《简单的线性规划》教学设计（二）
【教学目标】
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值．
【重点难点】
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点．
【教学步骤】
一、新课引入
我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用．
线性规划 先讨论下面的问题
设2z x y =+,式中变量x 、y 满足下列条件 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
①
求z 的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中 ABC ∆内部且包括边界．点(0,0)不在这个三角形区域内,当0,0x y == 时,20z x y =+=,点(0,0)在直线0:20l x y +=上．作一组和0l 平等的直线:2,l x y t t R +=∈
可知,当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>．
即0t >,而且l 往右平移时,t 随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l 的直线中,以经过点(5,2)A 的直线l ,所对应的t 最大,以经过点(1,1)B 的直线1l ,所对应的t 最小,所以
max 25212z =⨯+=min 2113z =⨯+=
在上述问题中,不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又称线性约束条件．
2x y +是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫做目标函数,由于2z x y =+又是x 、y 的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数2z x y =+在
=0
线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示．
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问
题,满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域,其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例.解下列线性规划问题:求2z x y =+的最大值和最小值,使式中的x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
解:先作出可行域,见图中表示的区域,且求得11
(,),(1,1),(2,1)22
A B C ---． 作出直线0:20l x y +=,再将直线0l 平移,当0l 的平行线1l 过 B 点时,可使2z x y =+达到最小值,当0l 的平行线2l 过C 点 时,可使2z x y =+达到最大值．
∴min min 2(1)(1)3,22(1)3z z =⨯-+-=-=⨯+-= 通过这个例子讲清楚线性规划的步骤,即:
第一步:在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步:在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值．
例.解线性规划问题:求3z x y =+的最大值,使式中的x 、满足约束条件 232476
00
x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 解:作出可行域,见图,五边形OABCD 表示的平面区域． 作出直线0:30l x y +=将它平移至点B ,显然,点B
的坐标是可行域中的最优解, 它使3z x y =+达到最大值,解方程组72324
x y x y -=⎧⎨+=⎩得点B 的坐标为(9,2)． x y
O =1x +y =x y =-1y C
B A
x y
O =7x -y 876C B A D =0x +y 3=6y =24x +y 2312
∴max 39229z =⨯+=
这个例题可在教师的指导下,由学生解出．在此例中,若目标函数设为3z x y =+,约束条件不变,则z 的最大值在点(3,6)C 处取得．事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数(0,0)z ax by a b =+≠≠所确定的直线0:0l ax by +=的斜率a b -
有关．就这个例子而言,当0l 的斜率为负数时,即0a b -<时,若23
a b -=-（直线2324x y +=的斜率）时,线段上所有点都是使z 取得最大值（如本例）；当203a b
-<-<时,点C 处使取得最大值（比如:3z x y =+时）,若0a b
->,可请同学思考． 二、随堂练习
．求725z x y =+的最小值,使式中的x 、y 满足约束条件
251551000
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ．求1015z x y =+的最大值,使式中x 、y 满足约束条件
2243236010011
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩ 答案．5,1x y ==时,min 60z =．．6,9x y ==时,max 195z =．
三、总结提炼
．线性规划的概念．
．线性规划的问题解法．
四、布置作业
．求3z x y =+的最大值,使式中的x 、y 满足条件
232476
00
x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ．求160252z x y =+的最小值,使x 、y 满足下列条件
