计算机图形学10-曲线曲面参数表示的基础知识PPT课件

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那么,它的一阶,二阶,K阶(如果存在)导数分别为
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▪ 参数曲线相关术语
➢ 切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t. 当Q趋向R,也就是△ t→0
导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表
示△P的长度也可以近似表示这一
段弧长△ S
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切矢量
如果选择弧长S作为参数,则 是单位矢量
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参数曲线相关术语
用参数表示的3维曲线是一个有界的点集,可以写成一个带 参数的、连续的、单值的数学函数,形式为:
x=x(t),y=y(t),z=z(t) t [0,1]
位置矢量:曲线上任意一点的 位置矢量(即坐标),可以用 矢量p(t)表示,p(t)=[x(t),y(t),z(t)]
为什么选参数t呢,物理上 可以把3维空间的曲线理 解为一个动点的轨迹,表 示位置矢量p随时间变化
注:曲线上任意一点都可表示为给定参数t的函数。

参数表示形式优点:
① 满足几何不变性要求
② 更多自由度参数控制曲线与曲面形状
例:二维三次曲线显示表示:
yax3bx2cxd
二维三次曲线参数表示:
P(t)aa21tt33 b b2 1tt2 2 c c1 2tt d d12,t[0,1]
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最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为:
曲线和曲面
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目录
曲线曲面概述 曲线、曲面参数表示的基础
知识 曲线构造方法 三次样条参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线
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曲线曲面概述
▪ 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究 领域。
➢ 曲线曲面才是造型的真正统治者,它占据了我 们生活和幻想中的造型的绝大部分。
➢ 但曲线曲面又是如此地难以理解,让人们在一 段很长很长的时间内无法征服它。
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 曲线、曲面参数表示的
基础知识 ▪ 曲线构造方法 ▪ 三次参数曲线 ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
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显式、隐式和参数表示
曲线和曲面都有非参数表示和参数表示之分 在非参数中又分为显式和隐式表示
(1)显式
一般形式: y = f(x)
注: x 与y一一对应,显示方程不能表示封闭和多值 曲线。 (2)隐式
▪ 插值法
➢ 给定一组有序的数据点Pi,i=0, 1, …, n,构造一 条曲线顺序通过这些数据点,称为对这些数据点进 行插值,所构造的曲线称为插值曲线。
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参数曲线相关术语
弧长
当n →∞,可以把弧长表示为无数段 p0p1,p1p2….的长度组成
而当p0与p1的△ t→0时,p0p1可以 近似的表示为
于是从0到t的弧长可以表示为:
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参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 法矢量 对于空间参数曲线上的任意一点,所有垂直切 矢量T的矢量有一束,且位于同一平面上,该平 面称为法平面。
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参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 挠率: 等于副法线方向(或密切平面)对于弧长 的转动率,反应了曲线的扭绕特性。
平面曲线中密切平面是曲线所在平面,所以副法矢 固定不变,所以绕率总是=0,非平面曲线副法矢变 化了,会对曲线产生扭动的效果。
T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
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曲线构造方法
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曲线曲面概述
▪ 自由曲线和曲面发展过程 ➢ 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间,为了获得特殊的曲线, 人们用一根富有弹性的细木条或塑料条(叫做样条),用压铁在 几个特殊的点(控制点)压住样条,样条通过这几个点并且承受 压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点,使样条达 到符合设计要求的形状,则沿样条绘制曲线。 ➢ 1963年,美国波音,弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 ➢ 1964-1967年,美国MIT,孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲 面 ➢ 1971年,法国雷诺汽车,Bezier提出用控制多边形来定义曲线 和曲面 ➢ 1974年,美国通用汽车,戈登和里森菲尔德, B样条理论用于形 状描述 ➢ 1975年,美国锡拉丘兹大学,佛斯普里尔提出有理B样条 ➢ 80年代,皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条, 5
(6)规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量 是有界的,而不必用另外的参数去定义其边界。
(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。基 于这些优点,我们在以后将用参数表达式来讨论曲线问题。
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▪ 5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中,一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时,其数学模型难于 建立且性能不稳定,即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。 因此,实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线,如: 二次参数样条曲线: P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线: P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
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矢量积
是第三个单位矢量,它垂直于单位矢量
和单位矢量 。经该点与矢量 平等的法矢量称为曲
线在该 点的副法矢量,矢量 称为单位副法矢量。
(从切面) T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
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5.1参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 曲率和曲率半径:曲率几何意义是曲线的单位 切矢对弧长的转动率,即P(s)到P(s+ds)这段 弧的弯曲程度。
一般形式:f(x,y) = 0
注: 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。
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非参数表示形式(显示和隐式)存在如下问题: ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线,曲面,难于用常系数的非参数化函
数表示 ④ 不便于计算机处理
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(3)参数
一般形式: P(t)=[x(t),y(t)]
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:
其参数形式可表示为:
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(3)对非参数表示的曲线和曲面进行变化时,必须对 所有点进行变化;对参数表示的曲线和曲面则可直接对 参数方程变化。
(4)便于处理斜率为无限大的问题,不会因此而中断 计算。 (5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全 分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间 中的曲线扩展到高维空间去。