等差数列典型例题

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。

等差数列试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）62．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a _____________.12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

等差数列知识点、例题。

练习数列的概念和性质（一）练习一、定义：按一定次序排成的一列数叫做数列.：1. 从函数的角度看，数列可以是定义域为N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值;2. 如果两个数列的数完全相同而顺序不同，则它们不是相同的数列;3. 在同一个数列中，一个数可以重复出现;4. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项，第2项。

. 二、数列的表示：通项公式：an f(n)1.解析法递推公式：an 1 f(an)一、巩固提高1. 数列1，3，6，10，15，。

的通项an可以等于( ) (A)n2 (n 1) (B)n(n 1)n(n＋1)2(C) (D) n 2n＋2 222. 数列－1，0，－13，0，－25，0，－37，0，。

的通项an可以等于( )nn（－1）1（－1）1(6n 5) (B)(6n 5) (A)22nn（－1）1（－1）1(6n 5) (D) (6n 5) (C)223..巳知数列{an}的首项a1＝1，an 1 2an 1(n 2)，则a5为( )(A) 7 (B)15 (C)30 (D)31 二、能力提升5. 根据数列的前几项，写出数列{an}的一个通项公式: （1）__，，，，，。

; 3__4，，，。

; __（2）2，－6，12，－20，30，。

; （3）一、巩固提高数列的概念和性质（二）练习1.若数列{an}的前n项和Sn 2n 1，则a1与a5的值依次为( )2(A) 2，14 (B)2，18 (C)3，4 (D)3，18 2.若数列{an}的前n项和Sn 4n2 n 2，则该数列的通项公式为( ) (A)an 8n 5 (n N*) (B) an 8n 5(n N*)(n 1) 5(C)an 8n 5(n 2) (D)an *8n 5(n 2,n N)5.已知数列{an}满足a1＝1，当n 2时，恒有a1a2。

等差数列典型例题一、选择题。

1.等差数列a的前n项和为Sn，若a₂=1. a₃=3.1则Sₐ=( )A. 12B.10C.8D.52. 已知(a) 为等差数列。

a₂+a=12则 a₃等于( )A.4B.5C.6D.73.设S是等差数列a的前 n项和，若 S₁=35. 则a=( )A.8B.7C.6D.54.记等差数列a的前n项和为S，若，S₂=4, S₄=20，则该数列的公差d=( )A.7B.6C.3D.25.等差数列{a}中, 已知a1=13,a2+a5=4,a n=33,则n为( )A.48B.49C.50D.516.等差数列{aₙ}中, a₁=1,a₃+a₃=14,其前n项和S,=100,则n=( )A.9B.10C.11D.127.设S₀是等差数列aₙ的前m项和，若a5a3=59则S9S2=()A.1B.-1C.2D.128.已知等差数列{a，}满足a1+a2+a5+⋯+a111=0则有( )A.a₁+aₙₐₓ>0B.α2+α1DC<0C.a₇+a₉₉=0D.a₅₁=519.如果a1,a2,⋯,a n为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )A.a₁a₃>a₄a₃B.aₙa₁<a₄a₅C.a1⃗⃗⃗⃗ +a6⃗⃗⃗⃗ >a4⃗⃗⃗⃗ +a5D.a₁₂₄“a₄₃10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项二、填空题。

