第十四章习题课选讲例题

课时2 不等式的证明1．不等式证明的方法 (1)比较法： ①作差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法． (5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n ＝n 0时命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立．③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.④柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1,2，…，n )为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n 时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )． (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．1．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值．解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.2．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值． 解 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．∴(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.3．设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值．解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy .∵2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立． ∴⎣⎡⎦⎤(1x ＋1y )(x ＋y )min ＝4， 即－λ≤4，λ≥－4.题型一 用综合法与分析法证明不等式例1 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型二 放缩法证明不等式例2 若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.证明 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.思维升华 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： ①变换分式的分子和分母，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1； ②利用函数的单调性；③真分数性质“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m”．(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1. 证明 由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得 12n ≤1n ＋k <1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1. ∴原不等式成立．题型三 柯西不等式的应用例3 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n )≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.证明 由柯西不等式及题意得，(x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y) ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183， ∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．(4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知x ＋y ＝1，求2x 2＋3y 2的最小值．解 由柯西不等式(2x 2＋3y 2)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ 122＋⎝⎛⎭⎫ 132≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·132＝(x ＋y )2＝1，∴2x 2＋3y 2≥65，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝35，y ＝25时，等号成立．所以2x 2＋3y 2的最小值为65.2．设a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b 取得最小值时，求a 的值．解 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 3．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2.∴2a ＋2b ＋2c的最小值为2. 4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z .解 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.5．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c .求证：a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c ≥a ＋b ＋c .证明 因为⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c2a ＋b －c [(b ＋c －a )＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )]≥(a ＋b ＋c )2，又a ＋b ＋c >0，所以a 2b ＋c －a ＋b 2c ＋a －b ＋c 2a ＋b －c ≥a ＋b ＋c (当且仅当b ＋c －a a ＝c ＋a －b b ＝a ＋b －c c 时取等号)．6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． 解 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， ∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)7．(2015·湖南)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立， 则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．8．已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，n ∈N *， ∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2， ∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 9．(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围． 解 (1)∵|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集， ∴a >1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·[(x 4)2＋(y 5)2＋(z 2)2] ≥(4×x 4＋5×y 5＋2×z 2)2 ＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.∴5≥|x ＋y ＋z |，∴－5≤x ＋y ＋z ≤5.∴x ＋y ＋z 的取值范围是[－5,5]．10．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值； (2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.(1)解 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32(a ＋b 2)2＝3×38＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6. (2)证明 方法一 由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得： (ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋错误!)2]≥(错误!·错误!＋错误!·错误!)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.方法二 因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2)＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab )＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.。

