5.已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a//b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是______ ．6.已知直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2<θ<0)，则直线l的倾斜角为______．7.圆锥的侧面展开图是面积为2π的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是______．8.直线y=x+2被圆M：所截得的弦长为9.设椭圆C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为e=12，抛物线C1：y2=−4mx(m>0)的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为______．10.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是______．11.若不等式的解集为区间［a，b］，且b−a=2，则k=______________．12.已知圆C1：x2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x−1=0相交于两点A，B，则直线AB的方程为______．13.已知圆O：x2+y2=1，圆N：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a>0)，若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则a的取值范围是______．14.已知倾斜角为α的直线l与直线2x+y−3=0垂直，则cos(2019π+2α)=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知圆C的方程为，过点斜率为的直线与圆交于另一点，且(1)求直线的方程；(2)时，求过点且与圆C相切的直线的方程．16. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PA=PB，PC=2．(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)H为PA的中点，求二面角D−CH−B的余弦值．17. 设命题p：方程x22+k −y23k+1=1表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P(−2,1),且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p，q都是真命题，求k的取值范围．18. 如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB=2DE，∠ADE=90°.线段BE上的点M满足BM=2ME．(1)证明：DE//平面GMC；(2)求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．19. 如图，直线PA为⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于E，F两点，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．(1)若PA=4，PE=2，求⊙O直径的长度．(2)证明：PA=PD．20. 已知椭圆C1的方程为x24+y22=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2√2，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：． 解析：由题意得，， 故答案为：．2.答案：0或2．解析：当时，两直线分别为与，显然垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上的值为0或2．3.答案：[−3,−2]解析：解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，且q ⇏p ．记p ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，q ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}，则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立， 解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．4.答案：(2,2)解析：解：由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，∴圆心坐标为(2,2)．故答案为：(2,2)由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，即可得到圆心的坐标．本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．5.答案：①解析：解：对于①，若a//b，a⊥c，由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，可得b⊥c，故①对；对于②，空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故②错；对于③，比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，故③错；对于④，已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b 所成的角，故④错．故答案为：①．由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，即可判断①；空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，即可判断②；比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，即可判断③；已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，即可判断④．本题考查空间两直线的位置关系：平行和相交或异面，考查异面直线所成的角的概念，是一道易错题，也是基础题．6.答案：π+θ解析：解：设直线的倾斜角为α<θ<0)，直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2，则直线y=tanθx+2cosθ则直线的斜率k=tanθ=tanα，则α=π+θ，故答案为：π+θ设直线的倾斜角为α，0≤α<π，即可求出答案．本题考查了直线的倾斜角的问题，关键掌握倾斜角的范围，属于基础题．7.答案：√3π3。

江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”否定是_____________.2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ．3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________.5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.11. 已知实数x y ，满足方程y yx取值范围是_______.12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+的的的相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；的（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2nx n ∃∈≤N 故答案为2,2nx n ∃∈≤N2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0 【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0． 考点：两条直线的位置关系 3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 【答案】充分不必要 【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y += 【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=.故答案为221x y +=5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______. 【答案】π4【解析】【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________. 的32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值. 