11.设数列a的首项a₁ =-7. 且满足aₙ₊₁=aₙ+2(n∈N).则a1+a2+⋯+a p=.12.已知[a₃]为等差数列。

a₃+a₃=22, a₄=7. 则:11= .13.已知数列的通项a=−5n+2则其前n项和为S₁= .三、解答题。

14. 等差数列{aₙ}的前m项和记为 SB.已知aₙ₀=30,a₂₀=50(1)求通项a。

(2)若S=242，求n。

高考数学-等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98．代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有98＝7＋(n －1)·7解得n ＝14答 100以内有14个能被7整除的自然数．【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列．解 设这五个数组成的等差数列为{a n }由已知：a 1＝－1，a 5＝7∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2所求数列为：－1，1，3，5，7．【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间12插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．解 d =312 (5) d =d =34原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为--3212a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-433m得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)．则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ．则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83222⎧⎨⎩ 解得x ＝5，d ＝±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证 ∵a 、b 、c 成等差数列∴2b=a ＋c∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c＝a ＋(a ＋c)＋c＝2(a ＋c)∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列．说明 如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点．【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111a b cc 可能是等差数列．分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证 假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211a b c b a c=+2ac b(a c) ∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ．又∵ a 、b 、c 不为0，∴ a 、b 、c 为等比数列，又∴ a 、b 、c 为等差数列，∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾，∴ 假设是错误的．∴ a 、b 、c 不可能成等差数列．【例8】 解答下列各题：(1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证：①对任意k ∈N ，关于x 的方程a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 11222+x A B C k分析与解答(1)a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0∵{a n }为等差数列，∴2a k+1＝a k ＋a k+2∴a k x 2＋(a k ＋a k+2)x ＋a k+2＝0∴(a k x ＋a k+2)(x ＋1)=0，a k ≠0∴＝－或＝－ x 1x k a a x a a a a a a d k kk k kk k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列，d 为不等于零的常数∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11+x k(2)由条件得 2b=a ＋c∴4RsinB ＝2RsinA ＋2RsinC ，2sinB ＝sinA ＋sinC∴∵＋＋＝π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2A B C sin A +C 2=cos B 22sin B 2=cos A 2--C 分析至此，变形目标需明确，即要证2cot B 2=cot A 2cot C 2＋ 由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222212222222222+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列．cot A 2cot B 2cot C 2【例9】 若正数a 1，a 2，a 3，…a n+1成等差数列，求证：1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明 设该数列的公差为d ，则a 1－a 2=a 2－a 3＝…＝a n －a n+1=－d∴a 1－a n+1=－nd∴－左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =--=--=+=++++a a d a a a a nn a a n n n n 11111111右式 ∴ 原等式成立．【例10】 设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321-- 分析解 d =y x51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n----------21433264 (2)(1)÷，得b b a a 432183--=。

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。

11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。

n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。

1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。

n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。

n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。

数列专题一．等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

2.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是______。

5.如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－37.已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-9.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列，a 1+a 4+….. + a 97 =50，a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ） A.a 19＞0,a 21＜0B.a 20＞0,a 21＜0C.a 19＜0,a 21＞0D.a 19＜0,a 20＞017.等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=18.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

四年级等差数列【专题导引】和、差的变化规律见下表（m ≠0）一个加数（a ） 另一个加数（b ） 和（c ） ±m 不变 ±m 不变 ±m±m ±m m 不变【典型例题】【C 1】两个数相加，一个加数增加3，另一个加数减少3，和是否会起变化？【试一试】1、两个数相加，一个加数增加5，另一个加数减少5，和是否会起变化？2、两个数相加，一个加数减少6，另一个加数增加2，和是否会起变化？【C 2】如果a －b=20，那么a －(b －2)=20+（ ）。

【试一试】1、如果a －b=18，那么（a+2）－b=18+（ ）。

2、如果a －b=18，那么（a －2）－b=18－（ ）。

【B 1】两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否会起变化？【试一试】被减数（a ）减数（b ） 差（c ） ±m 不变 ±m 不变 ±m m ±m±m不变 ＋＋1、两个数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和是否会起变化？2、两个数相加，一个加数增加6，另一个加数也增加6，和是否会起变化？】两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数应有什么变化？【B2【试一试】1、两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数应有什么变化？2、两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加数应有什么变化？【B】两数相减，如果被减数减少2，减数也减少2，差是否会起变化？3【试一试】（1）两数相减，如果被减数增加30，减数也增加30，差是否会起变化？（2）两数相减，如果被减数增加23，减数减少23，差是否会起变化？【A】两数相减，如果被减数增加20，要使差减少16，减数应有什么变化？1【试一试】（1）两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？（2）两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？】被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。

等差数列练习题等差数列练习题（一）：一、选择题1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝()A．45 B．41C．39 D．372．在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d＝()A。

12 B。

13C．－12 D．－13解析：选C。

∵a7＝a1＋(7－1)d＝21＋6d＝18，&there4;d＝－12。

解析：选B。

a6＝a2＋(6－2)d＝5＋4d＝17，解得d＝3。

所以a14＝a2＋(14－2)d＝5＋12&times;3＝41。

3．已知数列{an}对任意的n&isin;N*，点Pn(n，an)都在直线y ＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列解析：选A。

an＝2n＋1，&there4;an＋1－an＝2，应选A。

4．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B。

an＝2＋(n－1)&times;3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)&times;4＝4n－6，令an＝bn得3n－1＝4n－6，&there4;n＝5。