第十四章选考内容1．几何证明选讲(1)理解相像三角形的定义与性质，认识平行截割定理．(2)会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判断定理与性质定理；④订交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判断定理；⑥切割线定理．2．坐标系与参数方程(1)认识坐标系的作用，认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况．(2)认识极坐标的基本观点，会在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，能进行极坐标和直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(4)认识参数方程，认识参数的意义．(5)能选择合适的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并认识以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：① |a＋ b|≤ |a|＋ |b|(a， b∈R )．②|a－ b|≤ |a－c|＋ |c－ b|(a， b∈R) ．(2)会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|ax＋ b|≤ c；|ax＋ b|≥ c；|x－ c|＋ |x－ b|≥ a．(3)经过一些简单问题认识证明不等式的基本方法：比较法、综合法、剖析法．§14 ．1几何证明选讲而且夹角相等，那么这两个三角形相像．简述为：1 ．平行线均分线段定理两边对应成 ________且夹角 ________，两三角形相假如一组平行线在一条直线上截得的线段相似．等，那么在其余直线上截得的线段____________ ．判断定理 3：对于随意两个三角形，假如一个推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比的直线必 ____________．例，那么这两个三角形相像．简述为：三边对应推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行________，两三角形相像．的直线 ____________．注意：与一般三角形对比，直角三角形有一个2 ．平行线分线段成比率定理角为直角，三边长知足勾股定理等．这类关系能够三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比使判断两个直角三角形相像的条件获得简化．例． 4 ．相像三角形的性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其余两边( 或性质定理 1：相像三角形对应高的比、对应中两边的延伸线 )所得的对应线段成比率．线的比和对应角均分线的比都等于____________ ．3 ．相像三角形的判断定理性质定理 2：相像三角形周长的比、外接圆的判断定理 1：对于随意两个三角形，假如一个直径比、外接圆的周长比都等于____________．三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相性质定理 3：相像三角形面积的比、外接圆的等，那么这两个三角形相像．简述为：两角对应面积比都等于 ____________ ．________，两三角形相像． 5 ．射影定理__________________判断定理 2：对于随意两个三角形，假如一个直角三角形斜边上的高是三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比率，的比率中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 __________________．6．圆周角、圆心角和弦切角定理①圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ____________的一半．②圆心角定理：圆心角的度数等于它所对______的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________ ．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________．7．圆内接四边形的性质与判断定理(1)性质定理：圆的内接四边形的对角____________ ．推论：圆内接四边形的外角等于它的__________的对角．(2)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点 ____________．推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点____________ ．8．圆的切线的性质与判断定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．判断定理：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的________．9．订交弦定理圆内的两条订交弦，_____________ 的积相等．10 ．(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到 __________________ 的两条线段长的积相等．(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到 ________________ 的比率中项．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________，圆心和这一点的连线均分____________ 的夹角．且 ____________切点弦．自查自纠：1．也相等均分第三边均分另一腰3．相等比率相等成比率4．相像比相像比相像比的平方5．两直角边在斜边上射影比率中项6．①圆心角②弧相等也相等直角直径③圆周角7．(1)互补内角(2)共圆共圆8．半径切点圆心切线9．被交点分红的两条线段长10． (1)每条割线与圆的交点(2) 割线与圆交点的两条线段长(3)相等两条切线垂直均分如图，过圆内接四边形 ABCD 的极点 C 引切线MN ，AB 为圆的直径，若∠ BCM ＝38°，则∠ ABC ＝ ()A ．38°B．52°C． 68° D ．42°解：连结 AC，易知∠ ACB ＝ 90°．由弦切角定理可得∠ CAB＝∠ BCM ＝ 38°，所以∠ ABC ＝52°．故选 B．如图，锐角三角形ABC 是一块钢板的余料，边 BC＝24 cm，BC 边上的高 AD ＝12 cm，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC 上，其余两个极点分别在AB， AC 上，则这个正方形部件的边长为()A ．6 cm B． 8 cm C． 10 cm D ．12 cm 解：设正方形的边长为 x cm．∵PN∥ BC，∴△ APN∽ △ ABC．∴AE＝PN，即12－x＝x，解得 x＝8 cm．故AD BC1224选 B．(2012·北京 )如图，∠ ACB＝90°， CD ⊥AB 于点 D ，以 BD 为直径的圆与BC 交于点 E．则 ()A．CE ·CB＝ AD ·DBB． CE· CB＝AD ·ABC． AD ·AB＝CD 22D ．CE ·EB＝CD解：在△ACB 中，因为∠ACB＝ 90°， CD ⊥AB 于点 D ，所以 CD2＝ AD·DB．又由切割线定理得 CD 2＝CE·CB，所以 CE· CB＝ AD · DB ．应选A．(2014 ·陕西 )如图，△ ABC 中， BC＝6，以BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝ ____________ ．解：易证△ AEF 与△ ACB 相像，∴AE＝EF，又 BC＝ 6，AC＝ 2AE，∴ EF＝ 3．故AC BC填 3．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B ．过PA 的中点Q 作割线交⊙ O 于 C， D 两点，若 QC＝ 1，CD＝3，则 PB＝ __________．解：由切割线定理得 QA2＝ QC·QD ＝ 1×(1 ＋3)＝ 4，所以 QA＝ 2， PB＝ PA＝ 4．故填4．又∵∠ AFC＝∠ FAE＝∠ FAC，∴AC＝ CF，∴AB＝BD．AC DC点拨：(1)可利用已知条件中平行四边形的性质及中点关系证得平行关系，再运用平行线均分线段定理，从而得证 (亦可利用向量方法证明 )； (2) 要证明比率式成立，可将比率式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要增添协助线，结构有关图形，即创建能够形成比率式的条件，从而达到证明的目的．(1)以下图，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AC 的中点， AD 交 BE 于 G，求证：AG＝2GD．种类一平行线分线段成比率定理的应用(1)以下图，平行四边形 ABCD 中，BC 与 AD 的中点分别为 E， F，且 BF ，DE 与对角线AC 分别交于 H ，G．求证： AH ＝ HG ＝ GC．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC，AD ＝ BC．11又∵DF ＝ AD ， BE＝ BC，∴ DF 綊 BE．22∴四边形FDEB 是平行四边形．∴BF∥ DE．又 AF＝DF ，∴ AH ＝HG．同理 CG＝ HG ，从而 AH＝ HG ＝CG．(2)以下图，在△ ABC 中，∠ BAC 的外角均分线AD 交 BC 的延伸线于点 D，求证：ABAC＝DCBD．证明：作 CF∥ AB 交 AD 于 F，则ABFC＝DCBD，证明：作 CH ∥ EB 交 AD 的延伸线于点H ，∵AE＝ EC， CH∥ EB，∴ AG＝ GH．又∵ BD＝ DC，∴△ BDG≌△ CDH ．∴GD ＝ DH ．∴ AG＝ 2GD．(2)在△ ABC 中，AD 为∠ BAC 的均分线，求证：AB＝ BD ．AC DC证明：如图，过 C 作 CE∥ AD，交 BA 延伸线于 E，∵AD ∥ CE，∴BA＝BD．AE DC∵AD 均分∠ BAC，∴∠ BAD ＝∠ DA C．由 AD∥CE 知∠BAD ＝∠E，∠ DAC ＝∠ ACE，∴∠ ACE ＝ ∠ E ，即 AE ＝ AC ．∴AB ＝BD ． AC DC种类二 相像三角形的判断及性质以下图，已知在△ ABC 中，∠ BAC＝ 90°， AD ⊥ BC ， E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延 长线于 F ，求证：AC AF证明： ∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC ，∴△ ABD ∽△ CAD ，∴ AB＝BD．①AC AD又 ∵E 是 AC 的中点，∴ DE ＝EC ，∴∠ 4＝ ∠3＝ ∠ACB ＝ ∠1，而 ∠ AFD 为公共角，∴△ FBD ∽△ FDA ，∴ BD ＝ DF，②，由 ①② 可得 AB ＝DF．AD AFAC AF点拨：(1) 判断两个三角形相像要注意联合图形性质灵巧选择判断定理， 特别要注意对应角和对应边 ．(2) 相像三角形的性质可用来证明线段成比率、角相等， 也可用来间接证明线段相等或计算线段长度． 如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，且 AB ＝2CD ，E ，F 分别是 AB ，BC 的中点， EF 与 BD 订交于点 M ．(1)求证：△ EDM ∽△ FBM ；(2)若 DB ＝ 9，求 BM ．解： (1) 证明： ∵ E 是 AB 的中点，∴ AB ＝ 2EB ．∵ AB ＝ 2CD ，∴ CD ＝ EB ． 又 ∵AB ∥ CD ，∴四边形 CBED 是平行四边形 ．∠ DEM ＝∠ BFM ，∴ CB ∥ DE ，∴∠EDM ＝∠ FBM ，∴△ EDM ∽△ FBM ．DM DE(2) ∵△ EDM ∽△ FBM ，∴ BM ＝BF ．∵ F 是 BC 的中点，∴ DE ＝ 2BF ．1 ∴ DM ＝2BM ，∴ BM ＝ 3DB ＝ 3．种类三 射影定理的应用以下图，已知在边长为 1 的正方形 ABCD的一边上取一点 E ，使 AE ＝ 14AD ，过 AB 的中点 F作 HF ⊥EC 于 H ．(1) 求证： FH ＝ FA ；(2) 求 EH ∶HC 的值．解： (1)证明：连结 EF ， FC ，在正方形 ABCD中，AD ＝ AB ＝ BC ，∠ A ＝ ∠ B ＝ 90°．1 ∵ AE ＝ 4AD ， F 为 AB 的中点，1＝ 2．∴△ EAF ∽△ FBC ．∴∠ AEF ＝∠ BFC ，∠ EFA ＝ ∠ BCF ．又 ∠ A ＝∠ B ＝90°，∴∠ EFC ＝ 90°， EF ＝ AE ＝ AE ＝ 1．FC BF AF 2又 ∵∠ EFC ＝ ∠ A ＝90°，∴△ EFC ∽△ EAF ． ∴∠ AEF ＝∠ HEF ． 又 EF ＝EF ，∴ Rt △ EAF ≌Rt △ EHF ．∴ FH ＝ FA ．(2) 由(1) 知 △EFC 是直角三角形， FH 是斜边 EC 上的高，由射影定理可得 EF 2＝ EH ·EC ， FC 2＝ CH ·CE ，于是 EH ∶ HC ＝ EF 2∶ FC 2＝ 1∶ 4．点拨：①一般四边形问题须转变为三角形 (最好是 Rt △ )问题研究，故自然要连结 EF ，FC ，第 (1)问也可由勾股定理求出 FH 的长来证；②图中有 2 对全等三角形， 8 对相像三角形，能洞察这些，解本题会应付自如；③第 (2)问由 EH ∶ HC ＝AE ∶BC 求，更简短．∴ AE AF ＝ FB BCAB ＝ DF ．(2013·湖北 )如图，圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ，点 D 在半径 OC 上的射影为 E ．若 AB ＝3AD ，则CEEO 的值为 ____________ ．解：由射影定理知CE ＝ CE ·CO＝ CD 22＝EO EO · CO DO AD ·BD ＝ AD ·（AB －AD ） ＝ AD ·（3AD －AD ） （OA －AD ）2 1 2 3 22AB －AD2AD －AD＝ 8．故填 8．种类四 圆内接四边形的性质及判断定理的应用如图， D ，E 分别为△ ABC 的边 AB ，AC 上的点， 且不与△ ABC 的极点重合 ．已知 AE 的长为 m ，AC 的长为 n ．AD ， AB 的长是对于 x 的方 程 x 2－14x ＋ mn ＝ 0 的两个根 ．(1)证明： C ， B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠ A ＝90°，且 m ＝ 4，n ＝ 6，求 C ，B ，D ，E 所在圆的半径 ．解：(1) 证明： 连结 DE ，在 △ ADE 和 △ ACB 中，AD · AB ＝ mn ＝ AE ·AC ，即AD ＝ AE，又 ∠ DAE ＝ AC AB∠ CAB ，∴△ ADE ∽△ ACB ，∴∠ ADE ＝ ∠ACB ，从而 C ，B ，D ，E 四点共圆 ．(2)m ＝ 4， n ＝ 6 时，方程 x 2－ 14x ＋ mn ＝ 0 的两根为 x 1＝ 2， x 2＝ 12．故 AD ＝ 2， AB ＝ 12．从而 HF ＝ AG ＝ 12(m ＋ n)＝ 5， DF ＝ 12(12－ 2)＝5，DH ＝ DF 2＋ FH 2＝5 2．故 C ， B ， D ， E 四点所在圆的半径为 5 2． 点拨：本题求 C ， B ，D ， E 所在圆的半径有必定的难度，用正弦定理难以下手，故第一得考虑用几何作图的方法找出圆心 H 点，再画出半径 DH ，最后再求半径 DH 就不难了 ． 此外，证明四点共圆的方法好多，需灵巧应用，详见“名师点津”栏 ．(2014·新课标 Ⅰ )如图，四边形 ABCD是⊙ O 的内接四边形， AB 的延伸线与 DC 的延伸线交于点 E ，且 CB ＝ CE ．(1) 证明：∠ D ＝∠ E ；(2) 设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB ＝MC ，证明：△ ADE 为等边三角形 ．证明： (1) 由题设知 A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ∠D ＝∠ CBE ，由已知 CB ＝ CE 得 ∠CBE ＝ ∠ E ，故∠D ＝∠E ．(2) 如图，设 BC 的中点为 N ，连结 MN ，则由 MB ＝ MC 知 MN ⊥ BC ，故 O 在直线 MN 上．又 AD 不是 ⊙O 的直径， M 为 AD 的中点，故OM ⊥ AD ，即 MN ⊥ AD ．所以 AD ∥BC ，故 ∠ A ＝∠ CBE ．又 ∠CBE ＝∠E ，故 ∠A ＝∠E ，由 (1)知，∠ D ＝ ∠E ，所以 △ ADE 为等边三角形 ．种类五 圆的切线及与圆有关的比率线段取 CE 的中点 G ， DB 的中点 F ，分别过 G ， F 作 AC ，AB 的垂线，两垂线订交于 H 点，连结 DH ．因为 C ，B ，D ，E 四点共圆，所以 C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为 H ，半径为 DH ．因为 ∠A ＝ 90°，故 GH ∥ AB ， HF ∥ AC ．如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的均分线 AD 交圆 O 于点 D ， DE ⊥ AC ，交 AC 的延伸线于点 E ， OE 交 AD 于点 F ．(1)求证： DE 是圆 O 的切线；AC 2 AF(2)若 AB ＝ 5，求 DF 的值 ．解： (1) 证明：连结 OD ，可得 ∠ ODA ＝ ∠ OAD＝∠DAC ，∴ OD ∥AE ．又 AE ⊥ DE ，∴ DE ⊥OD ．又 OD 为半径，∴ DE 是圆 O 的切线 ．(2)过 D 作 DH ⊥ AB 于点 H ，连结 BC ，(2) 连结 CE ，∵∠ CBE ＝ 90°，∴过 B ， E ，F ， C 四点的圆的直径为 CE ，由 DB ＝BE ＝EA ，有 EC ＝ DC ，又 BC 2＝ DB ·BA ＝ 2DB 2 ，所以 CA 2＝ 4DB 2 ＋ BC 2＝ 6DB 2．而由圆的切割线定理知 DC 2 ＝DB ·DA22 2 ＝ 3DB 2，∴CD 2 ＝CE 2＝3DB 2＝1．故过 B ， E ， F ，CA CA 6DB 2C 四点的圆的面积与 △ ABC 外接圆面积的比值为 1．2则有 ∠DOH ＝∠ CAB ，OH＝ cos ∠ CAB ＝AC ＝2，cos ∠ DOH ＝OD AB 5 设 OD ＝ 5x ，则 AB ＝ 10x ， OH ＝ 2x ， ∴ AH ＝ 7x ．由 △AED ≌△ AHD 可得 AE ＝ AH ＝ 7x ．AFAE7又由 △AEF ∽△ DOF 可得＝＝ ．点拨：(1) 对于圆的切线的证明问题一般依照切线的定义转变为证明垂直； (2)可用剖析法剖析， 要求 AFDF的值，可利用三角形相像转变为求 OD AE的值， 再利用三角形全等得出 AE ＝AH ，最后对已知条件进行转变，计算得出结果 ．注意圆的性质的灵巧运用 ．(2013·全国新课标 Ⅱ )如图， CD 为△ ABC 外接圆的切线， AB 的延伸线交直线 CD 于点D ，E ，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC ·AE ＝ DC ·AF ，B ， E ，F ， C 四点共圆 ．(1)证明： CA 是△ ABC 外接圆的直径；(2)若 DB ＝ BE ＝ EA ，求过 B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值 ．解： (1) 证明： ∵ CD 为 △ ABC 外接圆的切线，BC DC BC 是弦，∴∠ DCB ＝ ∠ A ．由题设知 FA ＝EA ，故△ CDB ∽△ AEF ，∴∠ DBC ＝∠ EFA ．∵ B ， E ，F ，C 四点共圆， ∴∠ CFE ＝ ∠DB C ．故 ∠EFA ＝ ∠ CFE ＝ 90°，∴∠ CBA ＝∠ CBD ＝90°．所以 CA 是 △ABC外接圆的直径 ．1 ．用增添平行协助线的方法 结构平行线 ，是创建应用 平行线均分线段定理与平行线分线段成比率定理的条件 ．在使用平行线分线段成比率定理及推论时，必定要注意线段与边的对应 ．2 ．在证明两个或两个以上的比率式相等 时，常常需要找第三个比率式与它们都相等，这时可考虑利用平行线分线段成比率定理或推论，或考虑用线段替代，由相等的传达性得出结论 ．3 ．证两个三角形相像 ，在已具备一角对应相等的条件时，常常先探究能否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探究等角的两边对应成比率 ．4 ．注意在证明圆的有关问题 时，常常需要增添协助线 ． 如结构直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质 ．要证明某直线是圆的切线，假如已知直线过圆上某一点，那么连结这点和圆心，证明该直线垂直于半径；假如不知直线和圆能否有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径 ．已知某直线是圆的切线时，切点的地点一般是确立的，协助线常常是连接圆心和切点 ．5 ．证明多点共圆的常用方法(1) 证明几个点到某个定点距离相等；(2) 假如某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等 ( 例：如图，若∠ ACB ＝∠ ADB ＝ 90°，则 A ， B ， D ，C 四点共圆 )．(3) 证明凸四边形内对角互补 (或外角等于它的内角的对角 )．6 ．订交弦定理、 切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相像三角形， 从而获得线段的比或比率式 ．1 ．如图 l 1∥ l 2∥ l 3，以下比率式正确的选项是 ()AD CEAD BC A ．DF＝BCB ．BE ＝AFCEADAFBEC ．DF ＝BC D ． DF ＝CE 解： 由平行线分线段成比率定理可得 D 正确，应选 D ．2 ．如图，锐角三角形 ABC 的高 CD 和高 BE 相交于 O ，则与△ DOB 相像的三角形个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为 CD 和 BE 是高，可得 ∠ DCA ＝ ∠ EBA ，所以 △ DOB 与 △ EOC ，△ DAC ，△ EAB 相像 ．应选C ．3．如图，⊙ O 与⊙ P 订交于 A ， B 两点，点 P 在⊙ O 上，⊙ O 的弦 BC 切⊙ P 于点 B ，CP 及其延伸线交⊙ P 于 D ，E 两点，过点 E 作 EF ⊥CE 交 CB延伸线于点 F ．若 CD ＝ 2， CB ＝ 2 2，则 EF 的长 为 ()A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解：连结 PB ，BC 切 ⊙ P 于点 B ，PB ⊥BC ，CD＝ 2，CB ＝ 2 2，由切割线定理得 CB 2＝ CD ·CE ，CE＝ 4，DE ＝ 2，BP ＝ 1，又∵ EF ⊥ CE ，∴△ CPB ∽△EF CECFE ，得 PB ＝ CB ，解得 EF ＝ 2．应选 B ．4 ．如图， AD ，AE ， BC 分别与圆 O 切于点 D ，E ，F ，延伸 AF 与圆 O 交于另一点G ．给出以下三个结论：① AD ＋ AE ＝ AB ＋ BC ＋CA ；② AF · AG ＝ AD ·AE ； ③△ AFB ∽△ ADG ．此中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解： ∵CF ＝ CE ， BF ＝ BD ，∴ BC ＝ CE ＋BD ．∴ AB ＋ BC ＋ CA ＝ (AB ＋ BD )＋ (AC ＋ CE)＝ AD＋ AE ．故结论 ①正确 ．由切割线定理知 AD 2＝AF ·AG ，又 AE ＝ AD ，∴ AD ·AE ＝ AF ·AG ，故结论 ②正确 ．简单判断结论 ③不正确 ．应选 A ．5 ．如图，在⊙ O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E ，EF ⊥ DB ，垂足为 F ，若 AB ＝ 6，AE ＝ 1， 则 DF ·DB ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解： 由订交弦定理知 CE ·DE ＝ AE ·EB ，∴ DE 2＝ 1×5＝ 5，由射影定理知 DF ·DB ＝DE 2＝ 5．应选D ．6 ．(2014 ·天津 )如图，△ ABC 是圆的内接三角形，∠ BAC 的均分线交圆于点 D ，交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延伸线交于点 F ．在上述条件下，给出以下四个结论：① BD 均分∠ CBF ； ② FB 2＝FD ·FA ；③ AE · CE ＝ BE ·DE ； ④ AF · BD ＝ AB ·BF ． 则全部正确结论的序号是 ()A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④解：由弦切角定理得 ∠FBD ＝ ∠ EAC ＝ ∠ BAE ，又 ∠BFD ＝ ∠ AFB ，故 △ BFD ∽△ AFB ，故BF＝BD，AF AB即 AF ·BD ＝ AB · BF ，④对，否认 A ，C ．明显 ② 正确 ．应选 D ．7 ．(2014·广东 )如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB ＝2AE ，AC 与 DE 交△ CDF 的面积于点 F ，则 △ AEF 的面积 ＝ ____________ ．解： △ CDF ∽△ AEF ，△ CDF 的面积 CD 2EB ＋AE2∴ △ AEF 的面积 ＝AE＝AE＝ 9．故填 9．8 ．(2014·重庆 )过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点 )，再作割线 PBC 挨次分别交圆于 B ，C ，若PA ＝ 6，AC ＝8， BC ＝ 9，则 AB ＝__________．解： 如图，由 PA 2＝ PB ·PC 得 62＝ PB(PB ＋9) ，解得 PB ＝3．再由∠C ＝∠BAP及∠P 为公共角得△ ABP ∽△ CAP ，∴AB ＝ BP，∴ AB ＝ 4．故填 4． CA AP9 ．如图，圆 O 1 与圆 O 2 内切于点 A ，其半径分别为 r 1 与 r 2(r 1＞ r 2) ．圆 O 1 的弦 AB 交圆 O 2 于点C(O 1 不在 AB 上 )． 求证： ABAC 为定值 ．证明： 如图，连结 AO 1 并延伸，分别交两圆于点 E 和点 D ．连结 BD ，CE ．因为圆 O 1 与圆 O 2 内切于点 A ，所以点 O 2 在 AD 上．故 AD ， AE 分别为圆 O 1，圆 O 2 的直径，从而 ∠ABD ＝∠ ACE ＝ 90°． ABAD2r 1r 1所以 BD ∥CE ，于是＝＝＝ ．所以 AB为定值 ．AC10 ．已知四边形 PQRS 是圆内接四边形， ∠ PSR ＝ 90°，过点 Q 作 PR ，PS 的垂线， 垂足分别为点 H ， K ．QS 交 HK 于点 T ．(1)求证： Q ， H ， K ， P 四点共圆； (2)求证： QT ＝ TS ．证明： (1) ∵∠ PHQ ＝ ∠ PKQ ＝90°， ∴四点 P ， K ，H ，Q 共圆 ．(2)∵ 四点 P ， K ， H ， Q 共圆，∴∠ HKS ＝∠ HQP ．①∵∠ PSR ＝ 90°，∴ PR 为圆的直径 ． ∴∠ PQR ＝ 90°，∠ QRH ＝∠HQP ．②由 ①② 得 ∠ QRH ＝ ∠ HKS ．又 ∠ QRH ＝ ∠QSP ，∴∠ QSP ＝ ∠HKS ，∴ ST＝ TK ．∵∠ SKQ ＝ 90°，∴∠ SQK ＝ ∠ TKQ ，∴ QT ＝ TK＝ TS ．11．(2014·新课标 Ⅱ )如图， P 是⊙ O 外一点， PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与⊙ O 订交于点 B ，C ，PC ＝ 2PA ，D 为 PC 的中点， AD 的延伸线交⊙ O 于点E ．证明：(1) BE ＝ EC ；(2) AD ·DE ＝ 2PB 2．证明： (1)连结 AB ，AC ．由题设知 PA ＝ PD ，故∠ PAD ＝∠PDA ．∵∠ PDA ＝∠ DAC ＋∠ DCA ，∠ PAD ＝ ∠ BAD ＋ ∠PAB ， ∠ DCA ＝∠ PAB ，︵ ︵∴∠ DAC ＝ ∠ BAD ，从而 BE ＝ EC ． 所以 BE ＝ EC ．(2) 由切割线定理得 PA 2＝ PB ·PC ．∵ PA ＝ PD ＝ DC ，∴ DC ＝ 2PB ， BD ＝PB ． 由订交弦定理得 AD ·DE ＝BD ·DC ，∴ AD · DE ＝ PB ·2PB ＝ 2PB 2．如图，⊙ O 的直径 AB 的延伸线与弦︵︵CD 的延伸线订交于点 P ，E 为⊙ O 上一点，AE ＝ AC ， DE 交 AB 于点 F ，且 AB ＝ 2BP ＝ 4，求 PF 的长度 ．解：连结 OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角︵ ︵与圆心角之间的关系并联合题中条件 AE ＝ AC 可得 ∠ CDE ＝ ∠ AOC ，又∠ CDE ＝ ∠ P ＋ ∠ PFD ，∠ AOC ＝∠P ＋∠C ，从而 ∠ PFD ＝ ∠ C ，故△ PFD ∽△ PCO ，∴PFPC ＝PD，由割线定理知 PC ·PD ＝ PA ·PB ＝ 12，故 PF＝ POPC · PD ＝ 12＝ 3．PO 4§14 ．2坐标系与参数方程1 ．极坐标系极坐标系的成立一般地，在平面上取一个定点O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向 (往常取逆时针方向为正方向) ，这样就成立了一个极坐标系．此中，点O 称为 ________，射线Ox 称为 ________．设 M 是平面上任一点，ρ表示 OM 的长度，θ表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对 (ρ，θ)确立一个点的地点．此中，ρ称为点 M 的 ________，θ称为点 M 的________．有序数对 (ρ，θ)称为点 M 的 ________．由极径的意义可知ρ≥0．当极角θ的取值范围是[0， 2π)时，平面上的点 ( 除掉极点 )就与极坐标 (ρ，θ)( ρ≠ 0)成立 __________ 的关系．2．极坐标和直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取同样的长度单位(如图 )．平面内随意一点P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和 (ρ，θ)，则由三角函数的定义能够获得以下两组关系式：________________ ， ________________ ．往常状况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥ 0， 0≤ θ＜2π．3 ．简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义C 上任一般地，在极坐标系中，假如平面曲线意一点的极坐标中起码有一个知足方程f(ρ，θ)＝0( 因为平面内点的极坐标表示不唯一)，而且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝ 0 的点都在曲线 C 上，那么方程____________ 叫做曲线 C 的极坐标方程．(2)常有曲线的极坐标方程①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为__________________________ ；②圆心为 (r，0)，半径为 r 的圆的极坐标方程为______________________________ ；π③圆心为r ，2，半径为r 的圆的极坐标方程为；④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为______________________________ ；⑤过点 (a，0)(a＞ 0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为；π⑥过点a，，与极轴平行的直线的极坐标方程为______________________________ ．4．直线的参数方程(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为．(2)直线的参数方程中参数t 的几何意义是：________________________________________ ．→) 同向时， t取当 M0M 与e( 直线的方向向量→反向时， t取____________ ．当 M0M 与e____________ ，当 M 与 M 0重合时， t ＝____________．5 ．圆的参数方程圆心在点M 0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为．6．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2＋y222＝a b1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数 )，规定参数φ的取值范围是 ____________．自查自纠：1．极点极轴极径极角极坐标一一对应222，x＝ρcosθ，ρ＝ x＋ y2．y（ x≠ 0）y＝ρsinθtanθ＝x3 ．(1)f(ρ，θ)＝ 0ππ(2) ①ρ＝ r ② ρ＝ 2r cosθ－≤ θ＜22③ ρ＝ 2r sinθ(0≤ θ<π)④ θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)ππθ<π)⑤ ρcosθ＝ a －＜θ＜⑥ρsinθ＝ a(0<224x ＝x 0＋tcos α，．(1)(t 为参数 )y ＝y 0＋tsin α(2)t 的绝对值等于直线上的动点 M 到定点 M 0的距离 正数 负数 05 ． x ＝ x 0＋ rcos θ， y ＝ y 0＋ rsin θ (θ为参数 )6 ． x ＝ acos φ， [0， 2π)y ＝ bsin φ在极坐标系中，圆 ρ＝－ 2sin θ的圆心的极坐标是( )A ． 1， πB ． 1，－π2 2C ．(1， 0)D ．(1， π)2解：由 ρ＝－ 2sin θ得 ρ＝－ 2ρsin θ．化成直角坐标方程为 x 2＋ y 2＝－ 2y ，化成标准方程为 x 2＋ (y ＋ 1)2＝ 1，圆心坐标为 (0，－ 1) ，其对应的极坐标为π1，－ 2 ．应选 B ．在同一平面直角坐标系中，直线2x －y ＝ 4变为 x ′－ y ′＝ 2 的伸缩变换是 ( )1 A ． x ′＝ x ，x ′＝ 2x ， y ′＝ 2y B ． y ′＝ yx ′＝ x ， 1 C ． 1x ′＝ 2x ，D ．y ′＝ 2yy ′＝ 4y解：设其伸缩变换为 φ：x ′＝ λx （ λ＞ 0），y ′＝ μy （ μ＞ 0），2λ＝2， 则 λx － μy ＝ 2，2λx － 2μy ＝4，于是 解－ 2μ＝－ 1， λ＝ 1， x ′＝ x ，得1 ∴ φ： 1应选 C ． μ＝ 2．y ′＝ 2y ．x ＝－ 1＋ cos θ，(2014 ·北京 )曲线 (θ 为参y ＝ 2＋ sin θ 数 )的对称中心 ( ) A ．在直线 y ＝ 2x 上B ．在直线 y ＝－ 2x 上C ．在直线 y ＝x － 1 上D ．在直线 y ＝ x ＋ 1 上解：由曲线的参数方程易知 x ＋ 1＝cos θ且 y －2＝ sin θ，故有 (x ＋ 1)2＋ (y － 2)2＝ 1，该曲线是以点 ( －1，2)为圆心的圆， 其对称中心就是圆心， 易知点 ( －1， 2)在直线 y ＝－ 2x 上 ．应选 B ．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ： x ＝ t ， x ＝ 3cos φ，(t 为参数 )过椭圆 C ： (φy ＝ t －a y ＝ 2sin φ 为参数 )的右极点，则常数 a 的值为 ____________ ．解： 直线 l 的方程为 y ＝x － a ，椭圆 C 的方程：22x＋ y ＝ 1，右极点 (3， 0)，由题意知 3－ a ＝ 0，∴ a 9 4＝ 3．故填 3．π(2014 ·陕西 )在极坐标系中， 点 2，6 到直线πρsin θ－ 6 ＝ 1 的距离是 ____________．解：点的直角坐标为 ( 3，1)，直线的直角坐标方程为12x － 23y ＋ 1＝0，由点到直线的距离公式得所1× 3－3×1＋1222 ＝ 1，故填 1．求距离为21＋ －3 2 2种类一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同向来角坐标系中，求知足以下图形变换的伸缩变换：由曲线 4x 2＋ 9y 2＝36 变为曲线2 2＋ y ′＝ 1．x ′x ′＝ λx （ λ>0），解： 设变换为 φ： 可将其代y ′＝ μy （ μ>0），2 2 2 2 2 2＝ 1． 入 x ′＋ y ′＝ 1，得 λx ＋ μy2 2将 4x 2＋ 9y 2＝ 36 变形为 x ＋ y ＝ 1，9 4 比较系数得λ＝ 1， μ＝ 1．3 21所以x ′＝ 3x ，将椭圆 4x 2＋ 9y 2＝ 36 上的全部 1y ′＝ 2y ．11点的横坐标变为本来的3，纵坐标变为本来的 2，可22获得圆 x ′＋y ′＝ 1．224x 2＋9y 2＝36 化为 xy亦可利用配凑法将 3 ＋ 2 ＝x ′＝ x ，223 1，与 x ′ ＋ y ′＝ 1 对应项比较即可得y ． y ′＝2 点拨：求知足图形变换的伸缩变换，其实是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数便可获得伸缩变换式 ．将椭圆伸缩变换以后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应知足以下曲线的变换： 曲线 y ＝ 2sin3x 变换成曲线 y ＝3sin2 x ．解： 将变换后的曲线 y ＝ 3sin2 x 改写为 y ′＝x ′＝ λx （ λ>0），3sin2x ′，设伸缩变换为φ： 代y ′＝ μy （ μ>0），3入得 μy ＝ 3sin2( λx)，即y ＝ sin2λ x ，与曲线y ＝μ2λ＝ 3，λ＝ 3，22sin3x 比较系数得3＝ 2， 解得3μμ＝ ．23x ′＝ 2x ，所以伸缩变换为 φ：3y ′＝ 2y ．解： ① 将 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 y 2 ＝4x ，得(ρsin θ)2＝ 4ρcos θ．化简得 ρsin 2θ＝ 4cos θ．②当 x ≠ 0 时，因为 y π y＝ 3，tan θ＝ ，故 tan ＝x 3 x 化简得 y ＝ 3x(x ≠ 0)；当 x ＝0 时， y ＝ 0．明显 (0，π0)在 y ＝ 3x 上，故 θ＝3(ρ∈ R )的直角坐标方程为 y＝ 3x ．222 2 2③ 因为 ρcos2θ＝ 4，所以 ρcos θ－ρsin θ＝4，即 x 2－ y 2＝ 4．④因为 ρ＝1 ，所以 2ρ－ ρcos θ＝ 1，所以222－ cos θ22－ x ＝ 1，化简得 2 x＋ y 3x ＋4y － 2x － 1＝ 0．种类三 直线、圆的极坐标方程在极坐标系中，求半径为r ，圆心为种类二极坐标与直角坐标的互化r ， 32π的圆的极坐标方程 ．解：由题意知， 圆经过极点 O ，OA 为其一条直将以下点的极坐标与直角坐标进行互径，设 M(ρ， θ)为圆上除点 O ， A 之外的随意一点，则 OA ＝ 2r ，|化．|①将点 M 的极坐标 144， 3 π化成直角坐标； ②将点 N 的直角坐标 (4，－ 4 3) 化成极坐标．(ρ≥ 0， 0≤θ<2π)1142π＝－ 2， 如图，连结 AM ， OM ，则 OM ⊥ MA ，在 Rt △解：①∵ x ＝ 4cosπ＝4cos ＝ 4× － 23 3OAM 中 ， |OM | ＝ |OA | cos ∠ AOM ， 即 ρ＝142π3，∴点 A 的直角坐标是 ( －＝ 23πy ＝ 4sin 3 π＝ 4sin 32r cos － θ，∴ ρ＝－ 2r sin θ，经考证点 O(0， 0)，2， 2 3)．2－ 4 33②∵ ρ＝A 2r ， 2π的坐标也知足上式， 所以知足条件的圆的42 ＋（－ 4 3） 2＝ 8，tan θ＝ 4 ＝极坐标方程为 ρ＝－ 2r sin θ．－ 3， θ∈ [0， 2π)，又点 (4，－ 4 3) 在第四象限，∴ θ＝ 5π5π 点拨：，∴对应的极坐标为8， 3 ．3求直线、 圆的极坐标方程， 除利用极坐标系外，点拨：亦可先求出直角坐标方程，再利用 x ＝ ρcos θ， y ＝ρsin θ转变为极坐标方程，如变式3．将极坐标或极坐标方程转变为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ即可 ．将 圆心 C 的极坐标为2，π，且圆 C 经直角坐标或直角坐标方程转变为极坐标或极坐标方程，要灵巧运用 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ以及 ρ＝ x 2＋ y 2，4过极点 ．y (1) 求圆 C 的极坐标方程；tan θ＝ x (x ≠ 0) ，同时要掌握必需的技巧，详见本节(2) 求过圆心 C 和圆与极轴交点 (不是极点 )的直“名师点津”栏 ．线的极坐标方程 ．将以下直角坐标方程与极坐标方程进解： (1) 圆心 C 的直角坐标为 (2， 2)，则设圆C 的直角坐标方程为 (x －2)2 22，依题行互化 ．＋ (y － 2) ＝ rπ意可知 r 2＝ (0－ 2)2＋ (0－ 2)2＝4，故圆 C 的直角 ① y 2＝ 4x;坐标方程为 (x － 2) 2＋ (y － 2)2＝ 4，化为极坐标方② θ＝ (ρ∈ R )；3122④ ρ＝．程为 ρ－ 2 2ρ(sin θ＋ cos θ)＝ 0，即 ρ＝ 2 2(sin θ＋③ ρcos2θ＝ 4;．2－ cos θcos θ)(2)在圆 C 的直角坐标方程x2＋ y2－ 22(x＋ y)＝0 中，令 y＝ 0，得 x2－ 2 2x＝0，解得 x＝ 0 或 2 2，于是获得圆 C 与 x 轴的交点坐标 (0， 0)，(2 2，0)，因为直线过圆心 C( 2， 2)和点 (2 2， 0)，则该直线的直角坐标方程为2－ 0( x－2 2)，即y－ 0＝2－ 22x＋ y－ 2 2＝ 0．化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－ 2 2＝0．种类四参数方程和一般方程的互化已知曲线C的参数方程为1x＝t－，(t 为参数， t＞ 0)，求曲线 C 的一般1y＝ 3 t＋t方程．解：因为 x＝ t －1，所以 x2＝t－12＝ t＋t t1－ 2，①t又 y＝3 t＋1且 t＞ 0，则 t＋1＝y，②tyt 3 2由①②可得 x＝3－2．3x2－ y＋ 6＝0．故曲线 C 的一般方程为点拨：(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程组的代入消元的技巧消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③利用参数方程自己的结构特色，采纳一些灵巧的方法整体代入消去参数，但将参数方程化为一般方程时，要注意防备变量 x 和 y 范围的扩大或减小，一定依据参数的取值范围，确立函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．(2)由一般方程选定参数求参数方程，充足展现了成立参数方程的过程，要求掌握圆的性质和点的坐标的意义，会利用直角三角形成立角与坐标间的关系，要注意参数的取值范围前后保持一致．(2013·陕西 )如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆 x2＋ y2－ x＝ 0 的参数方程为 ____________ ．解：设 P 点坐标为 (x，y)，圆与 x 轴交于点O(0，π0) ，A(1，0)，当θ≠ 0，时，在 Rt△OPA 中，|OA|＝21，|OP|＝ cosθ，作 PQ⊥ OA 于 Q，x＝|OP|cosθ＝ cos2θ∴(θ为参数 )，当θ＝0，y＝|OP|sinθ＝ sinθcosθπx＝cos2θ，时，方程合适．故填(θ为参数 )．(注2y＝ sinθcosθ意倾斜角θ的范围)种类五圆、椭圆、直线参数方程的应用如图，设矩形ABCD 的极点 C 的坐标为 (4， 4)，点 A 在圆 x2＋ y2＝ 9(x≥ 0， y≥ 0)上挪动，且 AB，AD 两边分别平行于 x 轴、y 轴．求矩形 ABCD的面积的最小值及对应点A的坐标．π解：设 A(3cosθ， 3sinθ) 0≤θ≤2，则|AB|＝ 4－3cosθ，|AD|＝4－3sinθ，于是矩形ABCD 的面积S ＝|AB|·|AD|＝(4－3cosθ)(4－3sinθ)＝16－12(cosθ＋ sinθ)＋ 9cosθsinθ．令t ＝ cosθ＋ sin θ(1≤ t≤2) ，则cosθsinθ＝2t － 1．2所以 S＝ 16－ 12t＋9(t2－ 1) ＝9t2－ 12t＋23222＝9 t－42＋ 7，2324S min＝7，此时cosθ＋sin θ＝3，27cosθsinθ＝18，cosθ＝4＋2，cosθ＝4－2，解得6或6sinθ＝4－ 2，sinθ＝4＋ 2．66所以对应点A的坐标为2＋2， 2－ 2 或222－2，2＋2．22。

