2020届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)(一)
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【高仿咫卷•理科数学 笫1页(共4页)】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项:L 本卷满分150分,考试时间120分钟.答题前,先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答:每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬:先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后,请将本试四卷和答题于一并上交,一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女,长女五日一归,中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家,小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会?:三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列{。
2020 年高考第三模拟考试数学(理)试题(全国新课标 1 卷)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A {1,2,4} , B {x|x2 4x m 0},若A B {1} ,则BA .1, 3 B.1,0 C.1,3 D.1,52.设复数z1, z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1 3 i ,则z1z2A.10 B.9 i C.9 i D.-103.已知向量a (2,3),b (x,4) ,若a (a b),则x1A .B.1 C.2 D. 324.设等差数列{a n} 的前n项和为S n,若a3 a6 23,S5 35,则{a n}的公差为A.2 B.3 C .6 D.95.已知m,n是空间中两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若m ,n , // ,则m//n B.若m , // ,则m//C. 若n , ,则n//D.若m ,n ,l ,且m l,n l ,则6.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》,《茶馆》,《天籁》,《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是A.《雷雨》只能在周二上演 B .《茶馆》可能在周二或周四上演C.周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D .四部话剧都有可能在周二上演27.函数 f (x) ( x 1) cosx (其中 e 为自然对数的底数)图象的大致形状是 1e、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.8.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用, 0.618就是黄金分割比 m 5 1 的近似值,黄金分割比还可以表2示成 2sin18 ,则 m 4 m2cos 2 27 1A .4B . 5 1C . 2D . 5 19.已知 x, y 满足约束条件 xy20x y 2 0 ,若目标函数 z 2x y 的最大值为 ym03,则实数 m 的值为A .-1B . 0C .1D .210.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形, 侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体外接 球的表面积为1920 A .B. 8 C . 9 D .3311.已知函数2x 2 2 5f (x) 2sin xcos 2() sin 2 x( 0) 在区间 [ , ] 上是增函数,且在 2 4 3 6区间 [0, ]上恰好取得一次最大值,则 的范围是3 1 3 1 3A . (0,35]B .[12,35]C .[12,34] D1,5 2,212.若 x, a, b 均为任意实数,且 (a 2)2 (b 3)2 1,则(x a)2 (ln x b) 2的最小值为A .3 2B .18C .3 2 1 D .19 6 24513. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 cosA 4,cosB 5 ,a 1,5 13则 b __________ .14.已知函数 f (x) ln(x x 2 1) 1,若 f (a) 2,则 f( a) ______________________ .15.已知函数 f(n) n 2 cos(n ),且 a n f(n) f(n 1),则 a 1 a 2 ... a 20 _____________________________________ . 16.已知四边形 ABCD 为矩形, AB=2AD=4, M 为 AB 的中点,将 ADM 沿 DM 折起,得到四棱锥A 1 DMBC ,设 A 1C 的中点为 N ,在翻折过程中,得到如下三个命题:① BN //平面A 1DM ,且 BN 的长度为定值 5 ; ②三棱锥 N DMC 的体积最大值为 2 2 ;3③在翻折过程中,存在某个位置,使得 DM A 1C 其中正确命题的序号为 __________ .三、解答题:共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤第 22、23 题为选考题 (一)必考题:共 60 分17. (12 分)18. (12 分)已知数列 {a n }满足 a 1 2,nS n 1 (n 1)S n 2n(n 1). (1)证明数列 { S n }是等差数列,并求出数列 {a n } 的通项公式; n2)设 b n a 2 a 4 a 8a 2n ,求b n .. 第 17~ 21 题为必考题,已知函数 f (x) Asin ( x ) , x R , 3 所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 点 P 的坐标为 (1,A) . (1) 求 f (x)的最小正周期及的值;2( 2)若点 R 的坐标为 (1,0) , PRQ ,3yPO 求 A 的值.RQxA 0,0 2 . y f(x)的部分图像,如图19.(12 分)如图,菱形ABCD的边长为12,BAD 60 ,AC与BD交于O点.将菱形ABCD沿对角线AC 折起,得到三棱锥B ACD ,点M 是棱BC的中点,DM 6 2.(1)求证:平面ODM ⊥平面ABC ;(2)求二面角M AD C 的余弦值.20.(12 分)如图,在四棱锥S ABCD中,侧棱SA 底面ABCD ,底面ABCD是直角梯形,AD∥ BC,AB AD,且SA AB BC 2,AD 1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM ∥平面SCD ;(2)求平面SCD 与平面SAB所成锐二面角的余弦值;(3)设点N 是线段CD上的动点,MN 与平面SAB所成的角为,求sin 的最大值.21.(12 分)已知函数f (x) xe x a(x 1)2(a R)(1)讨论 f (x)的单调性;(2)若 f (x)有两个零点,求 a 的取值范围(二)选考题:共10 分。