5．下方数列中，是等差数列的有()①4，5，6，7，8，&hellip;②3，0，－3，0，－6，&hellip;③0，0，0，0，&hellip;④110，210，310，410，&hellip;A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C。

利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列．6．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m 和n的等差中项是()A．2 B．3C．6 D．9解析：选B。

由题意得m＋2n＝82m＋n＝10，&there4;m＋n＝6， &there4;m、n的等差中项为3。

数列的典型例题1、等差数列{}n a 中，前三项依次为x x x 1,65,11+，求：105?a = 解：由等差数列中项公式得：511261x x x ⋅=++，则：2x =. 首项为：11113a x ==+，公差为：15151621212d x x =-=-=；则数列通项为：1113(1)31212n n n a a n d -+=+-=+=. 故：1053105391212n a ++===.2、前100个自然数（1到100）中，除以7余2的所有数之和S 是？ 解：这些数构成的数列为：7(1)275n a n n =-+=-；在100之内，n 的最大数m 为：10075m =-，即15m =;这些数之和S 为：151(115)15(75)75157652k S n =+⨯⎡⎤=-=-⨯=⎢⎥⎣⎦∑3、在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S . 若10a >，160S >，170S <，则n S 最大时，?n =解：等差数列通项为：1(1)n a a n d =+-，求和公式为：1(1)2n n n S na d -=+； 则：16116151602S a d ⨯=+>，即：11502a d +>，170a d +>，即：80a >； 17117161702S a d ⨯=+<，即：180a d +<，即：90a <.故n S 最大时，8n =.4、数列{}n a 的通项公式n a =n 项和为9n S =，求：?n =解：通项：n a==则：119nn k S ====∑，于是：99n =5、等差数列{}n a ，其公差不为0，其中，2a 、3a 、6a 依次构成等比数列，求公比?q = 解：等差数列通项：1(1)n a a n d =+-，则：32a a d =+，624a a d =+，构成等比数列，则：2326a a a =，即：2222()(4)a d a a d +=+； 即：222222224a a d d a a d ++=+.因为0d ≠，故：22d a =； 所以：32222233a a d a q a a a +====.6、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且11a =,1133S =. 设14na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T . 证明：通项：1(1)n a a n d =+-，求和公式：1(1)2n n n S na d -=+； 则：11111011332S d ⨯=+=，即：115533d +=，故：25d =.于是：2231(1)55n n a n +=+-=；则：23514n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，2(1)35114n n b +++⎛⎫= ⎪⎝⎭则：2(1)323255511144n n n n b b +++-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故{}n b 是首项为114b =，公比为25114n n b q b +⎛⎫== ⎪⎝⎭,的等比数列，通项为：23514n n b +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()()2n 5221n n 55n 12255111q 1444T b 1q 4144114-⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭==⋅= ⎪-⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭7、若x y ≠，且两个数列：12,,,x a a y 和123,,,,x b b b y 均为等差数列，求：13?a xy b -=- 解：设两个等差数列的公差分别为：1d 和2d ，则:113y x a x d --==,324y xy b d --==. 故：131()4313()4y x a x y b y x --==--8、已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21056n nn S a a =++，且1a 、3a 、15a 成等比数列，求数列{}n a 的通项?n a =解：由已知：2+1+1+11056n n n S a a =++ ①21056n n n S a a =++ ②由①-②：2211110()5()n n n n n a a a a a +++=-+-移项合并：2211()5()0n n n n a a a a ++--+=，即：11()(5)0n n n n a a a a +++--=由于正项数列1()0n n a a ++>，所以：150n n a a +--=，即：15n n a a +-=； 由此得到{}n a 是公差为5的等差数列.设：15(1)n a a n =+-，则：3110a a =+，15170a a =+；由1a 、3a 、15a 成等比数列得：23115a a a =，即：2111(10)(70)a a a +=+； 即：2211112010070a a a a ++=+，故：12a =. 所以：25(1)53n a n n =+-=-9、已知数列{}n a 的前n 项和1(1)(2)3n S n n n =++,试求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和?n T =解：由已知：1111(1)(2)=(1)(24)=(1)(21)(1)3662n S n n n n n n n n n n n =++++++++及：211(1)(21)6nk k n n n ==++∑ 和：11(1)2n k k n n ==+∑得到上面求和公式可分成两部分，一个2n a n =求和，一个n a n =求和. 故：2(1)n a n n n n =+=+. 那么：1111(1)1n a n n n n ==-++；所以：1111()1111nn k nT k k n n ==-=-=+++∑.10、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足3(2)n n S n a =+，求通项?n a = 解：由已知：3(2)n n S n a =+ ①113(1)n n S n a --=+ ②由①－②：13(2)(1)n n n a n a n a -=+-+ ； 移项合并：1(1)(1)n n n a n a --=+，即：111n n n a a n -+=- 由此递推得：()1211112......1121211(1)(1)1122n n n kk n n n n n k a a a a n n n n n k n n n n n n a a k k --++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++=+⋅⋅⋅⋅==+11、如果数列{}n a 中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程23=0nn n x nx c ++(n=1,2,3…)的两个根,当12a =时,试求100?c =解：由韦达定理：13n n a a n ++=- ① 1n n n a a c +⋅= ②由①式可得：121()()3n n n n a a a a ++++-+=-，即：23n n a a +-=- ③ ③式表明：13521,,,...,k a a a a -和2462,,,...,k a a a a 都是公差为-3的等差数列. 