八年级数学14章习题一、基础经典题( 50分)(一)选择题(每题2分，共28分)【备考1】在下列函数中，满足x 是自变量，y 是因变量，b 是不等于0的常数，且是一次函数的是（ ） 25. 2 B.y=- C.y=-5x+2 D.y=x xA y x【备考2】直线y=2x+6与x 轴交点的坐标是（ ）A ．（0，－3）B ．（0，3）C ．（3，0）D.（－92,1） 【备考3】在下列函数中是一次函数且图象过原点的是（ ）21A.y=-x B.y=-5x+1 C.y=4x+8 D.y=-5x 3 【备考4】直线 y=43x ＋4与 x 轴交于 A ，与y 轴交于B, O 为原点，则△AOB 的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．6 D ．10【备考5】已知函数：①y=－x ，②y= 3x ，③y=3x －1 ④y=3x 2，⑤y= x 3，⑥y=7－3x 中，正比例函数有（ ） A ．①⑤ B ．①④ C ．①③ D ．③⑥【备考6】如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的支数x(支）之间的关系式是（ ）A ．y= 12B ．y=2xC ．y=6xD ．y=12x 【备考7】一次函数y=3x －2的图象不经过的象限是（）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D 第四象限【备考8】一次函数的图象如图l －6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（ ）A ．y ＝－2x ＋2B ．y ＝－2x －2C ．y ＝ 2x ＋2D ．y ＝2x －2【备考9】油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量 Q （升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）A ．Q ＝0．2tB ．Q ＝20－2tC ．t=0．2QD ．t=20—0．2Q【备考10】下列函数中，图象经过原点和二、四象限的为（ ）A ．y ＝5xB ．y ＝－x 5C ．y ＝5x+1 D. y ＝－x 5+1 【备考11】次函数 y=kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则k ·b 的值为（）A ．14B ．－6C ．－4或 21D ．－6或 14【备考12】若函数 y=（m —2）x ＋5－m 是一次函数，则m 满足的条件是__________.【备考13】函数y=2x —6中，y 值随x 值的增大而___【备考14】若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式为__________，y 的值随x 的减小而____________【备考15】若一次函数y=kx —3经过点(3，0)，则k=__ 该图象还经过点( 0， ）和（ ，－2）【备考16】一次函数y=2x ＋4的图象如图1－6－45所示，根据图象可知，当x_____时，y ＞0；当y>0时，x=______．【备考17】已知函数y=(2m+1)x+m -3(1)若这个函数的图象经过原点,求m的值(2)若这个函数的图象不经过第二象限,求m的取值范围.【备考18】已知直线 y=x＋2与直线 y= 23 x＋2交于 C点，直线y=－x+2与x轴交点为A，直线y= 23 x+2与x轴交点为B。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第十四章 不等式选讲课时规范训练 理 北师大版1.(2016·衡水中学质检)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(1)若EC EB ＝13，ED EA ＝12，求DCAB的值；(2)若EF 2＝FA ·FB ，证明：EF ∥CD . 解：(1)∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠ECD ＝∠EAB ，∠EDC ＝∠B ， ∴△EDC ∽△EBA ，∴ED EB ＝EC EA ＝DCAB，∴ED EB ·EC EA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DC AB 2，即12×13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DC AB 2， ∴DC AB ＝66. (2)证明：∵EF 2＝FA ·FB ，∴EF FA ＝FBFE， 又∵∠EFA ＝∠BFE ，∴△FAE ∽△FEB ， ∴∠FEA ＝∠FBE ，又∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠EDC ＝∠EBF ， ∴∠FEA ＝∠EDC ， ∴EF ∥CD .2.如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A . 由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA . 因为B ，E ，F ，C 四点共圆， 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EFA ＝∠CFE ＝90°， 所以∠CBA ＝90°.因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°， 所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE . 由DB ＝BE ，得CE ＝DC . 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.3．(2016·河南商丘二模)已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6.(t 为参数)即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .(t 为参数)．由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x 2＋y 2＝x ＋y ，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t .代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1t 2＝－14，所以|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝14.4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 5．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2＜ x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值． 解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤32＋124－t2＋t2]＝2 4－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2016·山西太原模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|2x －1|＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －4，x ≥3，x ＋2，12<x <3，4－3x ，x ≤12，其图象如图所示，与直线y ＝4相交于点A (0,4)和B (2,4)， ∴不等式f (x )≤4的解集为 {x |0≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |， ∴f (x )＝|x －1＋a |⇔(2x －1)(x －a )≤0，①当a <12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a ≤x ≤12； ②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；③当a >12时，x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤a.。