a为.y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两分部.共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为.2 + iA .- 1B .1C .- 2D .4 2. 在等差数列 { }中, a + a = 16, a = 1 ,则 a 的值是. n5739A .15B .30C . - 31D .643.给出下列命题:① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线,则α ⊥ β ; ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ,则 α // β ; ③ 若平面 α 垂直于平面 β ,直线 l 在平面内 α ,则 l ⊥ β ; ④ 若平面 α 平行于平面 β ,直线 l 在平面内 α ,则 l // β .其中正确命题的个数是.A .4B .3C .2D .14.已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ,则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5.定义集合 M 与 N 的运算: M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ,⎪4C . π - αD . 3π - α4 B . α +π则 (M * N ) * M = A . M I NB . M Y NC . MD . N6.已知 cos(α + π ) = 1 ,其中 α ∈ (0, π ) ,则 sin α 的值为.432A . 4 - 2B . 4 + 2C . 2 2 - 1D . 2 2 - 166 6 37.已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D , 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ,则三角形 ABC 一定是.A .直角或等腰三角形B .等腰三角形C .等腰三角形但不一定是直角三角形D .直角三角形但不一定是等腰三角形8.直线: x + y + 1 = 0 与直线: x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为.A . α - π4 49.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3,则 a 的取值范围是.a - 3A . (-∞,-2) Y (0,3)B . (-2,0) Y (3,+∞)C . (-∞,-2) Y (0,+∞)D . (-∞,0) Y (3,+∞)10. 若 log x = log x = log 21a2a系为.(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ,则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A . x < x < x32 1D . x < x < x231B . x < x < x2 13C . x < x < x1 3211. 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点,F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点,则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是.1 2A . y = -3B . y = 3C . x 2 + y 2 = 5D . y = 3x 2 - 212. 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上,它的三条侧棱两两垂直,若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍,则这三条侧棱长之和的最大值为.A .3B . 4 3C . 2 105D . 2 21555第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)二、填空题:本大题共四小题,每小题4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 .设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续,则实数 a, b 的值分别⎩为.14.以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点,左准线为准线的抛物线方程 5 4为.15.如图,路灯距地面 8m ,一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走,人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min .16.在直三棱柱 ABC - A B C 中,有下列三个条件:1 1 1① A B ⊥ AC ;② A B ⊥ B C ;③ B C = A C .11111 11 1以其中的两个为条件,其余一个为结论,可以构成的真命题是(填上所有成立的真命题,用条件的序号表示即可).三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值;(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换,可以得到y=sin x,x∈R的图像?18.(本小题满分12分)已知数列{a}的首项a=2,且2a=a+1(n∈N*).n1n+1n(Ⅰ)设b=na,求数列{b}的前n项和T;n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n.(已知n+1nlg2=0.3010)19.(本小题满分12分)甲、乙两人进行投篮比赛,每人投三次,规定:投中次数多者获胜,投中次数相同则成平局.若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1,且两人每次投篮是否命中是相互独立的.32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率;P(Ⅱ)求甲获胜的概率.D C 20.(本小题满分12分)A B如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2,侧面∆APD为等边三角形,且平面APD⊥平面ABCD.(Ⅰ)若M为PC上一动点,当M在何位置时,PC⊥平面MDB,并证明之;(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离;(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心,求二面角G-BD-C的大小.21.(本小题满分12分)y M B 1A 1o A2xB2如图,已知 A 1、A 2 为双曲线 C : x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点,过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线,交双 曲线于另一点 B 2,直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M . (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程;(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点,且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1),1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4, 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值?说明理由.22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值,且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行.