均值定理 如果,,R b a ∈那么
ab b a ≥+2
。 当且仅当b a =时，等号成立。
证明：
算术平均数：
几何平均数：
均值定理可以表述为：
【思考与讨论】
均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？请对此进行讨论。
下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深同学们对均值不等式的理解。 我们可以令正实数b a ,为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为
2
b a +和ab 的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
⑴作线段b a AB +=，使;,b DB a AD ==
⑵以AB 为直径作半圆O;
⑶过D 点作CD ⊥AB 于D ，交半圆于点C ； ⑷连接AC,BC,OC,则2
b a CO +=
。 例1已知,0>ab 求证：2≥+b a a b ，并推导出式中等号成立的条件。
例2（1）一个矩形的面积为1002
m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m 。问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
由例2的求解过程，可以总结出以下规律：
例3求函数())0(322>-+-=x x
x x x f 的最大值，以及此时x 的值。
巩固检测
1、若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．
2、已知x>1.5，则函数y ＝2x+3
24-x 的最小值是_________．
高二数学 必修五 NO 使用时间： 班级： 组别：
课题：均值不等式二学案
1．掌握均值定理的内容，特别是等号成立的条件；
2．进一步理解均值定理的内容及几何意义，灵活运用均值定理去解决实际简单的最值问题。
⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．
⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a （ ） （3）a b ＋b a （ ） （4）x ＋x
1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证
a 1 +
b 1+c
1≥9．
例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+5
41-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y
9＝1，求x ＋y 的最小值。 （3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
一．选择题：
⒈下列命题正确的是（ ）
Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．ab
b a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值 ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b
1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 ⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋b
a ≥2 Ｂ．a 2+
b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+b
a +2 ⒋设a 、
b ∈R ＋，若a+b=2，则b
a 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）
Ａ．a 2+b 2
≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab
