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sinA+sinB__>__sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于(B) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
正弦定理
练习：
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
正弦定理
正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a2 b2 c2 a tan A A B 90
b
A
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？ Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
c2 a2 b2 2abcosC
例题分析：
例1 在ABC中，已知 a 4,b 4 2, B 45，求A .
解a：由 b sin A sin B
得sin A a sin B 1 b2
∵ 在ABC 中a b
C
∴ A 为锐角 A 30
变题：
42
4
待求角 450
A
B
1.在ΔABC中，已知a 4,b 4 2,A 30求B
C
正余弦Baidu Nhomakorabea理的应用
三角形中的边角关系
1、角的关系 A B C 180
2、边的关系 a b c , a b c
3、边角关系 大角对大边 大边对大角
a b c 2R sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
a k sin A, B k sin B,c k sinC 代入左边得： 左边＝ k(sin Asin B sin AsinC sin B sinC sin B sin A sinC sin A sinC sin B) 0 =右边 ∴ 等式成立
利用正弦定理证明“角平分线定理”
在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。
D. acos B bcos A
（2）在 ABC中，若
a cos
A
b cos B
c cos C
，则 ABC 是(
D)
2
2
2
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三有形
正弦定理
练习：
（3）在任一 ABC 中，求证：
a(sin B sinC ) b(sinC sin A) c(sin A sin B) 0 证明：由于正弦定理：令
sin A sin 32.0
正弦定理
例题讲解
例2，在ABC中，已知a 20cm,b 28cm, A 40,解三角形。
(角度精确到1，边长精确到1cm)
解：根据正弦定理，sin B bsin A 28sin 40 0.8999.
a
20
因为0 B 180,所以B 64,或B 116
1 2
1 2
ac 2(
sin B 1 bc 3 1)24
(sin3A) 2
6
2
3
正弦定理中的比值常数
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ c ）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则
三角形面积计算公式
创设情境
A
AC BC BA
B
C
如果| BA| a，BC b,夹角是，求| AC | .
数学理论
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
数学理论
cos A b2 c2 a2 , 2bc
正弦定理
正弦定理 相等，即
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 a b c sin A sin B sinC
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的 元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形
已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两 边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
cosB c2 a2 b2 , 2ac
cosC a2 b2 c2 . 2ab
例题讲解
已知b=3，c=1，A=60°，求a.
例题讲解
ABC中
(a b c)(b c a) 3bc，求A.
例题讲解
用余弦定理证明：在△ABC中，当∠C为锐角时， a2＋b2＞c2；当∠C为锐角时，a2+b2＜c2．
例题讲解
a，b是方程 x 2 2 3x 2 0 的两个根，且
2cos( A B) 1
求：（1）C的度数；（2）AB的长；(3)面积
课堂训练
课堂训练
课堂训练
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长
分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边
形ABCD的面积? A
B2
4 D
6
4
正弦定理
例题讲解
例1，在ABC中，已知A 32.0, B 81.8, a 42.9cm,解三角形 解：根据三角形内角和定理， C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2 根据正弦定理，b asin B 42.9sin 81.8 80.1(cm)
sin A sin 32.0 根据正弦定理，c asin C 42.9sin 66.2 74.1(cm)
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76,
c a sin C 20sin 76 30(cm). sin A sin 40
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24,
c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
正弦定理
例题讲解
例3 在 ABC 中，B 45,C 60,a 2( 3 1) ，求
ABC的面积S．
解： A 180 (B C ) 75
A
∴由正弦定理得 b a sin B 2(
3
1)(
2 h2
)
4
三角形面积公式
sin A B 6 2
C
4
SABC
S12ABaCha12
1 absinC 2absinC
