等差数列典型例题

高二数学

等差数列典型例题

【例1】 在100以内有多少个能被 7个整除的自然数？

解•/ 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中 a 1 =7, d = 7, a n = 98

-

代入 a n = a 〔 + (n - 1)d 中，有 98= 7+ (n - 1) • 7 解得n = 14

答100以内有14个能被7整除的自然数.

【例2】 在—1与7之间顺次插入三个数 a , b , b 使这五个数成等差数列,

求此数列.

解 设这五个数组成的等差数列为 {a n } 由已知：a 〔 = — 1, = 7 ••• 7=— 1 + (5 — 1)d 解出 d = 2 所求数列为：—1 , 1, 3, 5, 7.

1 1

【例3】 在等差数列一5,— 3?，— 2,—

，…的相邻两项之间

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项.

3

3 23

a n 5 (n 1)

n

4

4 4 即a n

=3 23

n

4 4

【例

4】 在［1000 , 2000］内能被

解 设 a n =3n , b m = 4m — 3, n , m € N

令a n = b m ，则 3n = 4m — 3

n = 一3 为使 n 为整数，令 m = 3k ,

3

得n = 4k — 1(k € N)，得｛a n ｝ , ｛b m ｝中相同的项构成的数列｛c n ｝的通项c n = 12n

—3(n € N).

则在［1000 , 2000］内｛c n ｝的项为 84 • 12 — 3, 85 • 12— 3,…，166 • 12— 3

••• n = 166 — 84+ 仁83 二共有 83 个数.

1

解原数列的公差d= 3

2

1 3 2

d =-，期通项为 2 4

3

(-5)=-，所以新数列的公差d

3整除且被 4除余1的整数共有多少个?

【例5】三个数成等差数列，其和为15,其平方和为83,求此三个数.

解设三个数分别为x—d, x, x+ d.

r (x —d) + x+ (x + d) = 15

则

(x —d)2+ x2+ (x + d)2 = 83

解得x= 5, d =± 2

•所求三个数为3、5、7或7、5、3

说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.

【例6】已知a、b、c成等差数列，求证：b+ c, c+ a, a+ b也成等差数列.

证■/ a、b、c成等差数列

• 2b=a + c

•- (b + c) + (a+ b) = a+ 2b + c

=a+ (a+ c) + c

=2(a + c)

• b+ c、c+ a、a+ b成等差数列.

说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b = a+ c的形式去运用；反之，如果求证

a、b、c成等差数列，常改证2b=a + c.本例的意图即在让读者体会这一点.

1 1 1

【例7】若-、一、-成等差数列，且b,求证：a、b、c、不a b c

可能是等差数列.

分析直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法.

证假设a、b、c是等差数列，则2b=a+ c

1 1 1

又•••丄、11成等差数列，

a b c

2 1 1

…，即2ac= b(a+ c).

b a c

• 2ac= b(a+ c)=2b2, b2= ac.

又T a、b、c不为0,

• a、b、c为等比数列，

又• a、b、c为等差数列，

• a、b、c为常数列，与b矛盾，

•假设是错误的.

• a、b、c不可能成等差数列.

【例8】解答下列各题：

(1)已知等差数列{a n} , a n丰0，公差d丰0,求证：

①对任意k € N，关于x的方程

akX2+ 2ak+1 x+ ak+2 = 0 有一公共根；

⑵在△ ABC 中，已知三边a 、b 、c 成等差数列，求证:

B C

cot 、cot 也成等差数列.

2 2

分析与解答

(1)a k x2

+ 2a k+i x + a k+2 = 0 •••

｛a

n ｝为等差数列，••• 2a k+1 = a k + a k+2

二 a

kX 2

+(a

k + a

k+2)x + ak+2

= 0

•(a k x + a k+2)(x + I =0， ak M 0

• x = — 1或 x k = 1 1

a k 2

a k

a k

a k

a k a k 2 2d

d 为不等于零的常数

1

•方程有一公共根—1,数列｛—「｝是等差数列

1 X k

⑵由条件得 2b=a + c

• 4Rs inB = 2Rs inA + 2Rsi nC ， 2sinB = si nA + si nC

B B A +

C AC

…4sin cos = 2sin

cos -

2 2 2 2

B =cos —

2 B A C

• 2sin 2 =cos 丁

分析至此，变形目标需明确，即要证

B A

C 2cot = cot + cot —

2 2

2

I X k 1 a

k 2 a k

••• ｛a n ｝为等差数列,

②若方程的另一根为 X k ，求证数列

｛彳

1

切是等差数列;

A cot —、 2

sin A +C

2