(Ⅰ)求实数 a 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数 a ,使得函数 f ( x ) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)设 a = 1 , f ( x ) 的导数为 f '( x ) ,令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ,2 x求证:g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) .x n=3sin2x-………………………………………(2=sin(2x-)-…………………………………………(46)有最大值1.此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题:DABCD ADAAD BC二、填空题:13.a=2,b=3;14.y2=12(x+2);15.21;16.①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.三、解答题:17.(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分)π162分)当2x-π=2kπ+π,(k∈Z),即x=kπ+π,(k∈Z)时,623sin(2x-π1.……(6分)2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换:62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度,得到622函数y=sin(2x-π6)的图像;…………………………………………(8分)②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x-π)6的图像;…………………………………………(10分)③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度,就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像.…………………………………………(12 分)(注:如考生按向量进行变换,或改变变换顺序,只要正确,可给相应分数)18.(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项,公比为 1 的等比数列. n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………(4分)从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n .n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) . ………………(8 分)2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得: n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30. ………………………………(12 分)19.(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率:n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………(1 分) 27甲、 乙各投中两次的概率:23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………( 2 61 ,…………………………( 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………( 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分)甲、 乙各投中一次的概率:⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分)甲、 乙两人均投三次,三次都不中的概率:⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………(4 216分)∴甲、乙平局的概率是: 1 + 1 + 1 + 1 = 7 . ……………27 6 12 216 24(6 分)(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率:⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27(8 分)甲投中两球获胜的概率:⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分)甲投中一球获胜的概率:3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)(10 分)甲获胜的概率为: 7 + 2 + 1 = 55 .………………………27 9 36 108(12 分)20.(Ⅰ) 当 M 在中点时,PC ⊥ 平面 MDB ………………………………(1 分)连结 BM 、DM ,取 AD 的中点 N ,连结 PN 、NB . ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD , ∴ PN ⊥ 面 ABCD . 在 Rt ∆PNB 中, PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 . ∴ BM ⊥ PC……………………………………(3分)又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ,∴ PC ⊥ 面 MDB . ……………………(4分)(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC , AB ⊄ 面 PDC ,∴ AB // 面 PDC .∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离. ………………(6 分)Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ,又 DC ⊂ 面 PDC ,∴面 P AD ⊥ 面 PDC .作 AE ⊥ PD ,AE 就是 A 到面 PDC 的距离,∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 .………………(8 分)(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ,连结 CF .Θ PC ⊥ 面 MBD ,∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角. ………………(10分)在 ∆BDC 中, BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 . CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 .4……………(12分)21.(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ,由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ,1212则直线 A 1B 1 的方程为: y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为: - y = x - a ………②…………(2y x - a0 0分)x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线,………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay . ⎪ 0 x………………………………( 4分)a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上,所以有 x 2 - x 2 = 1 ,1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ,a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1( x ≠ 0 且 y ≠ 0 ).