一、用有限差分法求解二维扩散方程的初边值问题
该问题的精确解为1
()2
(,,)x y t u x y t e
+-=
二、用下列差分格式编程计算，并比较计算速度、精度、稳定性。 1． 古典显式格式：
1,,1,,1,,1,,1
2
2
22n n n n n
n n n
j l j l
j l j l j l
j l j l j l u u u u u u u u h
h
τ
++-+---+-+=
+
2．
交替方向隐式格式（P-R 格式）：
1111
2222
,,1,,1,,1,,1
22
1111
1111
2222,,1,,1,,1,,122
222
222
n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h u u u u u u u u h h ττ+++++-+-+++++++++-+-⎧--+-+⎪=+⎪⎪⎪⎨⎪--+-+⎪=+⎪⎪⎩ 3． 局部一维格式：
1111
2222
,,1,,1,1,,1,221111
11112222
,,,1,,1,1,,122
2211()222
2211()222
n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l
n n n n n n n n j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u h h
u u u u u u u u h h
ττ+++++-+-++++
+++++-+-⎧--+-+⎪=+⎪⎪⎪⎨⎪--+-+⎪=+⎪⎪⎩ 4． 预测-校正格式：
第一步：1111
4444
,,1,,1,2
11111
24222
,,,1,,1222
22
n n n n n j l j l j l j l j l
n n n n n j l j l j l j l j l u u u u u h u u u u u h ττ+++++-++++++-⎧--+⎪=⎪⎪⎪⎨⎪--+⎪=⎪⎪⎩ ，
122
()2221
()2
11
(1)2211
(1)223,(0,1,01)
2(,,0)(0,1)(0,,),(1,,)(01,01)
(,0,),(,1,)(01,01)x y t x y y t y t x t x t u u u e x y t t x y u x y e x y u y t e u y t e y t u x t e u x t e x t +-+-+--+-⎧∂∂∂⎪-+=-<<<≤⎪∂∂∂⎪⎪=<<⎨⎪⎪==≤≤≤≤⎪⎪==≤≤≤≤⎩
第二步：
111111 1222222
,,1,,1,,1,,1
22
22
n n n n n n
n n
j l j l j l j l j l j l j l j l u u u u u u u u
h h
τ
++++++ +
+-+---+-+
=+
三、上机报告要求
1.简述方法的基本原理。
2.程序中要加注释。
3.对程序中的主要变量给出说明。
4.附原程序及计算结果，打印t=2.5时计算结果及准确解之值。
5.对各种算法作比较，对计算结果作简单分析，谈谈编程上机的体会。
