九年级数学 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)
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九年级数学 二次函数(培优篇)(Word 版 含解析)
一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧),与y
轴的负半轴交于点C .
()1求点B 的坐标.
()2若ABC 的面积为6.
①求这条抛物线相应的函数解析式.
②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(1,0);(2)①223y x x =+-;②存在,点P 的坐标为
1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭
. 【解析】
【分析】
(1)直接令0y =,即可求出点B 的坐标;
(2)①令x=0,求出点C 坐标为(0,a ),再由△ABC 的面积得到
12
(1−a)•(−a)=6即可求a 的值,即可得到解析式;
②当点P 在x 轴上方时,直线OP 的函数表达式为y=3x ,则直线与抛物线的交点为P ;当点P 在x 轴下方时,直线OP 的函数表达式为y=-3x ,则直线与抛物线的交点为P ;分别求出点P 的坐标即可.
【详解】
解:()1当0y =时,()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==
点A 位于点B 的左侧,与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴<
∴点B 坐标为()1,0.
()2①由()1可得,点A 的坐标为(),0a ,点C 的坐标为()0,,0,a a <
1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,
()()116,2
a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=.
0,a < 3a ∴=-
22 3.y x x =+-
②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-,
∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-
则03,k =-
3k ∴=.
,POB CBO ∠=∠
∴当点P 在x 轴上方时,直线//OP 直线,BC
∴直线OP 的函数解析式3,y x =为
则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩
1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)
,2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点的P
坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
; 当点P 在x 轴下方时,直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称,
则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-
则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩
1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)
,2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点P'
的坐标为
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
综上可得,点P的坐标为
1133313
,
⎛⎫
++
⎪
⎪
⎝⎭
或
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质,一次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键.
2.如图,直线y=1
2
x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=ax2﹣
3
2
x+c经过
A,B两点,与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线的解析式;
(2)M为抛物线上一点,直线AM与x轴交于点N,当
3
2
MN
AN
=时,求点M的坐标;
(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当∠PAB与△AOB的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.
【答案】(1)y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2;(2)点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣
3)或(1,﹣3);(3)点P的坐标为:(﹣1,0)或(3
2
,﹣
25
8
)或(
17
3
,
50
9
)或
(3,﹣2).【解析】【分析】
(1)根据题意直线y=1
2
x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别
为:(0,-2)、(4,0),即可求解;
(2)由题意直线MA的表达式为:y=(1
2
m﹣
3
2
)x﹣2,则点N(
4
3
m-
,0),当
MN
AN
=3
2
时,则
NH
ON
=
3
2
,即
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
=
3
2
,进行分析即可求解;
(3)根据题意分∠PAB=
∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.
【详解】
解:(1)直线y=1
2
x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:
(0,﹣2)、(4,0),
则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=1
2
,
故抛物线的表达式为:y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①;
(2)设点M(m,1
2
m2﹣
3
2
m﹣2)、点A(0,﹣2),
将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线MA的表达式为:y=(1
2
m﹣
3
2
)x﹣2,
则点N(
4
3
m-
,0),
当MN
AN
=
3
2
时,则
NH
ON
=
3
2
,即:
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
=
3
2
,
解得:m=5或﹣2或2或1,
故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,
则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,
联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),
故点P(﹣1,0);
②当∠PAB=∠OAB时,
当点P在AB上方时,无解;
当点P在AB下方时,