又因12a =，代入①式可得：25a =-，于是得到等差数列为：211(1)(3)23353k a a k k k -=+--=-+=-； 22(1)(3)53323k a a k k k =+--=--+=--.那么： 1002350152a =--⨯=-，1015351148a =-⨯=- 代入②式得：100100101(152)(148)22496c a a =⋅=-⨯-=12、有两个无穷的等比数列{}n a 和{}n b ,其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是11n k k S a ∞===∑和12n k k T b ∞===∑,对一切自然数都有：2nn a b =，求这两个数列的首项和公比. 解：由111a S q ==-和121bT r==-得：11a q =-，及12(1)b r =-. 数列的首项 设这两个等比数列的通项公式分别为：111(1)n n n a a q q q --==- ① 1112(1)n n n b b r r r --==- ②将①②两式代入2nn a b =，并采用赋值法，分别令1n =和2n =得： 211a b =，即：2(1)2(1)q r -=- ③222a b =，即：22(1)2(1)q q r r -=- ④由③④得：2r q = ⑤ 将⑤式代入③式得：22(1)2(1)q q -=-因为：1q ≠，则上式化简为：12(1)q q -=+，即：13q =-将13q =-代入⑤式得：19r = 这是这两个数列的公比.将13q =-和19r =分别代入①式和②式得：()1114114(1)413333n nn n n n a q q-+-⎛⎫⎛⎫=-=⋅-=--=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1181162(1)2999n n n n b r r --⎛⎫=-=⨯⨯=⎪⎝⎭13、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，当2n ≥时，满足：120n n n a S S -+=；求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；并求{}n S 的通项公式?n S =解：由120n n n a S S -+=得：1120n n n n S S S S ---+=，即：11120n nS S --+=， 则：1112n n S S --=，11112S a ==. 上式表明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项为2，公差为2的等差数列.则：122(1)2n n n S =+-=，即：12n S n=，112(1)n S n -=-； 于是：111122(1)2(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 故：1(1)21(2)2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩14、已知等比数列{}n a 的首项112a =，且满足：10103020102(21)0S S S -++=. （1）求{}n a 的通项；（2）求{}n nS 的前n 项和n T .解：将3030111q S a q -=-、2020111q S a q -=-、1010111q S a q-=-代入上面等式得：10301020102(1)(21)(1)(1)0q q q --+-+-=化简得：10102010102(1)(21)(1)10q q q ++-+++= 即：101010201010102(1)22(1)(1)10q q q q ++-+-++=整理得：10201020q q -=，即：12q =±则：111111222n n n n a a q--⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭或1111111(1)222n n n n n a a q ---⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭第14题第(2)问解答：(2)A.对于等比数列：12a n n =，其求和公式为：11112112212n S n n -=⋅=--故：1(1)221111n n n n k T kS k k n k k k k k k k ⎛⎫==-=-∑∑∑∑ ⎪⎝⎭==== 1> (1)21n n n k k +=∑=2> 23123 (222)221n n n k nR k k ⎛⎫==++++∑ ⎪⎝⎭= ① 则：231234221 (22222)1n n n knR kk -⎛⎫==+++++∑⎪⎝⎭= ② 由②-①得：22331121324311()()()...()222222222n n n n n n nR ---=+-+-+-++--23112311...22222n n n -=+++++-111222(1)21222212nn n n n n n n -+=-=--=-- 综合1>和2>得：(1)2222211nn n kn n n T k n kk k ⎛⎫++=-=+-∑∑⎪⎝⎭== (2)B.对于等比数列：11(1)2n n n a -=-其求和公式为：11()11111(1)2[1(1)]12333221()2n n n S n n n ---=⋅=⋅--=-⋅-- 故：11[1(1)](1)333221111k k n n n n k k k T kS n kk k k k k k ⎛⎫==⋅--=--∑∑∑∑ ⎪⎝⎭==== 1> (1)361n k n n k +=∑= 2> 2311123(1)...(1)33222221kn n n n k n U kk ⎛⎫⎡⎤=-=-+-++-∑⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭= ③ 则：12111232...(1)31222n n n n U -⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦④由③+④得：1221112132131()()...(1)()(1)32222222n n n n n n n n n U ---⎡⎤=-+---++--+-⎢⎥⎣⎦2111111...(1)(1)32222n n n n n -⎡⎤=-+-++-+-⎢⎥⎣⎦ 21111111...(1)(1)322232n n n n n -⎡⎤=-+-++-+⋅-⎢⎥⎣⎦ (1)1112(1)13321()2nnn n n --=-⋅+⋅---2(1)1[1](1)9232n n n n n -=-⋅-+⋅- 故：2(1)(1)[1]27292n n n n n nU --=-⋅-+⋅ 于是：1(1)2(1)(1)(1)[1]33627292211n n k n n n n k kn n nT nk k k ⎛⎫+--=--=-⋅-+⋅∑∑ ⎪⎝⎭== 15、若等差数列{}2log n x 的第m 项等于k ，第k 项等于m(其中m k ≠)，求数列{}n x 的前m k +项的和。

