九年级数学 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)

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九年级数学 二次函数(培优篇)(Word 版 含解析)

一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧),与y

轴的负半轴交于点C .

()1求点B 的坐标.

()2若ABC 的面积为6.

①求这条抛物线相应的函数解析式.

②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)(1,0);(2)①223y x x =+-;②存在,点P 的坐标为

1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭

. 【解析】

【分析】

(1)直接令0y =,即可求出点B 的坐标;

(2)①令x=0,求出点C 坐标为(0,a ),再由△ABC 的面积得到

12

(1−a)•(−a)=6即可求a 的值,即可得到解析式;

②当点P 在x 轴上方时,直线OP 的函数表达式为y=3x ,则直线与抛物线的交点为P ;当点P 在x 轴下方时,直线OP 的函数表达式为y=-3x ,则直线与抛物线的交点为P ;分别求出点P 的坐标即可.

【详解】

解:()1当0y =时,()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==

点A 位于点B 的左侧,与y 轴的负半轴交于点,C

0,a ∴<

∴点B 坐标为()1,0.

()2①由()1可得,点A 的坐标为(),0a ,点C 的坐标为()0,,0,a a <

1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,

()()116,2

a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=.

0,a < 3a ∴=-

22 3.y x x =+-

②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-,

∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-

则03,k =-

3k ∴=.

,POB CBO ∠=∠

∴当点P 在x 轴上方时,直线//OP 直线,BC

∴直线OP 的函数解析式3,y x =为

则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩

1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)

,2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点的P

坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭

; 当点P 在x 轴下方时,直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称,

则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-

则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩

1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)

,2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∴点P'

的坐标为

53715337

,

⎛⎫

-+-

⎝⎭

综上可得,点P的坐标为

1133313

,

⎛⎫

++

⎝⎭

53715337

,

⎛⎫

-+-

⎝⎭

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质,一次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键.

2.如图,直线y=1

2

x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=ax2﹣

3

2

x+c经过

A,B两点,与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线的解析式;

(2)M为抛物线上一点,直线AM与x轴交于点N,当

3

2

MN

AN

=时,求点M的坐标;

(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当∠PAB与△AOB的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.

【答案】(1)y=1

2

x2﹣

3

2

x﹣2;(2)点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣

3)或(1,﹣3);(3)点P的坐标为:(﹣1,0)或(3

2

,﹣

25

8

)或(

17

3

50

9

)或

(3,﹣2).【解析】【分析】

(1)根据题意直线y=1

2

x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别

为:(0,-2)、(4,0),即可求解;

(2)由题意直线MA的表达式为:y=(1

2

m﹣

3

2

)x﹣2,则点N(

4

3

m-

,0),当

MN

AN

=3

2

时,则

NH

ON

3

2

,即

4

3

4

3

m

m

m

-

-

-

3

2

,进行分析即可求解;

(3)根据题意分∠PAB=

∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.

【详解】

解:(1)直线y=1

2

x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:

(0,﹣2)、(4,0),

则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=1

2

故抛物线的表达式为:y=1

2

x2﹣

3

2

x﹣2①;

(2)设点M(m,1

2

m2﹣

3

2

m﹣2)、点A(0,﹣2),

将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:

直线MA的表达式为:y=(1

2

m﹣

3

2

)x﹣2,

则点N(

4

3

m-

,0),

当MN

AN

3

2

时,则

NH

ON

3

2

,即:

4

3

4

3

m

m

m

-

-

-

3

2

解得:m=5或﹣2或2或1,

故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,

则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,

联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),

故点P(﹣1,0);

②当∠PAB=∠OAB时,

当点P在AB上方时,无解;

当点P在AB下方时,