第十四章 整式的乘法与因式分解【典型例题讲解】拓展天地（1）已知x·x m ·x n ＝x 14且m 比n 大3，求mn 的值．【解析】 运用同底数幂的运算法则计算，然后由指数相等列出关于m ，n 的一个方程并与“m 比n 大3”列的方程组成方程组可解m ，n 的值．【解】 ∵x·x m ·x n ＝x 14，∴x 1＋m ＋n ＝x 14，∴1＋m ＋n ＝14.又∵m 比n 大3，∴m －n ＝3.则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋n ＝14，m －n ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，n ＝5.∴mn ＝8×5＝40.拓展天地（2）比较355，444，533的大小．【解析】 这三个数底数不同，因而只能从指数着手，55、44、33都是11的倍数，可逆用幂的乘方的性质化成指数相同．【解】 355＝311×5＝(35)11＝24311，444＝411×4＝(44)11＝25611，533＝511×3＝(53)11＝12511.∵256＞243＞125，∴25611＞24311＞12511，∴444＞355＞533.拓展天地（3）已知|x ＋y －3|＋(x －y －1)2＝0，求代数式12[(－x 2y )2]3的值． 【解析】 先由两非负数和为0，则每个非负数均为0得到x ，y 的值，然后化简求值．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y －1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ∴12[(－x 2y)2]3＝12[(x 4y 2)]3＝12x 12y 6＝12×212×16＝211. 【点拨】 代数式求值往往要先化简，再求值．拓展天地（4）如果“三角”表示4xyz ，“方框”表示－5a b d c ，试求出：×的值．【解析】 解答这类题的关键是：(1)理解新的运算法则；(2)注意各字母的位置关系，避免用错新法则．【解】 根据题意，得×＝(4mn·2)·(－5n 2m 5)＝8mn·(－5m 5n 2)＝－40m 6n 3.拓展天地（5）若多项式ax 2＋bx ＋1与2x 2－3x ＋1的积中不含x 3和x 项，试求a ，b 的值．【解析】 先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并把a ，b 看作常数合并关于x 的同类项，令x 3，x 的系数为零，构造关于a ，b 的二元一次方程组可解出a ，b 的值．【解】 (ax 2＋bx ＋1)(2x 2－3x ＋1)＝ax 2·2x 2＋ax 2·(－3x)＋ax 2·1＋bx·2x 2＋bx·(－3x)＋bx·1＋1·2x 2＋1·(－3x)＋1×1＝2ax 4－3ax 3＋ax 2＋2bx 3－3bx 2＋bx ＋2x 2－3x ＋1＝2ax 4－3ax 3＋2bx 3－3bx 2＋ax 2＋2x 2＋bx －3x ＋1＝2ax 4＋(－3a ＋2b)x 3＋(a －3b ＋2)x 2＋(b －3)x ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋2b ＝0，b －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.即a 的值为2，b 的值为3.拓展天地（6）在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有五个同学A 、B 、C 、D 、E 分别藏在五张大纸牌后面，A 、B 、C 、D 、E 所持纸牌前面分别写有五个算式：2a ·5b ；2c ·5d ；2×5；(a －1)(d －1)；(b －1)(c －1)．游戏规定：所持算式相等的两人是朋友，主持人宣布A 、B 、C 两两是朋友，请大家猜猜D 和E 是否是朋友？【解析】 由A 、B 、C 三位同学所对应的等式两两相等，可求出D 、E 两位同学所对应的算式也相等，则D 、E 是朋友．【解】 由于A 、B 、C 两两是朋友，则有2a ·5b ＝2c ·5d ＝2×5，所以2a ·5b 2×5＝2c ·5d 2×5＝1.所以2a －1·5b －1＝1①，2c －1·5d －1＝1②.由①得(2a －1·5b －1)d －1＝1，即2(a －1)(d －1)·5(b －1)(d －1)＝1③.由②得(2c －1·5d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)·5(d －1)(b －1)＝1④.由③④得2(a －1)(d －1)·5(b －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)·5(d －1)(b －1)，所以2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)，比较指数，得(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)，由此可以判断D 和E 是朋友．拓展天地（7）(阅读理解题)观察下列运算过程，并回答问题：56×5－3＝56×153＝56÷53＝56－3＝53＝56＋(－3)； 74÷7－2＝74×72＝74＋2＝76＝74－(－2)．(1)从上面的运算中，你对于a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 为正整数)，a m ÷a n ＝a m －n (m ，n 为正整数，且m ＞n ，a ≠0)有没有新的认识？(2)试用你得到的新认识计算：①3－3×3－2； ②87÷8－4.【解析】 当指数为负整数时，同底数的幂乘法和同底数幂的除法法则仍适用．【解】 (1)由此可见，对于a m ·a n ＝a m ＋n 和a m ÷a n ＝a m －n ，当m ，n 为负整数时，公式仍然成立．(2)①3－3×3－2＝3－3＋(－2)＝3－5；②87÷8－4＝87－(－4)＝811.拓展天地（8）如果一正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4、12、20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？【解析】根据“神秘数”的概念，找出规律．【解】(1)找规律：4＝4×1＝22－02，12＝4×3＝42－22，20＝4×5＝62－42，28＝4×7＝82－62，2012＝4×503＝5042－5022，所以，28和2012都是神秘数．(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)．因此由这两个连续偶数2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．拓展天地（9）阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示．图(1)图(2)图(3)请写出图(3)所表示的代数恒等式；【解析】利用图形整体面积等于各部分面积的和，推出恒等式．【解】观察所给图形可知：长方形长为2a＋b，宽为a＋2b，所以所得的代数恒等式为(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.拓展天地（10）(阅读理解题)分解因式：1＋a＋a(a＋1)＋a(a＋1)2.解：1＋a＋a(a＋1)＋a(a＋1)2＝(1＋a)[1＋a＋a(1＋a)]＝(1＋a)2(1＋a)＝(1＋a)3.(1)本题用了多少次提公因式法？(2)若将本题改为1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2012，需要应用多少次提公因式法？【解析】把(1＋a)当作整体进行提公因式，观察(1＋a)指数的变化，就可以知道用了几次提取公因式法．【解】(1)用了2次提公因式法．(2)原式＝(1＋a)＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2012＝(1＋a)[1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2011]＝(1＋a)2[1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2010]＝…＝(1＋a)2012(1＋a)＝(1＋a)2013.由此可见，共用了2012次提公因式法，结果为(1＋a)2013.。