【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以lr ， 即S 2＝12l ×2πr2＝π，所以12S S32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2- 【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),10)a a ><或,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆则2a =-.故答案为-29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C方程为____.【答案】22143x y +=【解析】【分析】 由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程. 【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______. 【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误; 由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11. 已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______. 【答案】0⎡⎣【解析】 【分析】方程y ()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令yk x=,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k,所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为⎡⎣【详解】12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【解析】 【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切，∴|C 1C 2a b =+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭．故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )≥4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a km a k b -+所以0y =2222b ma k b+,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b +=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12. 故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【解析】 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得． （2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠ 将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形,的∴FG ∥ED . 又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED. (2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF , 又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x y C m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<,解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点, 则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（13；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==， 如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =，∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥， 取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[2-+.【解析】【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM +的最小值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）【解析】【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =结合条件//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 的所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M 点的横坐标为x = 由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==≥，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.的。

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中联考数学试题一、填空题1．命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2n x n ∃∈≤N故答案为2,2nx n ∃∈≤N2．过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0．【解析】两条直线的位置关系 3．32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）【答案】充分不必要【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4．若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y +=【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=. 故答案为221x y +=5．已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.【答案】π4【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.【答案】32【分析】，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值.【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以l ＝2r ， 即S 2＝12l ×2πr ＝2πr 2＝92π，所以12S S ＝92π＝32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8．直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2-【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),210)a a a a -><或,因为直线被圆截得的弦长为2,21a a --2211a a ++21a a --则2a =-.故答案为-29．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____. 【答案】22143x y +=【分析】由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程.【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10．已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误;由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11．已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______.【答案】0⎡⎣【分析】方程y()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令y k x =,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k 所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为3⎡⎣【详解】12．