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2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=
（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}
（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}
（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）(–∞，1)
（B）(–∞，–1)
（C）(1，+∞)
（D）(–1，+∞)
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）2
（B）3 2
（C ）53
（D ）85
（4）若x ，y 满足
，则x + 2y 的最大值为
（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9
（5）已知函数1(x)33x
x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则(x)f
（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数
（D ）是偶函数，且在R 上是减函数
（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为
，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约
为
.则下列各数中与
M
N
最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线2
2
1y x m
-=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则
2
2
a b =__________. （11）在极坐标系中，点A 在圆2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .
（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。
若1sin 3
α=
，
cos()αβ-= .
（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________.
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3。
①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________。
②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________。
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分） 在△ABC 中，A ∠ =60°，c =3
7
a . （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积. （16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.
(I)求证：M 为PB 的中点； (II)求二面角B-PD-A 的大小；
(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。
一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,
1
2
)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x −x .
（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,
2
π
]上的最大值和最小值.
（20）（本小题13分）
设{a n }和{b n }是两个等差数列，记
c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，
其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．
2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析
1．A
【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x ，故选A ． 2．B
【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ，对应的点在第二象限，∴10
10+<⎧⎨->⎩
a a 解得：1<-a
故选B ．
3．C
【解析】当0=k 时，3<k 成立，进入循环，此时1=k ，2=s ；
当1=k 时，3<k 成立，继续循环，此时2=k ，32=
s ； 当2=k 时，3<k 成立，继续循环，此时3=k ，5
3
=s ；
当3=k 时，3<k 不成立，循环结束，输出s ． 故选C ．
4．D
【解析】设2=+z x y ，则122
=-+z
y x ，由下图可行域分析可知，在()33，处取得最大值，代入可得max 9=z ，
故选D ．
5．A
【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R ，关于原点对称，
由()()113333--⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
x
x
x
x f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=x
y 是R 上的增函数，函数13⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x
y 是R 上的减函数，根据单调性的运算，增函数
减去减函数所得新函数是增函数，即()1=33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
x
x
f x 是R 上的增函数．综上选A
6．A
【解析】由于m ，n 是非零向量，“存在负数λ，使得λ=m n ．”根据向量共线基本定理可知m 与n 共线，
由于0λ<，所以m 与n 方向相反，从而有0⋅<m n ，所以是充分条件。
反之，若0⋅<m n ，m 与n 方向相反或夹角为钝角时，m 与n 可能不共线，所以不是必要条件。
综上所述，可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件，所以选A ．
7．B
【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ，
所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ．
8．D
【解析】由于36180lg
lg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=M
M N N
=≈， 所以
93.2810M
N
≈，故选D ． 9．2
【解析】∵双曲线的离心率为3
∴
3=c
a
∴223=c a
∵1=a ，=b m ，222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a
10．1
【解析】∵{}n a 是等差数列，11=-a ，48=a ，
∴公差3=d ∴212=+=a a d
∵{}n b 为等比数列，11=-b ，48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故
2
2
1=a b 11．1
【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y ，化简为
22(1)(2)1x y -+-=，它是以()1,2为圆心，1为半径的圆。
画出图形，连结圆心O 与点P ，交圆于点A ，此时AP 取最小值，A 点坐标为()1,1，1=AP ．
）
3
7 =
c a
由正弦定理得：
）
3
7
=<
c a
∴∠<∠
C
∴∠C为锐角
由sin=
C
sin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+
sin cos cos sin A C A C =+
313133
214214=⨯+⨯
43
7
=
又33
7377==⨯=c a
1
sin 2
ABC S ac B ∆∴=
143
7327
=
⨯⨯⨯
63=
16．
【解析】（1）取AC 、BD 交点为N ，连结MN ．
∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD
面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥
在PBD △中，N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：
取AD 中点为O ，BC 中点为E ，连结OP ，OE ∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD
以OD 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标
可知()200D ，，，()200A -，，，()240B -，，，()
002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m =，
， 且()202PD =-，，，()
242PB =--，， 设面PBD 的法向量为()n x y z =，， 220
2420
x z x y z ⎧-=⎪⎨
-+-=⎪⎩ 可知()
112n =，，
1m n <>=
，由图可知二面角的平面角为锐角∴二面角B PD A --方法二：
作AH PD ⊥，交3MC ⎛= ⎝，由（2）题面(11n =，
，MC 与平面2321412
MC n +-<>=
+
⋅，BD F =，取AB 中点中点G ，连MG ，易证点∵平面PAD ⊥平面ABCD ，⊥平面ABCD MG ⊥平面ABCD GC ，GC =
设直线()1
02
=+
≠：MN y kx k 联立212⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩
y kx y x
有()221
104+-+=k x k x ， 考虑()2
2114124∆=--⨯⨯=-k k k ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以12
<k ．
由韦达定理可知：1221-+=k
x x k
……①， 12214=x x k ……②
21
21
21122112
11
2222+=+=++
++=
+=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x 将①②代入上式，有
()21212
2
12222121224-++=+=+-=⨯k
x x k k k k k x x k
即22+=+==ON OM OB OM OA k k k k k ，所以2=+A B M y y y 恒成立 ∴A 为BM 中点，得证．
法二：
当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零．
设10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为点，过Q 的直线MN 方程为()102=+≠y kx k ，设1122(,),(,)M x y N x y ，显然，12,x x 均
不为零．
联立方程21
2⎧=⎪⎨=+⎪
⎩
y x y kx 得22
1(1)04+-+=k x k x ， 考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以1
2
<k ． 由韦达定理可知：1221-+=
k
x x k
……①， ……②
由题可得,A B 横坐标相等且同为1x ，且2
2
:=
ON y l y x x ，B 在直线ON 上， 又A 在直线OP ：=y x 上，所以121112(,),,⎛⎫
⎪⎝
⎭x y A x x B x x ，若要证明A 为BM 中点，
只需证2=+A B M y y y ，即证
12
112
2+=x y y x x ，即证1221122+=x y x y x x ， 将11221212⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
y kx y kx 代入上式，
即证21121211
()()222
+++=kx x kx x x x ，即12121(22)()02-++=k x x x x ，
将①②代入得22
11(22)
042k
k k k --+=，化简有恒成立， 所以2=+A B M y y y 恒成立， 所以A 为BM 中点．
19．
【解析】（1）∵()e cos =-x f x x x
∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--x x x f f x x x x x ∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f
∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x ，即10y -=． （2）令()()e (cos sin )1'==--x g x f x x x
()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x
∵π02x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，时，()2e sin 0'=-<x g x x
∴()g x 在π02⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减
∴π02x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，时，()(0)(0)0g x g f '<==，即()0'<f x
∴()f x 在π02⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，上单调递减
∴0=x 时，()f x 有最大值(0)1=f ；
π
2
=x 时，()f x 有最小值
2ππππe cos 2222π
⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
f ．
20．
【解析】（1）易知11=a ，22=a ，33=a 且11=b ，23=b ，35=b ．
∴1110=-=c b a ，
{}{}21122max 22max 111=--=--=-，，c b a b a ，
{}{}3112233max 333max 2342=---=---=-，，，，c b a b a b a ．
下面我们证明，对*∀∈N n 且2n ≥，都有11=-⋅n c b a n ． 当*∈N k 且2k n ≤≤时，
()()11-⋅--⋅k k b a n b a n
()211⎡⎤=---+⎣⎦k nk n ()()221=---k n k ()()12=--k n
∵10->k 且20-n ≤，
∴()()11110-⋅--⋅⇒-⋅-⋅k k k k b a n b a n b a n b a n ≤≥．
因此，对*∀∈N n 且2n ≥，111=-⋅=-n c b a n n ，则11+-=-n n c c ． 又∵211-=-c c ，
故11+-=-n n c c 对*∀∈N n 均成立，从而{}n c 为等差数列．
（2）设数列{}n a 与{}n b 的公差分别为a d ，b d ，下面我们考虑n c 的取值．
对11-⋅b a n ，22-⋅b a n ，…，n n b a n -⋅， 考虑其中任意项-⋅i i b a n （*∈N i 且1i n ≤≤）， -⋅i i b a n
()()1111b a b i d a i d n =+--+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅
下面我们分0=a d ，0>a d ，0<a d 三种情况进行讨论． （1）若0=a d ，则()()111-⋅=-⋅+-⋅i i b b a n b a n i d ①若0b d ≤，则()()()1110-⋅--⋅=-⋅i i b b a n b a n i d ≤ 则对于给定的正整数n 而言，11=-⋅n c b a n
此时11+-=-n n c c a ，故{}n c 为等差数列．
②若0>b d ，则()()()0-⋅--⋅=-⋅i i n n b b a n b a n i n d ≤ 则对于给定的正整数n 而言，1=-⋅=-⋅n n n n c b a n b a n ． 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 为等差数列．
此时取1=m ，则123，
，，c c c 是等差数列，命题成立． （2）若0>a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数． 故必存在*∈N m ，使得当n m ≥时，0-⋅+<a b d n d
则当n m ≥时，()()()()1110-⋅--⋅=--⋅+i i a b b a n b a n i d n d ≤（*∈N i ，1i n ≤≤）． 因此，当n m ≥时，11=-⋅n c b a n ．
此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．
（3）若0<a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数． 故必存在*∈N s ，使得当n s ≥时，0-⋅+>a b d n d
则当n s ≥时，()()()()0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+≤（*∈N i ，1i n ≤≤） 因此，当n s ≥时，=-⋅n n n c b a n ． 此时
n
c n -⋅=n n b a n n
=-+n n b
a n
()11-=-⋅+-++
b
a a
b b d d n d a d n
令0-=>a d A ，1-+=a b d a d B ，1-=b b d C 下面证明
=++n c C
An B n n 对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，>n c M n
． ①若0C ≥，则取1⎡⎤
-=+⎢⎥⎣⎦M B m A （[]x 表示不大于x 的最大整数）
当n m ≥时，
1n M B c An B Am B A B n A ⎛⎫⎡-⎤++=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣
⎦⎝⎭≥≥->⋅+=M B
A B M A ， 此时命题成立．
②若0<C ，则取1M C B m A ⎡--⎤
=+⎢
⎥⎣
⎦
当n m ≥时，
--++++>⋅++--++=n
M C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A ≥≥≥． 此时命题也成立．
因此，对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，>n
c M n
． 综合以上三种情况，命题得证．。
