第6章 真空中的静电场 习题及答案
1。 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0,所以
2
00
200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε
故 223+=x
2。 电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问：（1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?（2)这种平衡与三角形的边长有无关系？
解：（1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以
2
220)3
3(π41
30cos π412a q q a q '=︒εε
故 q q 3
3-
=' （2）与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为
l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的
电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强.在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为
)
(4220R x dq
dE +=
πε
根据电荷分布的对称性知,0==z y E E
2
3
2
2
0)
(41
cos R x xdq
dE dE x +=
=πεθ
R O
λ1
λ2
l
x
y z
式中:θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角.
⎰+=
2
32
2
0)
(4dq R x x
E x πε
2
32210)(24R x R
x
+⋅=
πλπε2
32201)(2R x x
R +=
ελ
下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=,dq 受到的电场力大小为
dq E dF x =dx R x x
R 2
3
22021)(2+=
ελλ 方向沿x 轴正方向.
直线段受到的电场力大小为
⎰=dF F dx R x x
R l ⎰+=
02
3220
21)(ελλ2 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-
=
2/1220211
1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。
4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ.求：
(1）圆心处O 点的场强;
(2)将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。
解：（1）在半圆环上取ϕλλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为
20π4R dq dE ε=
ϕελ
d R
0π4= ，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，0=y E
ϕϕελ
ϕd R
dE dE x sin π4sin 0=
=
R
d R E x 000
π2sin π4ελ
ϕϕελπ
==⎰
故 R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向.
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。
解:建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L
q
dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为
2
02044x
dx
x dq dE πελπε==
，方向沿x 轴负方向。 故 P 点场强大小为 ⎰
⎰+=
=L d d
P x dx
dE E 2
04πελ
()
L d d q
+π=
04ε
方向沿x 轴负方向。
6. 一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。 解:建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环,应用场强叠加原理求解。
在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2⋅=⋅=θθπσd R sin 22
⋅=，
dq 在O 点产生场强大小为(参见教材中均匀带电圆环轴线上
的场强公式）
2
32
2
0)
(4r x xdq dE +=
πε ,方向沿x 轴负方向
利用几何关系，θcos R x =，θsin R r =统一积分变量，得
2
3
220)
(4r x xdq
dE +=
πε
θθπσθπεd R R R sin 2cos 41
2
3
0⋅=
θθθεσ
d cos sin 20
=
因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大
小为
⎰=dE E θθθεσ
πd cos sin 22
/0
⎰
=
4εσ=
L
d
q P x
O
O
R
x dl
r