已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切， ∴|C 1C 2()22()(22)a b a b ++---=+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭． 故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题． 13．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,又圆的半径为2当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥,所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O的直线:l y =kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a kma kb -+所以0y =2222b m a k b +,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b+=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12.故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题15．（1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得．（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．如图，过底面是矩形的四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ； (2)平面DAF ⊥平面BAF . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形, ∴FG ∥ED .又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED .(2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF ,又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17．在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<, 解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <<若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（1）3312a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意23BCD S =△，231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a =，又12CG a =，∴CF CDCG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥， 又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ， ∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[221,2221]-+.【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离 2675.55mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()2255463755,t -≤+-+-≤+⎡⎤⎣⎦解得22212221t -≤≤+. 因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡-+⎣.【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM+的最小值. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）22【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 的方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.。

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知{a n}是以q为公比的等比数列，a n>0且q≠1，则()A. a1+a6>a3+a4B. a1+a6≥a3+a4C. a1+a6=a3+a4D. a1+a6与a3+a4的大小不确定3.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(−，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()．A. B. C. D.4.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的()A. 充分且必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=15，a3=5，则公比q的值为()A. −12B. 1 C. −12或1 D. 12或16.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知f(x)=log2(x−2)，若实数m，n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()A. 5B. 7C. 8D. 98.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=−1，则a4等于()A. 2B. 0C. −1D. −29.√x(8−x)的最大值是()A. 4B. 2√2C. 4√2D. 1610. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E +D =1B ，则A ×B =( )A. 6EB. 72C. 5FD. B 011. 下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n 项和的是( )A. S n =3n −1B. S n =3nC. S n =3n +1D. S n =3n +212. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +14，则a n =( )A. 2n−1 B. (12)n+1 C. 2n−3D. (14)n二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 给出下列命题：①函数y =sinx 在第一象限是增函数； ②函数y =cos(ωx +φ)的最小正周期T =2πω；③函数y =sin(23x +72π)是偶函数；④函数y =cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到y =sin(2x +π4)的图象． 其中正确的命题是______ ．14. 在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q = ______ ．15. 在△ABC 中，BC =2，sinB +sinC =3sinA ，则中线AD 的取值范围是______． 16. 设，若恒成立，则实数的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a >0且满足不等式22a+1>25a−2． (1)求实数a 的取值范围．(2)求不等式log a (2x −1)<log a (7−5x)．(3)若函数y =log a (2x −1)在区间[1,3]有最小值为−2，求实数a 值．18. 已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n −2,b n =n 2(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，令T n 为的前n 项和{c n }，求T 2n ．19. 已知关于x 的不等式ax 2+bx −1≥0． (1)若此不等式的解集为[3,4]，求a +b 的值； (2)若a =−1，解此不等式．20. 在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市高二（上）期初数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数z =√3−√2i 的虚部为( )A. √2B. −√2C. √2iD. −√2i2. 向量|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=2√3，向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角是120°，则a ⃗ ⋅b ⃗ 等于( )A. 3B. −3C. −3√3D. 3√33. 已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a4. 已知组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为2，方差为5，则数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x n +1的平均数x −与方差s 2分别为( )A. x −=4，s 2=10 B. x −=5，s 2=11 C. x −=5，s 2=20D. x −=5，s 2=215. 已知x >1，则x 2+2x−1的最小值是( )A. 2√3+2B. 2√3−2C. 2√3D. 26. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,(x ≤1)2a x,(x >1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,3)B. (0,3]C. (0,2)D. (0,2]7. 已知函数f(x)=sinωxcosωx −√3cos 2ωx +√32(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为π4，则函数f(x)的图象( )A. 可由函数g(x)=cos4x 的图象向左平移5π24个单位而得 B. 可由函数g(x)=cos4x 的图象向右平移5π24个单位而得 C. 可由函数g(x)=cos4x 的图象向右平移7π24个单位而得 D. 可由函数g(x)=cos4x 的图象向右平移5π6个单位而得8. 据《九章算术》记载，“鳖臑(biē nào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，且PA =AB =BC =2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 6πB. 4πC. 12πD. 5π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是()A. A与C互斥B. B与C互斥C. A与B对立D. A与C对立10.已知函数f(x)=sinxcosx，下列四个命题中正确的是()A. 若f(x1)=−f(x2)，则x1=−x2B. f(x)的最小正周期是2πC. f(x)在区间(−π4,π4)上是增函数D. f(x)的图象关于直线x=3π4对称11.在△ABC中，着AB=4，AC=5，△BCD为等边三角形(A,D两点在BC两侧)，则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是()A. ∠BAC=2π3B. ∠BAC=5π6C. S=41√34+20 D. S=41√3412.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D1的中点，F为CC1上的一个动点，设由点A，E，F构成的平面为α，则()A. 平面α截正方体的截面可能是三角形B. 当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面面积为2√6C. 点D到平面α的距离的最大值为2√63D. 当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.在一次射击训练中，两人射击同一个目标，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.7，则甲乙均未击中目标的概率为______．14.定义在(−1,1)上的奇函数f(x)=x+mx2+nx+1，则常数m=______，n=______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB=2−√3，已知向量m⃗⃗⃗ =(a+b,b+c)，n⃗=(c−b,a).若m⃗⃗⃗ //n⃗，则ac=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数z1=m−2i，复数z2=1−ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1)若m=1，n=−1，求|z1+z2|的值；(2)若z1=z22，求m，n的值．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosB=bcosA．(1)求ba的值；(2)若sinA=13，求sin(C−π4)的值．19.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值．20.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分(十分制)分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．21.定义在R上的增函数y=f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．22.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，AA1=√2．(1)求证：B1C//平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：z=√3−√2i的虚部为−√2，故选：B．利用虚部的定义即可得出．本题考查了虚部的定义，考查了理解能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：a⃗⋅b⃗ =√3⋅2√3⋅cos120°=−3．故选：B．根据平面向量数量积的运算公式代入计算即可．本题考查平面向量数量积的运算性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】C【解析】解：根据题意，数据x1，x2，…，x n的平均数为2，方差为5，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数x−=2×2+1=5，其方差s2=22×5=20；故选：C．根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵x>1，∴x−1>0．∴x2+2x−1=x2−2x+2x+2x−1=x2−2x+1+2(x−1)+3x−1=(x−1)2+2(x−1)+3x−1=x−1+3x−1+2≥2√3+2，(当且仅当x−1=3x−1，即x=√3+1时，等号成立)．故选：A．化简x2+2x−1=x2−2x+2x+2x−1=x−1+3x−1+2，结合x>1，利用基本不等式求最值即可．本题考查了基本不等式的应用，同时考查了化简运算能力及整体思想与转化思想，属于中档题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围．由f(x)为R上的减函数可知，x≤1及x>1时，f(x)均递减，且(a−3)×1+5≥2a1，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a−3<0①，x>1时，f(x)递减，即a>0②，且(a−3)×1+5≥2a1③，联立①②③解得，0<a≤2．故选D．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sinωxcosωx−√3cos2ωx+√32=12sin(2ωx)−√3⋅1+cos2ωx2+√3 2=sin(2ωx−π3)(ω>0)的相邻两个零点差的绝对值为π4，∴12⋅2π2ω=π4，∴ω=2，f(x)=sin(4x−π3)=cos[(4x−π3)−π2]=cos(4x−5π6).故把函数g(x)=cos4x的图象向右平移5π24个单位，可得f(x)的图象，故选：B．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求出ω，可得函数解析式，再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，故可将三棱锥P−ABC 放入正方体中，如图所示：，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为R，则(2R)2=22+22+22，解得：R=√3，所以外接球的表面积为4πR2=12π．故选：C．将三棱锥P−ABC放入正方体中，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，外接球的半径为正方体体对角线的一半，求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求出结果．本题主要考查了三棱锥外接球问题，将三棱锥P−ABC放入正方体中是本题的解题关键，是基础题．9.【答案】AB【解析】解：由题意可知，C={三件产品有次品，但不全是次品}，包括1件次品2次正品，2件次品，1次正品两个事件，A={三件产品全不是次品}，即3件产品全是正品，B={三件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，故A，B正确，A与B为互斥，由于总事件中还包含“1件次品2次正品”，“2件次品，1次正品两个事件“”，故A与B不对立，故C错误，A与C为互斥，由于总事件中还包含B，故A与C不对立，故D错误．