洋葱数学教学进度表——第17章勾股定理
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3.2 勾股定理的逆定理板书设计及课后作业 (1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( ) (2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( ) (3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( ) (4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( ) 2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______． 3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )． A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形’D．等腰三角形 5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )． A．4组B．3组 C．2组D．1组 6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )． A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF 7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝7，b＝24，c＝25； (2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5； 8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF 是否为等腰三角形，并说明理由． 9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由． 10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积． 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC ⊥CD． 第 1 页
第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1
勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。 a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 b .若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222 a c b +=，那么以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时， 称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 （3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式
第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）
（第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
第十七章勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 二驹学旦匣 【知识与技能】 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程 【过程与方法】 在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他 人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性 【情感态度】 1. 通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情 2. 在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神 【教学重点】 探索和证明勾股定理? 【教学难点】 用拼图的方法证明勾股定理? '教学里程 一、情境导入，初步认识 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议， 被誉为数学界的“奥运会”?这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片） （1）你见过这个图案吗？ （2）你听说过“勾股定理”吗？ 【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代 数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”?通过对图片的观察，为学生积 极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料 二、思考探究，获取新知 毕达哥拉斯是古希腊著名数学家?相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系?请你也观察一下类似的图案（教材P22 图形），你有什么发现？ 【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把
两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征. 【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和?问题等腰直角三角形三边 的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3 ,运用割补法分别计算正方形A、B C和正方形A'、B'、C'的面积，看看它们之间有什么关系？ 【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C'的面积，教师巡视，针对学 生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积?一方面，正方形C的面积为： 52-4X Z X 2 X 3=25-12=13;另一方面也有正方形C的面积为：4X ? X 2X 3+1=13,而这两 种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C'的面积为34. 通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a,b，斜边为c,则应有a2+b2=c2, 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方?上述结论我们都是通过特例而获得的， 是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？ 做一做 将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角 三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图. (1)中间小正方形边长是多少？它的面积呢？ (2)你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗? 不妨试试看. 【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识 最后师生共同探讨： 1 S大正方形=c2=4X 2 X a X b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2. 即a2+b2=c2. 有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾 股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图” 三、运用新知，深化理解
第17章 勾股定理知识点及典型 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
勾股定理（1） 知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。 过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。 教与学互动设计： 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？ 提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 （1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2
10c 20cm 3.得出结论 定理：经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图，一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒，为什么？ 练习：填空 （1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.
18．2 勾股定理的逆定理（三） 一、教学目标 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。 例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c 。 试判断△ABC 的形状。 分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0， 则都为0；⑶已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。 例2（补充）已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD 的面积。 分析：⑴作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ； ⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。 A B C D E D
第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B
18.2勾股定理的逆定理(第一课时) 、教学目标 知识目标： 1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 能力目标：(1)通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程； (2)通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用。 情感目标：(1)通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系； (2)通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和 严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 、教学重点难点 重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。难点：理解勾股 定理的逆定理的推导。 、教学准备 圆规、三角板、一根打了13个等距离结的细绳子、钉子、小黑板 四、教学过程 (1)复习旧课 1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是__________________ 。 2?—个直角三角形，量得其中两边的长分别为5 cm、3 cm则第三边的长是 3?要登上8高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6问至少需要多长的梯子？ (2)情境导入 1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ 【实验观察】 用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结 上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉 在一起.然后用三角板量出最大角的度数. 可以发现这个三角形是直角三角形。 (这是古埃及人画直角的方法) 2、用圆规、刻度尺作△ ABC 使AB=5c m，AC=4c m，BC=3c m，量一量/ C。再画一个 三角形，使它的三边长分别是5 cm、12 cm、13 cm,这个三角形有 什么特征？ 3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有 怎样的关系？(学生分组讨论，教师适当指导) 学生猜想：如果一个三角形的三边长a，b，c满足下面的关系那么这个三角形是直角三角形。 4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。 (3)探究新知 2 2 2 1、探究：在下图中，△ ABC的三边长a，b，c满足a +b=c。如果△ ABC
第十七章：勾股定理知识点归纳 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为口，由，斜边为C，那么 X 十变形公式C= a2b2，b= c2b2,a=.c2a2 2?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3?勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。 在3C 中a = 则c= a2b2, b= c2b2, a=、c2a2,②已知直角三角形一边，另外两边之间的数量关系 利用勾股定理：a2 b2c2，列方程求解。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 2.2 2 如果三角形三边长a, b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形，
最长边所对的角等于90 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一
第十七章：勾股定理知识点归纳 种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状， 在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形； 时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 为三边的三角形是锐角三角形； 作比 若，
第3课时 18.2 勾股定理的逆定理（1） 学习目标1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 重点难点重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 新知导学（一）复习巩固： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，三边长为a，b，c (1)两锐角关系∠____+∠____=90o (2)三边之间的关系(勾股定理)：_ ___2+__ __2=__ _2 2、求出下列直角三角形的未知边。 AC=______ BC=______ BC=_______ （二）探究新知： 1、已知：在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。 求证：∠C=90o。 分析：①思考：证明一个角是90o有何方法？ ____________________________ ②按要求画出图形作△A/B/C/，使B/C/=a，A/C/=b，∠C/=90o 。 ③在Rt△A/B/C/中，A/B/=_____________。 ④A/B/____AB，（填“=”或“≠”）作图： ⑤△_____≌△_____ （） ⑥∠C____∠C/（填“=”或“≠”） 证明： 2、小结：如果三角形的三边长a，b，c满足， 那么这个三角形是三角形。 3、定理的应用： 例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一条边所对的角是直角。 （1）a=15，b=20，c=25 解：∵2 2b a = = 2c= = ∴a2+b2 ____ c2（填“=”或“≠”） ∴线段a=15，b=20，c=25 构成直角三角形（“能”或“不能”） A B C
人教版初中数学第十七章勾股定理知识点
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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数 常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A
第十七章勾股定理 一、选择题（共18小题；共90分） 1. 若直角三角形的三边长分别为，，，则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为，，，则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设，是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中，，，高，则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为（是自然数），这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是 ( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点 落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 A. B. C. D. 11. 已知，，是的三边长，且满足，则的形状 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
12. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线 顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点，， 连接，则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格 点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》， 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示)，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走米，小丽走直线用了分钟，小芳先 去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了分钟，从家到图书馆用了分钟，则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、，且，，，则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2
3.2勾股定理逆定理 班级： 姓名： 一、选择题： 1．在△ABC 中AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是 （ ） A ．C B A ∠-∠=∠ B ．2 22b a c -= C ．a:b:c=3:3:2 D ．∠A：∠B：∠C=2：3：5 3．若三角形三边长分别是6、8、10，则它最长边上的高为 （ ） A ．6 B ．4.8 C ．2.4 D ．8 4．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的 （ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 二、填空题： 5．若一个直角三角形的三边长为连续整数，则它的三边长分别为 . 6．在Rt△ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=______ . 7．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积 . 三、解答题： 8．如图，在四边形ABCD 中，已知：AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，且AB⊥BC. 求证：AC⊥CD. 9．如图是一块地的平面图，AD=4m ，CD=3m ，AB=13m ，BC=12m ，∠ADC=90°，求这块
地的面积 ． 10．正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC= 4 1BC. 求证：∠EFA=90° 11．已知，△ABC 三条边分别为a 、b 、c ，若a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，其中m 、n 是正整数，且 m ＞n ，则△ABC 是否为直角三角形？ 书写评价 优 良 中 差 成绩评价优 良 中 差 批改时间 10月15日 A B C D F E
第 17 章 勾股定理单元测试 （时间：120 分钟 总分：120 分） 班级 学号 姓名 得分 一、相信你一定能选对！（每小题 3 分，共 30 分） 1. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 2. 三角形的三边长分别为 6,8,10，它的最短边上的高为( ) A. 6 B. C. D. 8 3. 下面几组数 : ①7,8,9；② 12,9,15 ；③ m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数 ,m > n ）；④ a 2 , a 2 + 1, a 2 + 2 .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 4. 三角形的三边为 a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a:b:c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c 2 C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a:b:c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为 (a + b ) 2 = c 2 + 2ab ,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. 6．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ． 7 D ．5 或 7 7．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm ，c=10cm ，则 Rt△ABC 的面积是（ ） A. 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 8．直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 9. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是 40 米/分，小红用 15 分钟到家，小颖 20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不能确定 10.（2009 丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ， A 三角形的顶点在相互平行的三条直线 l 1，l 2，l 3 上，且 l 1，l 2 之 C 间的距离为 2 , l 2，l 3 之间的距离为 3 ,则 AC 的长是（ ） A ． 2 17 B ． 2 5 C ． 4 2 D ．7 B l 3 l 2 l 1 二、你能填得又快又对吗？（每小题 3 分，共 24 分） 11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则 AB 2+ AC 2 + BC 2 =_______．
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理 01 基础题 知识点1 勾股定理的证明 1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2． 2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？ 解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋1 2 c 2， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2. 知识点2 利用勾股定理进行计算 3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．5 7．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2． 8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64． 【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．