第9讲 光学谐振腔-稳定性

1. 共轴球面腔的稳定性条件稳定腔：矩阵元素 g 因子 非稳腔：矩阵元素 g 因子 临界腔：矩阵元素 g 因子1. 试求平凹共轴球面腔的稳定性条件。

解：平凹共轴球面镜，即R 1=∞，R 2>0因此， ，根据稳定性条件 ，知 得 2R L >2. 试求双凹共轴球面腔的稳定性条件。

解：双凹共轴球面镜，即R 1>0，R 2>0因此， 根据稳定性条件 ，知 得 或 3. 试求凹凸共轴球面镜。

解：R 1>0，R 2<0 因此， >0根据稳定性条件 ，知2. g 因子图以g 1为横坐标，g 2为纵坐标，分析谐振腔的稳定性。

1201g g <<()112A D +>121g g >120g g <()1 12A D +=121g g =120g g =1111L g R =-=221L g R =-1201g g <<2011L R <-<221L g R =-1201g g <<111L g R =-120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12R L R L >⎧⎨>⎩121200R L R LR R L <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩111L g R =-221L g R =-1201g g <<120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112R L R R L >⎧⎨+<⎩()1 12A D +<以 为双曲线， 为坐标轴它们是稳定腔和非稳定腔的分界线。

稳定腔大致分为四类，图上用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标出。

1）对称腔（共焦腔、共心腔）在坐标系上，直线线段BOA 代表第一类腔(Ⅰ)---对称腔。

特点：g1=g2，所以R1=R2=R ；线段OA 代表L≤R<∞；线段OB 则代表L/2≤R≤L ；坐标原点O 则代表R 1=R 2=L ，即共焦腔；A 点代表R 1=R 2→∞，即平行平面腔；B 点代表R 1=R 2=L/2，即共心腔。

光学谐振腔的分类之一腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低：稳定腔、非稳腔、临界腔。

稳定腔：腔内傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔。

非稳腔：腔内光线经过有限次往返传播后逸出腔外的谐振腔。

临界腔：能够保证截面平行于反射镜面的光束在反射镜间传播不逸出。

什么样几何形状的谐振腔？共轴球面腔的三个参数：腔镜的曲率半径R 1、R 2、腔长L 需要满足什么样的条件呢？本节讨论光学谐振腔的稳定性条件。

1.共轴球面谐振腔的稳定性条件光线在球面谐振腔内往返n 次的光学变换矩阵：=往返n 次后光线的空间位置坐标与方向坐标：如果在无论n 取多大值、任何值的情况下，An 、Bn 、Cn 和Dn 都是在一定范围内的有限值，那么 和 就是有限值，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返任意次、无限次而不会从侧面逸出。

从M n 的表达式中可以看出，角度 的大小对矩阵中的四个元素An 、Bn 、Cn 和Dn 起着决定性的作用。

和 取值大小，反映的是光线偏离光轴能力的大小，即造成激光几何损耗的大小。

下面我们就分三种情况对 角的取值加以讨论，并希望能从中寻找出谐振腔的稳定性条件。

n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭ϕn r n θn r n θ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=+-=-=-=1212121222)21)(21()11(24)1(221R L R L R L D R R R R L C R L L B R L A讨论 的取值情况：1） 为实数且不等于往返n 次的变换矩阵：=谐振腔的稳定性条件： 或二者等价。

)(21arccos D A +=ϕ221LA R =-{121222(1)(1)L L LD R R R =---121L LA 2(1)(1)12R R =---（＋D ）ϕϕk π121<+D A 12L L 0(1)(1)1R R <--<1122Lg 1R L g 1R ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝1201g g <<n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭121<+D A 1201g g <<、 均为有限值，随n 做周期性变化，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返无限次而不会从侧面逸出。