第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( √ )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × )题组二 教材改编2．[P25例3]曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．[P37例2]在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.题组三 易错自纠4．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解 将直线l 的参数方程化为普通方程为 y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5．设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围．解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－33，33.6．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． 解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ， 即3y －x ＋m ＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根， ∴t 1t 2＝m 2－2m .∵|P A |·|PB |＝1＝|t 1t 2|，∴m 2－2m ＝±1， 解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一 参数方程与普通方程的互化1．(2018·开封调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程．解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0)． 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．题型二 参数方程的应用典例 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练 (2017·吉林实验中学月考)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ， P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用典例 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．跟踪训练 (2018·福州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.1．(2018·保定模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3,0)．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，不妨取A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.3．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，∴原点到直线l 的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解 曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.5．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． 解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入到z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]．6．(2016·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入到C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.7．(2018·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|P A |·|PB |的值． 解 (1)因为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8； 直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ： x 2＋y 2－4x －4y ＝0中， 得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，t 1,2＝4＋53±403－412，则t 1t 2＝33.点P (－2，－3)显然在直线l 上．由直线标准参数方程下t 的几何意义知，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝33，所以|P A |·|PB |＝33.8．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解 (1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.9．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，两式平方相加，得x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0.①由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x .② ①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)． 其极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫22，3π4. (2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大， 此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为 2. ∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋2 2.10．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，求1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2的值． 解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，与x 轴的交点为(2,0)． 又曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23＝1，所以a ＝2，故所求曲线C 的普通方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为点A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋2π3，C ⎝⎛⎭⎫ρ3，θ＋4π3在曲线C 上，即点A (ρ1cos θ，ρ1sin θ)， B ⎝⎛⎭⎫ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3，ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋2π3， C ⎝⎛⎭⎫ρ3cos ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3，ρ3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋4π3在曲线C 上， 故1|OA |2＋1|OB |2＋1|OC |2＝1ρ21＋1ρ22＋1ρ23＝14⎣⎡⎦⎤cos 2θ＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＋ 13⎣⎡⎦⎤sin 2θ＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋2π3＋sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋4π3＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos 2θ2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32＋ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2θ2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋4π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋8π32 ＝14×32＋13×32＝78.。