……a 2b 2(6 分)(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值.设 P ( x , y ) ,则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ,1 1 1分)则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ,则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………(82 234 2设 O 为原点,则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ .1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212(10 分)∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得,k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0.………………………………(12 分)另解:由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ,1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得,k 1+k 2+k 3+k 4 = 022.(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………(2 分)∵ f ( x ) 有极值,∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根.∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得, a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 .故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………(4 分)(Ⅱ)存在 a = - 8 ,………………………………………(5 分)3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ,令 f '( x ) = 0 ,∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )+ - +单调增 极大值 单调减 极小值 单调增(7 分)(8 分)∴ x = x 时, f ( x ) 取极小值, ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 , 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ,即 - a + a 2 + 2a = 0 ,则 a = 0 (舍) ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ,又 f '( x ) = 0 ,∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 , 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31.…………(9 分)(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) .…………………………………( 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分)g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 .…………………………………(13 分)∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………( 14x n分)。
2020年高考全国1卷数学(理科)模拟试卷考试时间:120分钟 满分150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是( )①相关系数r r ,值越小,变量之间的相关性越强;②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”; ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件;④若回归直线的斜率估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A .4 B .2 C.3 D .12、已知集合{}|12A x x =-<,12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,则A B =IA .{}|04x x <<B .{}|22x x -<<C .{}|02x x <<D .{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量,则“存在实数λ,使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ,顶点C 在第一象限,若点()y x ,在ABC ∆的内部,则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中,()i f x '为()i f x 的导函数,若0()sin f x x =,则输出的结果是A .sin xB .cos xC .sin x -D .cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数,且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A .6π B .3π C .34π D .67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足121a a ==,21n n S a +=-,则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形,A是两曲线在第一象限的交点,以原点O 为圆心,OA 为半径作圆,取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ,在2C 内随机选取m 个点,落在1C 内的点有n 个,则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222>b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点,当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起,顶点B 移动至B 处,在以点B ',A ,C ,为顶点的四面体AB 'CD 中,棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ,若AC =6,且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部,则线段EF 长度的取值范围为( )A .14232⎛ ⎝ B .144⎫⎪⎪⎝⎭C .3,23D .)3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同,则a 的取值范围为( )A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年高考新课标数学(理科)模拟试题(全国卷1)考试时间:120分钟 满分150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是( )①相关系数r r ,值越小,变量之间的相关性越强;②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”;③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件;④若回归直线的斜率估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A .4 B .2 C.3 D .12、已知集合{}|12A x x =-<,12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,则AB =A .