光学谐振腔的分类之一腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低：稳定腔、非稳腔、临界腔。

稳定腔：腔内傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔。

非稳腔：腔内光线经过有限次往返传播后逸出腔外的谐振腔。

临界腔：能够保证截面平行于反射镜面的光束在反射镜间传播不逸出。

什么样几何形状的谐振腔？共轴球面腔的三个参数：腔镜的曲率半径R 1、R 2、腔长L 需要满足什么样的条件呢？本节讨论光学谐振腔的稳定性条件。

1.共轴球面谐振腔的稳定性条件光线在球面谐振腔内往返n 次的光学变换矩阵：=往返n 次后光线的空间位置坐标与方向坐标：如果在无论n 取多大值、任何值的情况下，An 、Bn 、Cn 和Dn 都是在一定范围内的有限值，那么 和 就是有限值，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返任意次、无限次而不会从侧面逸出。

从M n 的表达式中可以看出，角度 的大小对矩阵中的四个元素An 、Bn 、Cn 和Dn 起着决定性的作用。

和 取值大小，反映的是光线偏离光轴能力的大小，即造成激光几何损耗的大小。

下面我们就分三种情况对 角的取值加以讨论，并希望能从中寻找出谐振腔的稳定性条件。

n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭ϕn r n θn r n θ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=+-=-=-=1212121222)21)(21()11(24)1(221R L R L R L D R R R R L C R L L B R L A讨论 的取值情况：1） 为实数且不等于往返n 次的变换矩阵：=谐振腔的稳定性条件： 或二者等价。

)(21arccos D A +=ϕ221LA R =-{121222(1)(1)L L LD R R R =---121L LA 2(1)(1)12R R =---（＋D ）ϕϕk π121<+D A 12L L 0(1)(1)1R R <--<1122Lg 1R L g 1R ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝1201g g <<n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭121<+D A 1201g g <<、 均为有限值，随n 做周期性变化，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返无限次而不会从侧面逸出。

光学谐振腔结构与稳定性光学谐振腔是一种可以在其中产生共振的封闭结构，由高反射率的反射镜和一定长度和折射率的介质构成。

它是光学系统中的重要组成部分，广泛应用于激光器、光纤通信、光学传感等领域。

光学谐振腔的结构和稳定性对其性能产生重要影响。

光学谐振腔的结构一般由两个平行的反射镜组成，其中一个反射镜具有极高的反射率，另一个反射镜具有较低的反射率。

光线在腔内反复来回弥散，与介质相互作用，形成光学谐振。

谐振频率由腔长和光速共同决定，可以通过调整腔长来控制谐振频率。

常见的光学谐振腔结构有法布里-珀罗腔、平面-球面腔、球面-球面腔等。

光学谐振腔的稳定性是指腔内光线的轨迹是否稳定。

稳定性是光学谐振腔设计中需要考虑的重要因素。

一般来说，光学谐振腔的稳定性可以通过判断光线的角度是否稳定来衡量。

光线入射角度越大，腔内光线的轨迹越不稳定。

稳定性可以通过谐振腔的G参数来描述，G参数越大，稳定性越好。

光学谐振腔的稳定性可以通过计算腔的焦点位置来判断。

焦点位置的稳定性决定着光线的稳定性。

一般来说，平面-平面腔的焦点位置是固定的，稳定性较好。

而法布里-珀罗腔的焦点位置随着角度的变化而变化，稳定性较差。

对于具有较高稳定性要求的应用，如激光系统，常常选择平面-平面腔结构。

光学谐振腔的稳定性还受到腔内损耗的影响。

腔内的损耗会削弱光线的强度，导致光线很快耗散。

因此，减小腔内损耗是提高光学谐振腔稳定性的关键。

常见的降低损耗的方法有选择合适的腔内材料、控制腔内的散射和吸收等。

除了结构和损耗，光学谐振腔的稳定性还与激射源的位置和腔长有关。

激射源的位置决定了光线反射的次数，从而影响光线在腔内来回弥散的次数。

腔长的选择可以通过调整光线在腔内的弥散次数来控制，从而影响谐振频率和稳定性。

总之，光学谐振腔的结构和稳定性是该系统性能的关键因素。

合理设计和优化光学谐振腔的结构，降低腔内的损耗，调整激射源的位置和腔长，可以显著提高光学谐振腔的性能和稳定性，在各种光学应用中发挥重要作用。