14.4 课题学习方案选择◆随堂检测1、〔 2021 宁波〕如图，某电信公司提供了A、 B 两种方案的动通讯费用y〔元〕与通话时间x〔分〕之间的关系，那么以说法错误的选项是〔〕A. 假设通话时间少于120 分，那么 A 方案比 B 方案廉价20 元B. 假设通话时间超过200 分，那么 B 方案比 A 方案廉价12 元C. 假设通讯费用为60 元，那么 B 方案比 A 方案的通话时间长y(元)A方案移70B 方案下5030120 170200250x〔分〕D. 假设两种方案通讯费用相差10 元，那么通话时间是 145 分或 185 分2、暑假老师带着该校“三好学生〞去北京旅游，甲旅行社说：“假设校长买全票一张，那么其余学生可享受半价优惠。

〞乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的6 折优惠。

〞假设全票为240 元①设学生数为 x ，甲旅行社收费为y1，乙旅行社收费为y2，那么 y1=y2=②当学生有人时两个旅行社费用一样。

③当学生人数时甲旅行社收费少◆典例分析例题：某土产公司组织20 辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120 吨去外地销售。

按方案 20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，土特产种类甲乙丙每辆汽车运载量〔吨〕865每吨土特产获利〔百元〕121610解答以下问题(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求 y 与 x 之间的函数关系式．(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于 3 辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。

(3)假设要使此次销售获利最大，应采用 (2) 中哪种安排方案 ?并求出最大利润的值。

分析：(1)装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，共 20 辆车，可得装运丙种土特产的车辆数为〔 20-x-y 〕辆。

可得 8x+6y+5〔20-x-y 〕 =120 。

整理成函数形式即可(2)由装运每种土特产的车辆都不少于 3 辆，可得甲： x≥ 3乙： y≥ 3丙：〔 20-x-y 〕≥ 3把第〔 1〕的结论代入消去y，再解不等式即可。

§14.2 不等式选讲1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 3．不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( × ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( √ )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( × ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( × ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编2．[P20T7]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D ．(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．3．[P20T8]求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集． 解 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4；③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)．题组三 易错自纠4．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 答案 4或－6解析 方法一 ①当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|， f (x )min ＝0，不符合题意；②当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1，x <a ，x －1－2a ，a ≤x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，∴f (x )min ＝f (a )＝－a －1＝5，∴a ＝－6成立； ③当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，∴f (x )min ＝f (a )＝a ＋1＝5，∴a ＝4成立． 综上，a ＝4或a ＝－6.方法二 当a ＝－1时，f (x )min ＝0，不符合题意； 当a ≠－1时，f (x )min ＝f (a )＝|a ＋1|＝5， ∴a ＝4或a ＝－6.5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．答案 9解析 把a ＋b ＋c ＝1代入到1a ＋1b ＋1c中，得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．6．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52，y ≤5；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2. 解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12.题型一 绝对值不等式的解法1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 题型二 利用绝对值不等式求最值典例 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， 当且仅当0≤x ≤1时等号成立， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1同时成立时等号成立． ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法．跟踪训练 (2017·西安模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0时等号成立， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min .由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值范围为[－2,2]． 题型三 绝对值不等式的综合应用典例 已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x －a |＋12a (a ≠0)， ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤1， 又|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴－1≤m ≤1， ∴实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0， ∴－12≤a <0，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法． 跟踪训练 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2， 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 题型四 用综合法与分析法证明不等式典例 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2 ＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )2·1(x －y )2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0， 所以要证a ＋b ＋c ≥3，只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )， 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立， 所以原不等式成立．思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 跟踪训练 (2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.1．解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 方法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为 (－∞，－3]∪[2，＋∞)．方法二 由原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－(x －1)＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 方法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示．由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．2．(2017·烟台二模)若不等式log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥2恒成立，求实数m 的取值范围． 解 由题意可知|x ＋1|＋|x －2|－m ≥4恒成立， 即m ≤(|x ＋1|＋|x －2|－4)min .又因为|x ＋1|＋|x －2|－4≥|(x ＋1)－(x －2)|－4＝－1， 当且仅当－1≤x ≤2时等号成立， 所以m ≤－1.即实数m 的取值范围为(－∞，－1]．3．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝⎛⎭⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.即实数m 的取值范围为[6，＋∞)．4．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设知a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞ c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ；由(1)得a ＋b ＞ c ＋d ，即必要性成立；②若a ＋b ＞ c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |，即充分性成立． 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．5．(2017·洛阳模拟)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a >0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12； 当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23； 当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎡⎭⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32， 解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫24，＋∞. 6．(2017·沈阳模拟)设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x 0∈R ，使得不等式f (2x 0＋1)－f (x 0－1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ， 则－1a ＝－6，3a＝2，无解； 当a <0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a，－1a ， 令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12. 综上所述，a ＝－12. (2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知h (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－14上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增， 在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递增， 则当x ＝－14时，h (x )取得最小值－72，由题意，知－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.7．(2017·哈尔滨三中检测)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝2.(1)求证：ab ＋bc ＋ac ≤43； (2)若a ，b ，c 都小于1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围．(1)证明 ∵a ＋b ＋c ＝2，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，∴2a 2＋2b 2＋2c 2＋4ab ＋4bc ＋4ca ＝8，∴8＝2a 2＋2b 2＋2c 2＋4ab ＋4bc ＋4ca ≥6ab ＋6bc ＋6ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴ab ＋bc ＋ac ≤43. (2)解 由题意可知，a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝4，∴4≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a 2＋b 2＋c 2≥43. ∵0<a <1，∴a >a 2.同理b >b 2，c >c 2.∴a 2＋b 2＋c 2<a ＋b ＋c ＝2，∴43≤a 2＋b 2＋c 2<2， ∴a 2＋b 2＋c 2的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，2.8．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.(1)解 由f (x ＋1)≥0，得|x |＋|x －1|≤m .∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意；若m ＝1，不等式|x |＋|x －1|≤1的解集为[0,1]．若m >1，①当x <0时，1－m 2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m,0≤x ≤1；③当x >1时，得2x －1≤m,1<x ≤m ＋12. 综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎡⎦⎤1－m 2，m ＋12. 由题意知，原不等式的解集为[0,1]．∴1－m 2＝0，m ＋12＝1，解得m ＝1. ∴m ＝1.(2)证明 ∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ，当且仅当x ＝a ，y ＝b ，z ＝c 时等号成立． 三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz .由题设及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1，∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，∴ax ＋by ＋cz ≤1，不等式得证．9．(2017·银川模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .(1)当a ＝－1时，解不等式f (x )≤g (x )；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥12g (x 0)，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，不等式f (x )≤g (x )，即|x ＋1|≤2|x |－1，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －1≤－2x －1， 即x ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤0，x ＋1≤－2x －1，即－1<x ≤－23， 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1≤2x －1，即x ≥2. 从而不等式f (x )≤g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥2. (2)存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥12g (x 0)， 即存在x 0∈R ，使得|x 0＋1|≥|x 0|＋a 2， 即存在x 0∈R ，使得a 2≤|x 0＋1|－|x 0|. 设h (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ≤－1，2x ＋1，－1<x ≤0，1，x >0，则h (x )的最大值为1，所以a 2≤1，即a ≤2. 所以实数a 的取值范围为(－∞，2]．10．已知a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立． (1)求1a ＋4b的最小值； (2)求x 的取值范围．解 (1)∵a >0，b >0且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝5＋b a ＋4a b≥9， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时，1a ＋4b取得最小值9. (2)∵对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤9.当x ≤－1时，不等式化为2－x ≤9，解得－7≤x ≤－1；当－1<x <12时，不等式化为－3x ≤9， 解得－1<x <12； 当x ≥12时，不等式化为x －2≤9， 解得12≤x ≤11. ∴x 的取值范围为{x |－7≤x ≤11}．。