{}|04x x <<B .{}|22x x -<<C .{}|02x x <<D .{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量,则“存在实数λ,使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ,顶点C 在第一象限,若点()y x ,在ABC ∆的内部,则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中,()i f x '为()i f x 的导函数,若0()sin f x x =,则输出的结果是A .sin xB .cos xC .sin x -D .cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数,且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A .6π B .3π C .34π D .67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足121a a ==,21n n S a +=-,则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形,A 是两曲线在第一象限的交点,以原点O 为圆心,OA 为半径作圆,取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ,在2C 内随机选取m 个点,落在1C 内的点有n 个,则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222>b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点,当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起,顶点B 移动至B 处,在以点B ',A ,C ,为顶点的四面体AB 'CD 中,棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ,若AC =6,且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部,则线段EF 长度的取值范围为( )A .14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B .14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C .()3,23D .()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同,则a 的取值范围为( ) A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
号场考号证考准密不订装只名姓级班卷此绝密★启用前2020年高考模拟试题(一)理科数学时间:120分钟分值:150分注意事项:1、本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第n卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题共60分)、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的•1.已知a , b都是实数,那么2a2b”是“aA .充分不必要条件B.必要不充分条件条件2 .抛物线XA. P,022py2(p 0)的焦点坐标为(B 8p03 .十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,A. 24 种B.4 .设x , y满足约束条件16种2 b2”的(C.充要条件C. 0,2则行车路线共有(C. 12 种3x y 6W 0x y 2》0x>0, y>0,则目标函数z2xA. 4 B .5 .《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该阳马”旦C. 0D.既不充分也不必要D.)D.0,8P10种y的最小值为(D. 2秦、汉时期的数阳马”若某最长的棱长为(A. 5 B .^34C . V41D .6. f Xsin x c 「c------ x ,0 U 0,大致的图象是()xA. B . C . D .阳马”)7 .函数 f x sin x cos x( 0)在2、2 上单调递增,则 的取值不可能为( ) 1 1A . B. • 4 5 1 C . 2 &运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为 3 D.- 4A ,从集合A 中任取一个元素a ,a则函数y x , x 0, 是增函数的概率为( B . D .9 •已知A , B 是函数y C. 2x 的图象上的相异两点,若点 A , B 到直线则点A , B 的横坐标之和的取值范围是( B . C . D.10.在四面体 ABCD 中,若AB CD 、3, AC BD AD 体ABCD 的外接球的表面积为( A . 2 B . 4 C . 6 D .11 .设 x 3 1是函数f X a n 1X 2a n X a n 2x 1 n N 的极值点, 数列a n 满足a 1 1 , a 2 2 ,b n 2018 2018 b ?b 3 2018 =(b 2018b 2019 A . 2017 B .2018 12.已知函数fA .1,1B .1,-的距离相等,2BC .5,则四面 log 2a n 1,若x 表示不超过x 的最大整数,则 C . 2019D . 2020在区间0,1上单调递增,则实数a 的取值范围( )C .1,1D .0,第口卷(非选择题共90 分)4个小题,每小题5分,共20分.点°为原点,贝U △ AOF 的面积为 ________ .数gX fX m 恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是三、解答题:共70分。
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足: x2 3x 4 0 ,( x 4)( x 1) 0 , x 4 或x 1 , A {x | x 4 或 x 1} , CU A={x | 1 x 4} , y 2x 2 2 , B {y | y 2} ,可知 (CU A) B {x | 2 x 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z 1 i (1 i)(1 2i) 1 3i ,复数 z 的虚部为 3 ,1 2i555故错误;② | z | ( 1)2 ( 3)2 10 ,故错误;③复数 z 对应的555点为 ( 1 , 3) 为第三象限内的点,故正确;④复数不能比较大小, 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn 2an 4 ,可得当 n 1 时, a1 2a1 4 , a1 4 ,当n 2时,S n 12 an 14与已知相减可得an an 12,可知数列{ an } 是首项为 4,公比为 2 的等比数列, a5 4 24 64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x) 2 020x sin 2x 满足 f (x) 2 020x sin 2x f (x) ,且 f (x) 2 020 2cos 2x 0 ,可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数, f (x2 x) f (1 t) 0 可以变为 f (x2 x) f (1 t) f (t 1) ,可知 x2 x t 1 ,t x2 x 1 ,x2 x 1 (x 1)2 2 3 3 ,可知实数 t 3 ,故实数 t 的取值范围为 (∞,3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y 3x ,可得双曲线的方程为x2 y2 ,把点 P(2,3) 代入可得 4 3= , 1 ,双曲线的 3方程为 x2 y2 1,c2 1 3 4,c 2,F(2,0) ,可得 A(2,2 3) , 3B(2, 23),可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x) sin(x π )sin x cos2 x3 (sin x cos π cos x sin π )sin x 1 cos 2x332 3 sin 2x 1 cos 2x 3 1 ( 3 sin 2x 1 cos 2x) 3444 2224 1 sin(2x π ) 3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位,再把横坐标缩小到原来的一 6半,得到函数 g(x) ,可得 g (x) 1 sin(4x π ) 3 ,最小正周期为2642π π ,故选项 A 错误; x π , 4x π 4 π π π ,故选426666 2项 B 正确;最大值为 1 3 5 ,故选项 C 错误;对称中心的方程 244为 (kπ π ,3)(k Z) ,故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC 120°,且 AD 3 ,BD DC 1 ,在 BDC中,根据余弦定理可得 BC 2 1 1 2 11 cos120° 3, BC 3 ,据正弦定理可得 BC 2r , sin120°3 32r,r 1 , O1 为 BDC2的外心,过点 O1 作 O1O 平面 BDC , O 为三棱锥 A BCD 的外 接球的球心,过点 O 作 OK AD , K 为 AD 的中点,连接 OD 即为外接球的半径 R 12 ( 3 )2 7 ,可得外接球的表面积为22S 4πR2 4π ( 7 )2 7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ,可得 2n 64 ,n 6 ,(2x 3)n (2x 3)6 ,设 x 1 t ,2x 3 2t 1 ,(2x 3)n (2x 3)6 (2t 1)6 a 0 a1t a 2t 2 a 6t 6 ,可得 Tr1 C64 (2t)6414 C64 22t 2 60t 2 ,可知 a2 60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ,y0) ,则 x0 y0 6 0 ,则过点 P 向圆 C 作切 线,切点为 A,B ,连接 AB ,则直线 AB 的方程为 xx0 yy0 4 ,可得y0x06,代入可得(xy) x06y40,满足 x y 0 6y 4 0 x 2 3,故过定点为M(2,2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x) log2 (x2 e|x|) ,定义域为 R ,且满足 f ( x) f (| x |) ,当 x 0 时,单调递增,而 (5)0.2 1 , 0 (1)0.3 1 , b a ,42cf(log 125) 4f( log25) 4f(log25 4),而0log25 4 log221, 2( 1 )0.3 21 2, log 25 4 (1)0.3 , 2f(log25) 4f(( 1 )0.3 ) 2,故 c a,故 c a b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1) f (x2 ) x1 x21 x1x2,不妨设 x1x2 ,则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1,整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2,设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ,e4 ]上单调递减,可知 h'(x)a(1 ln x2x)1 x20,可知 a 1 1 lnx,而函数F ( x)1 1 lnx在[e2,e4 ]单调递增,F (x)maxF (4)11 41 3,可知实数a 1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b) a|a| (1,5) (1,2) 9 5 .5514.【答案】 5 2 6【解析】首先作出可行域,把 z ax by(a 0,b 0) 变形为 y a x z ,根据图象可知当目标函数过点 A 时,取最大值为 1, bb理科数学答案第 1 页(共 4 页) x 2x y 1 0 y40A(3,2),代入可得3a2b1,则1 a1 b3a a2b 3a 2b 3 2b 3a 2 5 2 2b 3a 5 2 6 ,当且仅当bababb 6 a 取等号,可知最小值为 5 2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A cos B 2 3 sin C ,根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B 2 3 sin B sin C ,可知 sin( A B) 2 3 sin B sin C ,33sin C 2 3 sin B sin C ,sin B 3 ,在 ABC 内,可知 B π 或3232π ,因为锐角 ABC ,可知 B π ,利用余弦定理可得 b2 a2 c2 332ac cos B a2 c2 ac 2ac ac ac ,可知 ac 16 ,则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B 1 16 3 4 3 ,当且仅当 a c 时,取222等号,故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C :y2 2 px( p 0) 的准线方程为 x 2 ,可知抛物线 C 的方程为:y2 8x ,设点 A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,AB 的中点为 M (x0 ,y0 ) ,则 y12 8x1 ,y22 8x2 两式相减可得 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 8(x1 x2 ),y1 y2 x1 x2 8 y1 y2 ,可知 8 (1) 1 2 y0 x0 y0 6 0,解得 x0 y02 4,可得 M(2,4),则 OA OB 2OM 2(2,4) (4,8) ,可得 | OA OB | | (4,8) | 42 82 4 5 .三、解答题17.【解析】(1) a1 1,an1 2an 1 ,可得 an1 1 2(an 1) ,{an 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分 an 1 2 2n1 2n , an 2n 1 .即数列 { an } 的通项公式 an 2n 1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn n2 ,可得 b1 S1 1 ,当 n 2 时, bn Sn Sn1 n2 (n 1)2 2n 1 ,故数列 { bn } 的通项公式为 bn 2n 1 .--------------- 6 分(2)可知 cn bn an (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2n (2n 1) --------------- 7 分设 An 1 2 3 22 5 23 (2n 1) 2 n , 2 An 1 22 3 23 (2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1 , 两式相减可得 An 2 2(22 23 2 n) (2n 1) 2 n 1 ,可得 An 6 (2n 1) 2n1 2n2 ,--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1) 2nn2,所以 Tn 6 (2n 1) 2n1 2n2 n2 .--------------- 12 分 18.