三角函数
知识要点:
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角
叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|=r
l
,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角
的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r
y
,
余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x
y
,
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象
限角．第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαπ⎧⎫
<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第二象限角的集合为{}
36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαππ⎧⎫
+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭
第三象限角的集合为{}
360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =_________________
三角函数知识框架图
第四象限角的集合为{}
360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =___________
终边在x 轴上的角的集合为{}
180,k k αα=⋅∈Z =____________________ 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z =_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z =__________________
3
、
与
角
α终边相同的角的集合为
{}360,k k ββα=⋅+∈Z =__________________
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域．
5、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1
180π
=
，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
． 6、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，
211
22
S lr r α==．
7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)
8、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．若⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则s inx 9、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；;
()
sin 2tan cos α
αα
=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝⎭
．
10、三角函数的诱导公式：（把角写成
απ
±2
k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．
()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 11、两角和与差的三角函数公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
12、和差化积与积化和差公式:
s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫
⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα,s in α-s in β=2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαsin ⎪⎭⎫
⎝⎛-2βα,
co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫
⎝⎛-2βα,
s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)],co s αs in β=21
[s in (α+β)-s in (α-β)],
co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)],s in αs in β=-2
1
[co s(α+β)-co s(α-β)].
13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2
α
α+=，21cos 2sin 2αα-=）．
⑶2
2tan tan 21tan α
αα
=
-． 14、半角公式:s in ⎪⎭
⎫
⎝⎛2α=2)cos 1(α-±2cos 12cos αα+±
=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 15、辅助角公式
:()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB
=A
． 16、万能公式
2
tan 12tan
2sin 2
α
α
α+=，2
tan 12tan 1cos 2
2α
αα+-=
，2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
17、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|
1
ω
|倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移|
|ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；
再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍