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第1讲绝对值不等式1.设函数f（x）＝|2x＋1｜－｜x－4|。

(1）解不等式f（x)＞2；(2)求函数y＝f（x）的最小值。

解（1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－错误!，x＝4.原不等式可化为:错误!或错误!或错误!即错误!或错误!或错误!∴x＜－7或x＞错误!。

∴原不等式的解集为错误!.法二f(x）＝|2x＋1|－｜x－4|＝错误!画出f（x)的图象，如图所示.求得y＝2与f（x)图象的交点为（－7，2)，错误!.由图象知f（x）＞2的解集为错误!。

(2）由(1）的法二图象知：当x＝－错误!时，知：f(x)min＝－92。

2.（2017·长沙一模）设α,β，γ均为实数.(1)证明：｜cos（α＋β)｜≤|cos α｜＋|sin β｜，｜sin（α＋β）|≤|cos α|＋|cos β|；(2）若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α｜＋｜cos β|＋|cos γ｜≥1.证明（1)|cos（α＋β）｜＝|cos αcos β－sin αsin β｜≤｜cos αcos β|＋|sin αsin β｜≤｜cos α｜＋|sin β|；｜sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β｜≤|sin αcos β｜＋｜cos αsin β|≤｜cos α|＋｜cos β|.(2）由(1）知，｜cos[α＋（β＋γ）]｜≤|cos α|＋｜sin（β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β｜＋｜cos γ|，而α＋β＋γ＝0，故|cos α｜＋｜cos β|＋｜cos γ｜≥1。