【解析】(1)证明: PD 面 ABCD , PD BC ,在梯形 ABCD 中,过 B 作 BH DC 交 DC 于 H , BH 1 ,BD DH 2 BH 2 1 1 2 ,BC 2 ,( 2)2 ( 2)2 22 ,即 DB2 BC 2 DC 2 ,即 BC DB .--------------- 2 分 BC DB , PD BD D , BC 平面 PDB , BC 平面 EBC 平面 PBC 平面 PDB .--------------- 4 分 (2)连接 PH , BH 面 PDC ,BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角, tan BPH BH 1 , BH 1 , PH 2 , PH 2 PD2 DH 2 PH 2 , PD2 1 2 , PD 1 ,--------------- 6 分以 D 为原点,分别以 DA , DC 与 PD 为 x ,y ,z 轴,建立如图所示的E(空0间,2直,角12)坐,标可系知,则PBP(0(1,,01,,1) ,1)A,(A1,B0,(00),,1B,(01),1,,0) ,C (0,2,0) ,设平面PAB 可知 PB a AB a 设平面 PEB的法向量为 a (x,y,z) , 0 0 xy y z 00,可取 a(1,0,1),-----------的法向量为 b(x,y ,z ) ,BE(1,1,1),8分2可知 PB BE b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ,可取 b(3,1,4),-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos a b 1 3 0 11 4| a || b | 1 1 32 1 42 7 13 ,可知两平面所成的角为钝角,可知两平面所成角的余弦 26值为 7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】(1)完成 2 2 列联表, 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据,得到 K 2 120 (30 15 25 50)2 55 65 80 40 960 6.713 6.635 ,所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分(2)由(1)可知男生抽 3 人,女生抽 5 人, 0,1,2,3 .P(0)C53 C835 ,P( 28 1)C52C31 C8315 28,P(2)C51C32 C8315 ,P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( ) 0 5 1 15 2 15 3 1 9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】(1)x2 4 y ,焦点 F (0 , 1) ,代入得 b 1,e c 2 , a2a2 b2 c2 ,解得 a2 2,b2 1 , x2 y2 1 ,-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1,且经过 (1,0) ,则直线方程为 y x 1 ,联立 x2 2y2 1,解得y x 1,x y 0 1或 x y 4 3 1 3, ,C(0,1) ,D( 4 ,1) ,--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页(共 4 页)| CD | 4 2 ,又原点 O 到直线 y x 1 的距离 d 为 2 ,32 SCOD1 2| CD|d1 242 32 2 .--------------- 6 分 23(2)根据题意可知直线 m 的斜率存在,可设直线 m 的方程为: y kx t,ykxt,联立 x2 2y2 1,(2k 2 1)x24ktx2t 220,可得 (4kt)2 4(2k 2 1)(2t 2 2) 0 ,整理可得 t 2 2k 2 1 ,可知 F2 (1,0) , A(1,k t),B(2,2k t) ,--------------- 8 分则 | AF2 | (1 1)2 (k t 0)2 k 2 2kt t2| BF2 | (2 1)2 (2k t 0)2 1 (4k 2 4kt t2) k 2 2kt t2 2 为定值.--------------- 12 分 2k 2 4kt 2t 2 221.【解析】(1)函数 f (x) 的定义域为 (0, ∞) ,f (x) x a 1 x2 ax 1 ,设 h(x) x2 ax 1 ,xx函数 h(x) 在 (1,3) 内有且只有一个零点,满足 h(1) h(3) 0 ,可得 (1 a 1)(9 3a 1) 0 ,解得 2 a 10 , 3故实数 a 的取值范围为 (2,10) .--------------- 4 分3(2) 2 f (x) 2x 2 (a 1)x2 ,可以变形为 2ln x 2x 2 a(x22x),因为x0,可得a 2ln x x2 2x 2x2,--------------6分设g(x)2ln x 2x x2 2x2,g' ( x)2(x 1)(2ln x (x2 2x)2x).设 h(x) 2 ln x x ,h(x) 在 (0, ∞) 单调递增,h(1 ) 2ln 2 1 0 , h(1) 1 0 .22故存在一点 x0 (0.5,1) ,使得 h(x0 ) 0 ,--------------- 8 分当 0 x x0 时, h(x) 0,g'(x) 0 ,函数 g(x) 单调递增;当 x x0 时, h(x) 0,g'(x) 0 ,函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ,且 2 ln x0 x0 0 ,--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0 2x0 2 x02 2x01 x0,可知 a 1 x0,又1 x0 (1,2) ,可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】(1)由题可知:2 2 2 cos2 6 , 2(x2 y2 ) x2 6 ,曲线 C 的直角坐标方程为 y2 x2 1 , 32直线 l 的普通方程为 3x 4 y 4 3a 0 ,--------------- 3 分两方程联立可得 33x2 6 (4 3a)x (4 3a)2 48 0 ,可知 [6 (4 3a)]2 4 33 [(4 3a)2 48] 0 ,解得 a 66 4 或 a 66 4 .--------------- 6 分33(2)曲线 C 的方程y2x21,可设x 2 cos ,32 y 3 sin则 2x 3y 2 2 cos 3 3 sin (2 2)2 (3 3)2 sin( ) ,其中 tan 2 6 ,可知最大值为 9(2 2)2 (3 3)2 35 .--------------- 10 分 23.【解析】(1)当 a 1 时, f (x) | 3x 6 | | x 1 | x 10 ,当 x 1时, (3x 6) (x 1) x 10 ,解得 x 1 , 可得 x 1;--------------- 2 分 当 1 x 2 时, (3x 6) (x 1) x 10 ,解得 x 1 , 可得 x 1; 当 x 2 时, (3x 6) (x 1) x 10 ,解得 x 5 , 综上可得 {x | x 5或x 1} .--------------- 4 分 (2)由 f (x) 0 可知, f (x) | 3x 6 | | x 1| ax 0 , | 3x 6 | | x 1| ax ,设 g(x) | 3x 6 | | x 1| , h(x) ax , 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示,--------------- 6 分 4x 5,x 1, g(x) 2x 7,1 x 2,可得 A(2,3) , 4x 5,x 2, 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时,方程 f (x) 0 有两 个不同的实数根,--------------- 8 分由函数图象可知,当 3 a 4 时,有两个不同的解,故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ,4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页(共 4 页)理科数学答案第 4 页(共 4 页)。