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13(a 1＋a 13)2＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． ②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？ 解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7， 即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)， 经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列， 故c ＝－12.。

高二数学等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98．代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14答 100以内有14个能被7整除的自然数．【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列．解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7．【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间12插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．解 d =312 (5) d =d =34原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为--3212a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-433m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)．则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ．则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83222⎧⎨⎩ 解得x ＝5，d ＝±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证 ∵a 、b 、c 成等差数列 ∴2b=a ＋c∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c)＋c ＝2(a ＋c)∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列．说明 如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点．【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111a b cc可能是等差数列．分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证 假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211a b cb a c=+2ac b(a c)∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ． 又∵ a 、b 、c 不为0， ∴ a 、b 、c 为等比数列， 又∴ a 、b 、c 为等差数列，∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾， ∴ 假设是错误的．∴ a 、b 、c 不可能成等差数列． 【例8】 解答下列各题：(1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证： ①对任意k ∈N ，关于x 的方程 a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x (2)ABC a b c k {}cot cotcot 11222+x AB Ck 分析与解答(1)a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0∵{a n }为等差数列，∴2a k+1＝a k ＋a k+2 ∴a k x 2＋(a k ＋a k+2)x ＋a k+2＝0 ∴(a k x ＋a k+2)(x ＋1)=0，a k ≠0∴＝－或＝－x 1x k a a x a a a a a a d k kkk kk k k k ++++=-=-=-22211112∵{a n }为等差数列，d 为不等于零的常数∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11+x k(2)由条件得 2b=a ＋c∴4RsinB ＝2RsinA ＋2RsinC ，2sinB ＝sinA ＋sinC∴∵＋＋＝π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2 A B Csin A +C 2=cosB2 2sin B 2=cosA 2--C分析至此，变形目标需明确，即要证2cot B 2=cot A 2cot C2＋由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin(cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A CA C A C A C A CB B B B 222222222212222222222+=+=+=+-+--=--=将条件代入∴、、成等差数列．cot A 2cot B 2cot C2【例9】 若正数a 1，a 2，a 3，…a n+1成等差数列，求证：1111223111a a a a a a na a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a dn n n n n n n n +=--=--++++证明 设该数列的公差为d ，则 a 1－a 2=a 2－a 3＝…＝a n －a n+1=－d ∴a 1－a n+1=－nd∴－左式…d =a =a 11---+--++--+++a na a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311=--=--=+=++++a a d a a a a n na a n n n n 11111111右式∴ 原等式成立．【例10】 设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n----------21433264 (2)(1)÷，得b b a a 432183--=。

第四章 数列[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。

[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。