１
高等数学竞赛试题1
一、填空：
1．若()⎪⎩
⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x
x
01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。 3．
()=+⎰--22
d e
x x x x
26e 2-- 。
4．由曲线⎩
⎨⎧==+012
2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()
230,,处的指向外侧的单位法向
量为
{}
3205
1
,,
。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x
y z x x y z 所确定，则=
z d ()y x x x x
y z x
y z d d e 1e 1-1+++---- 。 二、选择题：
1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。 3． 曲线12+-+
=x x x y （ B ）
（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）
（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。
２
5．设曲面(){}
0Σ2
222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）
（A ）⎰⎰∑
z y x d d 2； （B ）⎰⎰∑
z y x d d ； （C ）
⎰⎰∑
x z z d d ； （D ）⎰⎰∑
y x y d d 。
三、设函数f (x )具有连续的二阶导数，且()0lim
=→x x f x ，()40=''f ，求()x
x x x f 1
01lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+→。 解：由题设可推知f (0) = 0，()00='f ，于是有
()()()22lim 2lim lim
0020
=''='=→→→x f x x f x
x f x x x 。 故 ()()()
()
()()()220010e 1ln exp lim 1lim 1lim =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+→→→x f x
x x x f x f x
x x
x x x f x x f x x f x x f 。
四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 11
2>⎪⎩
⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 2
2
=x x y 。 解：由t t t t t y t 2ln 12e 22ln 1e d d 2ln 1+=⋅+=+，t t x 4d d =，得到()
t x y 2ln 12e d d +=，所以
()()()22
2222ln 14e 412ln 12e
2
412ln 12e d d d d 1d d d d d d t t t t t t t t t
x x y t x y +-=⋅+-=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=。 而当x = 9时，由2
21t x +=及t > 1，得t = 2，故
()()
222
222ln2116e
22ln 14e 9d d +-==+-==t t t x x y 。 五、设n 为自然数，计算积分()⎰
+=
20
d sin 12sin π
n x x
x
n I 。
解：注意到：对于每个固定的n ，总有
()12sin 12sin lim
0+=+→n x
x
n x ，
所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又
()()x nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+，
于是有