故选：AB．根据已知条件，根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解．根据已知条件，结合互斥事件和对立事件的定义，即可求解．10.【答案】CD【解析】解：f(x)=12sin2x，当x1=0，x2=π2时，f(x1)=−f(x2)，但x1≠−x2，故A是假命题；f(x)的最小正周期为π，故B是假命题；当x∈[−π4,π4]时，2x∈[−π2,π2]，故C是真命题；因为f(3π4)=12sin3π2=−12，故f(x)的图象关于直线x=3π4对称，故D是真命题．故选：CD．利用二倍角公式化简函数的解析式，通过反例判断A；求解周期判断B；判断函数的单调性判断C；函数的对称性判断D．本题考查命题的真假的判断，二倍角公式的应用，函数的单调性以及函数的周期性的应用，是中档题．11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查余弦定理、三角形面积公式，需要学生找到两个公共边BC的等量关系是解本题的关键，属于基础题．利用余弦定理找出边BC与cos A的关系，运用两角和公式，将面积的表达式转化为一个角的三角函数，求出三角函数表达式的最大值，即为面积的最大值．【解答】解：由余弦定理可得AB2+AC2−BC2=2AB⋅AC⋅cosA，∴BC2=42+52−2×4×5×cosA∴BC2=41−40cosA，∵△BCD为等边三角形，∴S△BCD=12BC⋅BD⋅√32=√34BC2=√34(41−40cosA)，∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA=10sinA，∵S ABCD=S△BCD+S△ABC=41√34+10sinA−10√3cosA41√3 4+20sin(A−π3)，∴当A −π3=π2时，即A =5π6，即∠BAC =5π6，四边形ABDC 的面积S 最大，S =41√34+20，故选：BC ．12.【答案】BCD【解析】解：根据题意，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，延长AE 与z 轴交于点P ，连接PF 与y 轴交于点M ， 则平面α由平面AEF 扩展为平面APM ， 由此模型可知选项A 错误，选项D 正确， 对于选项B ，当点F 与点C 1重合时，截面是一个棱长为√5的菱形，该菱形的两条对角线长度分别为√22+22+22=2√3和√22+22=2√2则此时截面的面积S =12×2√3×2√2=2√6，B 正确；因为D(0,0，0)，A(2,0，0)，P(0,0，2)，设点M 的坐标为(0,t ，0)，t ∈[2,4]， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,t ，0)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)； 点P 到直线AM 的距离d 2=√|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||=√20t2+644+t 2，所以△APM 的面积S =12×√t 2+4×d 2=√5t 2+16， 又S △PAD =12×2×4=4， 设点D 到平面α的距离为h ，由等体积法，V D−APM =V M−PAD ，即13×S △PAD ×t =13×S △PAM ×ℎ， 解得ℎ=4t √5t 2+16=4√5+16t 2， 则h 在[2,4]上单调递增，所以当t =4时，h 取得最大值为2√63， 故选：BCD ．根据题意，建立合适的空间直角坐标系，平面AEF 扩展为平面APM ，即可判断选项A ，B ，D ，然后计算点D 到直线AM 的距离并用等体积法求解，结合函数的单调性，即可判断选项C .综合可得答案．本题考查空间几何体的截面以及点到直线的距离问题，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题．13.【答案】0.06【解析】解：设甲击中目标为事件A，乙击中为事件B，则P(A)=0.8，P(B)=0.7，故P(A−B−)=P(A−)P(B−)=(1−0.8)(1−0.7)=0.06．故答案为：0.06．根据已知条件，结合条件概率乘法公式，即可求解．本题主要考查了条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】0 0【解析】解：因为函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，所以必定有f(0)=m1=0⇒m= 0，此时f(x)=xx2+nx+1，函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数得到f(−x)=−f(x)，即x+mx2+nx+1=(−x)+m(−x)2+n(−x)+1⇒n=0．故答案为：m=0，n=0．由题意函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，利用奇函数若在0出有定义则f(0)=0，解出m的值，在利用奇函数的定义得到f(−1)=−f(1)，即可解出n．此题考查了奇函数若在0出有定义则f(0)=0这一结论，还考查了奇函数的定义及求解一元一次方程．15.【答案】√63【解析】解：由m⃗⃗⃗ //n⃗，得(a+b)⋅a=(c−b)⋅(b+c)，化简得c2=a2+b2+ab，由余弦定理知，cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，∵C∈(0,π)，∴C=2π3，∴tan(B+C)=tanB+tanC1−tanB⋅tanC =2−√3−√31−(−√3)⋅(2−√3)=−1，∴tanA=−tan(B+C)=1，又A∈(0,π)，∴A=π4，由正弦定理得，asinA =csinC，即ac=sinAsinC=√22√32=√63．故答案为：√63．先根据平面向量平行的条件推出c2=a2+b2+ab，再由余弦定理求得cosC=−12，由两角和的正切公式得tanA=−tan(B+C)=1，最后由正弦定理，得解．本题考查平面向量与解三角形的综合，熟练掌握平面向量平行的条件，正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】10π;2√303π【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件可得：{l+r+√2r=(5+√2)×√2 2πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵ℎ=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π.故答案为：10π，2√303π由已知中边长为5+√2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，且以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，可围成一个圆锥，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，求出l，r，h后，代入圆锥表面积公式和体积公式，可以得到答案．本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，其中根据已知构造方程，求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，高h ，是解答的关键．17.【答案】解：(1)当m =1，n =−1时，z 1=1−2i ，z 2=1+i ，所以z 1+z 2=(1−2i)+(1+i)=2−i ， 所以|z 1+z 2|=√22+(−1)2=√5. (2)若z 1=(z 2)2，则m −2i =(1−ni)2， 所以m −2i =(1−n 2)−2ni ，所以{m =1−n 2−2=−2n，解得{m = 0n =1.【解析】(1)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． (2)利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：∵在△ABC 中，acosB =bcosA ，∴a b=cosA cosB，又由正弦定理可得a b =sinAsinB ， ∴cosAcosB =sinAsinB ，sinAcosB −cosAsinB =0，sin(A −B)=0． 由−π<A −B <π得，A −B =0， ∴a =b ，即ba =1．(2)∵A =B ，A +B +C =π，A 为锐角，sinA =13， ∴cosA =√1−sin 2A =2√23，sin2A =2sinAcosA =2×13×2√23=4√29，cos2A =2cos 2A −1=79，∴sin(C −π4)=sin(π−2A −π4)=sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A) =√22×(4√29+79)=8+7√218．【解析】本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及二倍角公式，涉及正弦函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系，根据三角函数值求角的大小，推出sin(A −B)=0 是解题的关键．(1)应用正弦定理和已知条件可得cosAcosB =sinAsinB ，进而得到sin(A −B)=0，故有A −B =0，得到ba =1．(2)由(1)可得A =B ，A 为锐角，利用同角三角函数关系式可求cos A ，利用倍角公式可求sin2A ，cos2A 的值，结合三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值．19.【答案】解：(1)∵A′C′//AC ，∴AO 与A′C′所成的角就是∠OAC ． ∵AB ⊥平面BC′，OC ⊂平面BC′， ∴OC ⊥AB ，又OC ⊥BO ，AB ∩BO =B ，AB ，BO ⊂平面ABO ， ∴OC ⊥平面ABO ．又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA ，在Rt △AOC 中，OC =√22，AC =√2，sin∠OAC =OCAC =12，∴∠OAC =30°．即AO 与A′C′所成角为30°．(2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE ．∵平面BC′⊥平面ABCD ，平面BC′∩平面ABCD =BC ，OE ⊂平面BC′， ∴OE ⊥平面ABCD ，∴∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE =12，AE =√12+(12)2=√52，∴tan∠OAE =OEAE =√55． 即AO 与平面ABCD 所成角的正切值为√55．(3)由(1)可知OC ⊥平面AOB ．又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°．【解析】(1)说明AO 与A′C′所成的角就是∠OAC.然后求解即可．(2)作OE ⊥BC 于E ，连接AE.说明OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．然后求解即可． (3)说明平面AOB ⊥平面AOC.推出平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°．本题考查异面直线所成角以及直线与平面所成角的求法，(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法．20.【答案】解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆．由题意得50n =10100+300，解得n =2000，则z =2000−100−300−150−450−600=400． (2)设所抽的5辆轿车中有a 辆舒适型轿车． 由题意得4001000=a5，则a =2．因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，从5辆桥车中任取2辆，则祥本空间：Ω={(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)}．设事件E =“至少有1辆舒适型轿车”，则E ={(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)}， 故P(E)=710，即所求概率为710．(3)总体平均数x −=18(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0． 设事件D =“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”， 则样本空间包含8个样本点，事件D 包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0． ∴该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为P =68=34．【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，利用分层抽样列方程，能求出n ，进而能求出z ．(2)设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车，由题意得4001000=a5，a=2.在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，从5辆桥车中任取2辆，利用列举法能求出至少有1辆舒适型轿车的概率．(3)先求出总体平均数，设事件D=“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，由此能求出样本空间包含8个样本点，事件D包含6个样本点．本题考查概率的求法，考查古典概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2)令y=−x，得f(x−x)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k⋅3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k⋅3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，又有3x+23x −1≥2√2−1，当且仅当时取等号，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞,2√2−1)．【解析】本题考查函数的恒成立问题与抽象函数的应用，关键是用赋值法求出f(0)，进而来判断函数的奇偶性．(1)根据题意，令x=y=0可得，f(0)=f(0)+f(0)，变形可得f(0)，(2)令y=−x，得f(x−x)=f(x)+f(−x)，由(1)可得f(0)=0，即可得0=f(x)+f(−x)，可得证明；(3)根据题意，由f(x)的奇偶性与单调性，可将f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0变形为f(k⋅3x)<f(−3x+9+2x)，进而可得k<3x+23x−1，由基本不等式的性质，可得3x+23x−1有最小值，令k小于其最小值即可得k的取值范围．22.【答案】解：(Ⅰ)连结AB1交A1B于O，连结OM．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1中点，所以OM//B1C.又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C//平面A1BM.…(4分)(Ⅱ)因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM．又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为AA1∩AC=A，所以BM⊥平面ACC1A1．所以BM⊥AC1．因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．又因为AA1=√2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C=tan∠A1MA=√2．所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．所以A1M⊥AC1．因为BM∩A1M=M，所以AC1⊥平面A1BM.…(10分)(Ⅲ)当点N为BB1中点时，即BNBB1=12，平面AC1N⊥平面AA1C1C.设AC1中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为AC1，AC中点，所以DM//CC1，且DM=12CC1．又因为N为BB1中点，所以DM//BN，且DM=BN，所以四边形DMBN是平行四边形，所以BM//DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1．又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.…(14分)【解析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM//B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，即可证明B1C//平面A1BM．(Ⅱ)易证AA1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，AA1=√2，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．(Ⅲ)当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM//DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．。