第四节条件概率
一、条件概率
二、乘法定理
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A 为“至少有一次为正面”,事件B 为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.解：分析样本空间}. , , , {TT TH HT HH S
=()P B =事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
),(A B P 31)(=A B P 则).(B P ≠4341=()P AB =. , 为反面为正面设T H 引例1
一、条件概率
},,{},,,{TT HH B TH HT HH A ==21.42=()
P A
)
()()(B P AB P B A P =同理可得为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.条件事件不能是不可能事件条件事件不能是不可能事件，，概率总大于0.
.
)
()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称
且是两个事件设B A A P AB P A B P A P B A =>定义定义：：条件概率Conditional Probability
例1.家有枣树(Luxun's Jujube Tree)
鲁迅在散文里说道鲁迅在散文里说道：：自家院子里有两棵树,一棵是枣树,另一棵也是枣树;
如果我们还不知道另一棵是什么树,
求另一棵也是枣树的概率.
不妨设另一棵可能是榆树不妨设另一棵可能是榆树((或槐树或槐树,,等等等等),),),则事件则事件“院子里有两棵树院子里有两棵树””为样本空间为样本空间，，其元素构成为
()P A B =S ={(={(枣枣,枣),(),(枣枣,榆),(),(榆榆,榆)}
事件B :已知一棵是枣树已知一棵是枣树，，(即有一棵是枣树即有一棵是枣树););
事件A :另一棵也是枣树另一棵也是枣树..
则二者的交事件为则二者的交事件为：：两棵都是枣树两棵都是枣树。。
由条件概率计算公式由条件概率计算公式::
()()P AB P B =1/32/312
=
例2.发牌(Play Poke)
在52张四种花色的扑克(不要小鬼大鬼)里任取一张里任取一张，，已知摸到梅花已知摸到梅花，，求摸到的是梅花九的概率.
不妨设样本空间S :={(从52张扑克里任取1张)}
解
()()()P AB P A B P B =事件B :摸到梅花;事件A :摸到梅花9;
则二者的交事件为A ：摸到梅花9。
由条件概率和古典概率计算公式:
()
()
P A P B =1/5213/52=1
13
=
设甲设甲、、乙两地今天下雨的概率分别为1/3, 1/6，两地今天同时下雨的概率为1/12。若已知其中一个地方今天下雨了方今天下雨了，，求另一个地方今天下雨的概率求另一个地方今天下雨的概率。。设A 表示“甲地今天下雨”，B 表示“乙地今天下雨”。则由条件概率公式得例3 东边日出西边雨解()()()P AB P A B P B ==()()()P AB P B A P A ==1,21/121/6
=1.41/121/3=
).
()()()()(112221112121A P A A P A A A A P A A A A P A A A P n n n n n ×××
=−−−⋯⋯⋯⋯则有
且,0)(121>−n A A A P ⋯,
2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广⋯则有
且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ).
()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有设二、乘法公式
).
()()()(A P A B P AB C P ABC P =.)()()(A P AB P A B P =
例1摔镜子设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
解以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
,321A A A B =因为)()(321A A A P B P =所以)
()()(112213A P A A P A A A P =9(1)10=−.200
3=,"")3,2,1(次落下打破透镜第表示事件以i i A i =).()()()(A P A B P AB C P ABC P =1(1)2−7(1)10−
例2拨电话某人忘了电话号码最后一位数,因而
随意拨号;求他拨号不超过三次便接通的概率.
解k A 令事件从而由对立事件概率与乘法公式得所求事件概率为
1A k =1,2,3
分别表示第k 次拨通电话；对立事件为依题意所求事件A 的对立事件
表示第k 次未拨通电话；
k
A 2A 3
A 即前3次均未拨通可表示为A
A =
29110=−×.
103
=()1()P A P A =−11()P A =−1231()
P A A A =−312()
P A A A 89×7
8).
()()()(A P A B P AB C P ABC P =156********()P A A 分析首次拨通为10个数中选择1个
正确的正确的，，没通即其对立事件没通即其对立事件，，可能性为9/10.
除非失忆除非失忆，，上次拨错的号码不会重
复选择复选择，，第2次拨号会从9个数里选
择1个正确的.