第十四章选考内容1．几何证明选讲(1)理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．(2)会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理．2．坐标系与参数方程(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(4)了解参数方程，了解参数的意义．(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a．(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．§14．1几何证明选讲1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段____________．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必____________．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线____________．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________，两三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成________且夹角________，两三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应________，两三角形相似．注意：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等．这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化．4．相似三角形的性质定理性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________．性质定理2：相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于____________．性质定理3：相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________．5．射影定理直角三角形斜边上的高是__________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________________．6．圆周角、圆心角和弦切角定理①圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半．②圆心角定理：圆心角的度数等于它所对______的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的________．7．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆的内接四边形的对角____________．推论：圆内接四边形的外角等于它的__________的对角．(2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____________．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____________．8．圆的切线的性质与判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过________．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．9．相交弦定理圆内的两条相交弦，_____________的积相等．10．(1)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到__________________的两条线段长的积相等．(2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到________________的比例中项．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线平分____________的夹角．且____________切点弦．自查自纠：1．也相等平分第三边平分另一腰3．相等比例相等成比例4．相似比相似比相似比的平方5．两直角边在斜边上射影比例中项6．①圆心角②弧相等也相等直角直径③圆周角7．(1)互补内角(2)共圆共圆8．半径切点圆心切线9．被交点分成的两条线段长10．(1)每条割线与圆的交点(2)割线与圆交点的两条线段长(3)相等两条切线垂直平分如图，过圆内接四边形ABCD的顶点C引切线MN，AB为圆的直径，若∠BCM＝38°，则∠ABC ＝()A．38°B．52°C．68°D．42°解：连结AC，易知∠ACB＝90°．由弦切角定理可得∠CAB＝∠BCM＝38°，所以∠ABC＝52°．故选B．如图，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，边BC＝24 cm，BC边上的高AD＝12 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为()A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm解：设正方形的边长为x cm．∵PN∥BC，∴△APN∽△AB C．∴AEAD＝PNBC，即12－x12＝x24，解得x＝8 cm．故选B．(2012·北京)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解：在△ACB中，因为∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，所以CD2＝AD·D B．又由切割线定理得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·D B．故选A．(2014·陕西)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC ＝2AE，则EF＝____________．解：易证△AEF 与△ACB 相似，∴AE AC ＝EF BC，又BC ＝6，AC ＝2AE ，∴EF ＝3．故填3．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝__________．解：由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，所以QA ＝2，PB ＝P A ＝4．故填4．类型一 平行线分线段成比例定理的应用(1)如图所示，平行四边形ABCD 中，BC 与AD 的中点分别为E ，F ，且BF ，DE 与对角线AC 分别交于H ，G ．求证：AH ＝HG ＝G C ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝B C ．又∵DF ＝12AD ，BE ＝12BC ，∴DF 綊BE ．∴四边形FDEB 是平行四边形．∴BF ∥DE ．又AF ＝DF ，∴AH ＝HG ． 同理CG ＝HG ，从而AH ＝HG ＝CG ．(2)如图所示，在△ABC 中，∠BAC 的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：AB AC ＝BDDC．证明：作CF ∥AB 交AD 于F ，则AB FC ＝BDDC，又∵∠AFC ＝∠F AE ＝∠F AC ，∴AC ＝CF ，∴AB AC ＝BDDC．点拨：(1)可利用已知条件中平行四边形的性质及中点关系证得平行关系，再运用平行线等分线段定理，进而得证(亦可利用向量方法证明)；(2)要证明比例式成立，可将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，即创造可以形成比例式的条件，从而达到证明的目的．(1)如图所示，在△ABC 中，D 是BC的中点，E 是AC 的中点，AD 交BE 于G ，求证：AG ＝2G D ．证明：作CH ∥EB 交AD 的延长线于点H ，∵AE ＝EC ，CH ∥EB ，∴AG ＝GH ． 又∵BD ＝DC ，∴△BDG ≌△CDH ．∴GD ＝DH ．∴AG ＝2G D ．(2)在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，求证：AB AC ＝BD DC． 证明：如图，过C 作CE ∥AD ，交BA 延长线于E ，∵AD ∥CE ，∴BA AE ＝BDDC．∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DA C ．由AD ∥CE 知∠BAD ＝∠E ， ∠DAC ＝∠ACE ，∴∠ACE ＝∠E ，即AE ＝A C ． ∴AB AC ＝BD DC． 类型二 相似三角形的判定及性质如图所示，已知在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ， ∴AB AC ＝BDAD．① 又∵E 是AC 的中点，∴DE ＝EC ，∴∠4＝∠3＝∠ACB ＝∠1，而∠AFD 为公共角，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BD AD ＝DF AF ，②，由①②可得AB AC ＝DF AF ．点拨：(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来间接证明线段相等或计算线段长度．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．(1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM ．解：(1)证明：∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2E B ． ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝E B ． 又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM ．(2)∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DEBF．∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF ．∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3．类型三 射影定理的应用如图所示，已知在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝14AD ，过AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H ．(1)求证：FH ＝F A ；(2)求EH ∶HC 的值．解：(1)证明：连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝90°．∵AE ＝14AD ，F 为AB 的中点，∴AE AF ＝FB BC ＝12． ∴△EAF ∽△FB C ．∴∠AEF ＝∠BFC ，∠EF A ＝∠BCF ． 又∠A ＝∠B ＝90°，∴∠EFC ＝90°，EF FC ＝AE BF ＝AE AF ＝12．又∵∠EFC ＝∠A ＝90°，∴△EFC ∽△EAF ． ∴∠AEF ＝∠HEF ． 又EF ＝EF ，∴Rt △EAF ≌Rt △EHF ．∴FH ＝F A ． (2)由(1)知△EFC 是直角三角形，FH 是斜边EC 上的高，由射影定理可得EF 2＝EH ·EC ，FC 2＝CH ·CE ，于是EH ∶HC ＝EF 2∶FC 2＝1∶4．点拨：①一般四边形问题须转化为三角形(最好是Rt △)问题研究，故自然要连结EF ，FC ，第(1)问也可由勾股定理求出FH 的长来证；②图中有2对全等三角形，8对相似三角形，能洞察这些，解此题会游刃有余；③第(2)问由EH ∶HC ＝AE ∶BC 求，更简洁．(2013·湖北)如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若AB ＝3AD ，则CEEO的值为____________．解：由射影定理知CE EO ＝CE ·CO EO ·CO ＝CD 2DO 2＝AD ·BD （OA －AD ）2＝AD ·（AB －AD ）⎝⎛⎭⎫12AB －AD 2＝AD ·（3AD －AD ）⎝⎛⎭⎫32AD －AD 2＝8．故填8．类型四 圆内接四边形的性质及判定定理的应用如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ．AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； (2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．解：(1)证明：连结DE ，在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB，又∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE ＝∠ACB ，从而C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12．故AD ＝2，AB ＝12．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ．因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥A C ．从而HF ＝AG ＝12(m ＋n )＝5，DF ＝12(12－2)＝5，DH ＝DF 2＋FH 2＝52．故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52．点拨：此题求C ，B ，D ，E 所在圆的半径有一定的难度，用正弦定理难以下手，故首先得考虑用几何作图的方法找出圆心H 点，再画出半径DH ，最后再求半径DH 就不难了．另外，证明四点共圆的方法很多，需灵活应用，详见“名师点津”栏．(2014·新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE ．(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE ，由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E ．(2)如图，设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥A D ．所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE ．又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．类型五 圆的切线及与圆有关的比例线段如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．(1)求证：DE 是圆O 的切线；(2)若AC AB ＝25，求AFDF的值．解：(1)证明：连结OD ，可得∠ODA ＝∠OAD ＝∠DAC ，∴OD ∥AE ．又AE ⊥DE ，∴DE ⊥O D ． 又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线． (2)过D 作DH ⊥AB 于点H ，连结BC ，则有∠DOH ＝∠CAB ，cos ∠DOH ＝OH OD ＝cos ∠CAB ＝AC AB ＝25，设OD ＝5x ，则AB ＝10x ，OH ＝2x ， ∴AH ＝7x ．由△AED ≌△AHD 可得AE ＝AH ＝7x ．又由△AEF ∽△DOF 可得AF DF ＝AE OD ＝75．点拨：(1)关于圆的切线的证明问题一般依据切线的定义转化为证明垂直；(2)可用分析法分析，要求AFDF的值，可利用三角形相似转化为求AEOD的值，再利用三角形全等得出AE ＝AH ，最后对已知条件进行转化，计算得出结果．注意圆的性质的灵活运用．(2013·全国新课标Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解：(1)证明：∵CD 为△ABC 外接圆的切线，BC 是弦，∴∠DCB ＝∠A ．由题设知BC F A ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，∴∠DBC ＝∠EF A ．∵B ，E ，F ，C 四点共圆，∴∠CFE ＝∠DB C ．故∠EF A ＝∠CFE ＝90°，∴∠CBA ＝∠CBD ＝90°．因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，∵∠CBE ＝90°，∴过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ＝EA ，有EC ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2．而由圆的切割线定理知DC 2＝DB ·DA＝3DB 2，∴CD 2CA 2＝CE 2CA 2＝3DB 26DB 2＝12．故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12．1．用添加平行辅助线的方法构造平行线，是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件．在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边的对应．2．在证明两个或两个以上的比例式相等时，往往需要找第三个比例式与它们都相等，这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，或考虑用线段替换，由相等的传递性得出结论．3．证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先探求是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探求等角的两边对应成比例．4．注意在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线．如构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质．要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上某一点，那么连接这点和圆心，证明该直线垂直于半径；如果不知直线和圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点．5．证明多点共圆的常用方法(1)证明几个点到某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等(例：如图，若∠ACB ＝∠ADB ＝90°，则A ，B ，D ，C 四点共圆)．(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．6．相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比或比例式．1．如图l 1∥l 2∥l 3，下列比例式正确的是( )A ．AD DF ＝CE BCB ．AD BE ＝BC AFC ．CE DF ＝AD BC D ．AF DF ＝BE CE解：由平行线分线段成比例定理可得D 正确，故选D ．2．如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4 解：因为CD 和BE 是高，可得∠DCA ＝∠EBA ，所以△DOB 与△EOC ，△DAC ，△EAB 相似．故选C ．3．如图，⊙O 与⊙P 相交于A ，B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D ，E 两点，过点E 作EF ⊥CE 交CB 延长线于点F ．若CD ＝2，CB ＝22，则EF 的长为()A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解：连结PB ，BC 切⊙P 于点B ，PB ⊥BC ，CD ＝2，CB ＝22，由切割线定理得CB 2＝CD ·CE ，CE ＝4，DE ＝2，BP ＝1，又∵EF ⊥CE ，∴△CPB ∽△CFE ，得EF PB ＝CECB，解得EF ＝2．故选B ．4．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG ．其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 解：∵CF ＝CE ，BF ＝BD ，∴BC ＝CE ＋B D ． ∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ．故结论①正确．由切割线定理知AD 2＝AF ·AG ，又AE ＝AD ，∴AD ·AE ＝AF ·AG ，故结论②正确．容易判断结论③不正确．故选A ．5．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解：由相交弦定理知CE ·DE ＝AE ·EB ，∴DE 2＝1×5＝5，由射影定理知DF ·DB ＝DE 2＝5．故选D ．6．(2014·天津)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2＝FD ·F A ； ③AE ·CE ＝BE ·DE ； ④AF ·BD ＝AB ·BF ．则所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④ 解：由弦切角定理得∠FBD ＝∠EAC ＝∠BAE ，又∠BFD ＝∠AFB ，故△BFD ∽△AFB ，故BF AF ＝BDAB，即AF ·BD ＝AB ·BF ，④对，否定A ，C ．显然②正确．故选D ．7．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝____________．解：△CDF ∽△AEF ，∴△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝⎛⎭⎫CD AE 2＝⎝⎛⎭⎫EB ＋AE AE 2＝9．故填9．8．(2014·重庆)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次分别交圆于B ，C ，若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝__________．解：如图，由P A 2＝PB ·PC 得62＝PB (PB ＋9)，解得PB ＝3．再由∠C ＝∠BAP 及∠P 为公共角得△ABP ∽△CAP ，∴AB CA ＝BPAP，∴AB ＝4．故填4．9．如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：ABAC为定值．证明：如图，连结AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D ．连结BD ，CE ．因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径， 从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°．所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2．所以ABAC 为定值．10．已知四边形PQRS 是圆内接四边形，∠PSR ＝90°，过点Q 作PR ，PS 的垂线，垂足分别为点H ，K ．QS 交HK 于点T ．(1)求证：Q ，H ，K ，P 四点共圆； (2)求证：QT ＝TS ．证明：(1)∵∠PHQ ＝∠PKQ ＝90°， ∴四点P ，K ，H ，Q 共圆．(2)∵四点P ，K ，H ，Q 共圆，∴∠HKS ＝∠HQP ．①∵∠PSR ＝90°，∴PR 为圆的直径． ∴∠PQR ＝90°，∠QRH ＝∠HQP ．② 由①②得∠QRH ＝∠HKS ．又∠QRH ＝∠QSP ，∴∠QSP ＝∠HKS ，∴ST ＝TK ．∵∠SKQ ＝90°，∴∠SQK ＝∠TKQ ，∴QT ＝TK ＝TS ．11．(2014·新课标Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2．证明：(1)连接AB ，A C ．由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PD A ．∵∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ， ∠DCA ＝∠P AB ，∴∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵． 因此BE ＝E C ．(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·P C ．∵P A ＝PD ＝DC ，∴DC ＝2PB ，BD ＝P B ． 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，∴AD ·DE ＝PB ·2PB ＝2PB 2．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ︵＝AC ︵，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，求PF 的长度．解：连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系并结合题中条件AE ︵＝AC ︵可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠C ，从而∠PFD ＝∠C ，故△PFD ∽△PCO ，∴PFPC ＝PDPO，由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3．§14．2坐标系与参数方程1．极坐标系极坐标系的建立一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为________，射线Ox称为________．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的________，θ称为点M的________．有序数对(ρ，θ)称为点M的________．由极径的意义可知ρ≥0．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立__________的关系．2．极坐标和直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组关系式：________________，________________．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．3．简单曲线的极坐标方程(1)曲线的极坐标方程的定义一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．(2)常见曲线的极坐标方程①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为__________________________；②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为______________________________；③圆心为⎝⎛⎭⎫r，π2，半径为r的圆的极坐标方程为；④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为______________________________；⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为；⑥过点⎝⎛⎭⎫a，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程为______________________________．4．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：________________________________________．当M0M→与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当M0M→与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________．5．圆的参数方程圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为．6．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是____________．自查自纠：1．极点极轴极径极角极坐标一一对应2．⎩⎪⎨⎪⎧x＝ρcosθ，y＝ρsinθ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）3．(1)f(ρ，θ)＝0(2)①ρ＝r②ρ＝2r cosθ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ＜π2③ρ＝2r sinθ(0≤θ<π)④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)⑤ρcosθ＝a⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2⑥ρsinθ＝a(0<θ<π)4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点M 0的距离 正数 负数 05．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)6．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ [0，2π)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，π2B ．⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0) D ．(1，π)解：由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ．化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2．故选B ．在同一平面直角坐标系中，直线2x －y ＝4变成x ′－y ′＝2的伸缩变换是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝4y解：设其伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）， 则λx －μy ＝2，2λx －2μy ＝4，于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2，－2μ＝－1， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝12．∴φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y ． 故选C ．(2014·北京)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 解：由曲线的参数方程易知x ＋1＝cos θ且y －2＝sin θ，故有(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，该曲线是以点(－1，2)为圆心的圆，其对称中心就是圆心，易知点(－1，2)在直线y ＝－2x 上．故选B ．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为____________．解：直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆C 的方程：x 29＋y 24＝1，右顶点()3，0，由题意知3－a ＝0，∴a ＝3．故填3．(2014·陕西)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是____________． 解：点的直角坐标为(3，1)，直线的直角坐标方程为12x －32y ＋1＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1，故填1．类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1．将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12．所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ．将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1．亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2．点拨：求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式．将椭圆伸缩变换之后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x ．解：将变换后的曲线y ＝3sin2x 改写为y ′＝3sin2x ′，设伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 代入得μy ＝3sin2(λx )，即y ＝3μsin2λx ，与曲线y ＝2sin3x 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝32，μ＝32．所以伸缩变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y ．类型二 极坐标与直角坐标的互化将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，143π化成直角坐标； ②将点N 的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23，∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫8，5π3．点拨：将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点津”栏．将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x;②θ＝π3(ρ∈R )；③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ．解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ．化简得ρsin 2θ＝4cos θ．②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0．显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y＝3x ．③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4．④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0．类型三 直线、圆的极坐标方程在极坐标系中，求半径为r ，圆心为⎝⎛⎭⎫r ，32π的圆的极坐标方程． 解：由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则||OA ＝2r ，如图，连接AM ，OM ，则OM ⊥MA ，在Rt △OAM 中，||OM ＝||OA cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∴ρ＝－2r sin θ，经验证点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫2r ，32π的坐标也满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2r sin θ．点拨：求直线、圆的极坐标方程，除利用极坐标系外，亦可先求出直角坐标方程，再利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ转化为极坐标方程，如变式3．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．解：(1)圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．(2)在圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－22(x ＋y )＝0中，令y ＝0，得x 2－22x ＝0，解得x ＝0或22，于是得到圆C 与x 轴的交点坐标(0，0)，(22，0)，由于直线过圆心C (2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y －0＝2－02－22(x －22)，即x ＋y －22＝0．化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－22＝0．类型四 参数方程和普通方程的互化已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t ＞0)，求曲线C 的普通方程． 解：因为x ＝t －1t ，所以x 2＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝t ＋1t－2，① 又y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t 且t ＞0，则t ＋1t ＝y3，② 由①②可得x 2＝y3－2．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0．点拨：(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程组的代入消元的技巧消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③利用参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法整体代入消去参数，但将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(2)由普通方程选定参数求参数方程，充分展示了建立参数方程的过程，要求把握圆的性质和点的坐标的意义，会利用直角三角形建立角与坐标间的关系，要注意参数的取值范围前后保持一致．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数， 则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为____________．解：设P 点坐标为(x ，y )，圆与x 轴交于点O (0，0)，A (1，0)，当θ≠0，π2时，在Rt △OP A 中，||OA ＝1，||OP ＝cos θ，作PQ ⊥OA 于Q ，∴⎩⎨⎧x ＝||OP cos θ＝cos 2θy ＝||OP sin θ＝sin θcos θ(θ为参数)，当θ＝0，π2时，方程适合．故填⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(注意倾斜角θ的范围)类型五 圆、椭圆、直线参数方程的应用如图，设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4，4)，点A 在圆x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)上移动，且AB ，AD 两边分别平行于x 轴、y 轴．求矩形ABCD 的面积的最小值及对应点A 的坐标．解：设A (3cos θ，3sin θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则||AB ＝4－3cos θ，||AD ＝4－3sin θ，于是矩形ABCD 的面积S＝||AB ·||AD ＝(4－3cos θ)(4－3sin θ)＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ．令t ＝cos θ＋sin θ(1≤t ≤2)，则cos θsin θ＝t 2－12． 所以S ＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝⎛⎭⎫t －432＋72， S min ＝72，此时⎩⎨⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4＋26，sin θ＝4－26， 或 ⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4－26，sin θ＝4＋26．因此对应点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2＋22，2－22或⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22．。