绝密★启用前2020 年高考模拟试题(一)理科数学时间:120 分钟分值:150 分注意事项:封号位座1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
密第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一不号场考项是符合题目要求的.a b1.已知a,b 都是实数,那么“2 22 2”是“a b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件订22.抛物线x 2py ( p 0) 的焦点坐标为()装号证考准p A.,0218p3 6 0 x y≤p218pB.,0C.0,D.0,3.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,则行车路线共有()A.24 种B.16 种C.12 种D.10 种只4.设x,y 满足约束条件x y 2≥0 ,则目标函数z 2x y 的最小值为()x≥0, y≥0A. 4 B. 2 C.0 D.2卷5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该“阳马”最长的棱长为()名姓A.5B.34 C.41 D.5 2 此6.sin xf x xx,0 U 0, 大致的图象是()A.B.C.D.级班7.函数 f x sin x cos x( 0)在,2 2上单调递增,则的取值不可能为()A.14B.15C.12D.348.运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为 A ,从集合 A 中任取一个元素 a ,则函数 ay x ,x 0, 是增函数的概率为()A.35B.45C.34D.37开始x 3否x≤ 3是2 2y x x结束输出yx x 11x9.已知A,B 是函数y 2 的图象上的相异两点,若点A,B 到直线y 的距离相等,2则点A,B 的横坐标之和的取值范围是()A., 1 B., 2 C., 3 D., 410.在四面体ABCD 中,若AB CD 3 ,AC BD 2,AD BC 5 ,则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.2 B.4 C.6 D.811.设x 1是函数 3 2f x a 1x a x a 2x 1 n N 的极值点,n n n数列a n 满足a1 1 ,a2 2 ,b n log 2a n 1 ,若x 表示不超过x的最大整数,则2018 2018 2018L =()bb b b b b1 2 2 3 2018 2019A.2017 B.2018 C.2019 D.2020ax12.已知函数 f x e a R 在区间0,1 上单调递增,则实数a的取值范围()xeA.1,1 B.1, C.1,1 D.0,第Ⅱ卷(非选择题共90 分)二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共20 分.13.命题“x0 0 , 2 x0 mx0 2 0”的否定是_________._C 2π314.在△ABC 中,角 B 的平分线长为 3 ,角,BC 2 ,则AB _________._15.抛物线 2 4y x 的焦点为 F ,过F 的直线与抛物线交于 A ,B 两点,且满足A FBF4,点O 为原点,则△AOF 的面积为_________._16.已知函数f xx x x22 3 sin cos 2cos 02 2 2的周期为2π3 ,当πx 0,3 时,函g x f x m数恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是_________._三、解答题:共70 分。
2020高考全真模拟卷一数学(理)(本试卷满分150分,考试用时120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题)一、单选题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(2019·内蒙古高三月考(理))集合U =R ,{}2|4120A x x x =--≤,则U C A =( ) A .()2,6-B .()6,2-C .()(),26,-∞-⋃+∞D .()(),62,-∞-+∞U2.(2020·辽宁高三期末(理))复数5iz i=+上的虚部为( ) A .526B .526i C .526- D .526i -4.(2019·四川高三月考(理))我国古代数学名著《九章算术》中,割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,如在222+++L 中,“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x ,这可以通过方程2x x +=确定x 的值,类似地32323+++L 的值为( )A .3B .1312+ C .6D .225.(2020·河南高三月考)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样,为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷2000个点,己知恰有800个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是A .165B .185C .10D .3256.(2019·辽宁高三期中(理))函数()mf x x x=-(其中m R ∈)的图象不可能...是( ) A . B . C . D .7.已知边长为2的正方形ABCD 中,E 为AD 的中点,连接BE ,则=u u u r u u u rg BE EA ( ) A .-2B .-1C .1D .28.(2019·河北高三期末(理))执行如图所示的程序框图,则输出的a 值为( )A .3-B .13C .12-D .29.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3是a 2与a 6的等比中项,S 3=3,则S 8=( ) A .36B .42C .48D .6010.(2019·陕西高二期末(理))已知点F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点,过F 作垂直于长轴的垂线交椭圆于A 、B 两点,若以AB 为直径的圆过坐标原点O ,则该椭圆的离心率为( ) A .22B .32C .512- D .312- 11.(2020·辽宁高三期末(理))已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,I 为12PF F ∆的内心,且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-,若椭圆的离心率为e ,则λ=( ) A .1eB .2eC .eD .2e12.(2020·陕西高三月考(理))设函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()194f x x x =+-.若对任意(],x m ∈-∞,都有()23f x ≥-,则m 的取值范围是( ) A .215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,B .163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,C .184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,D .194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为()A.1 B.﹣1 C.D.﹣22.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x﹣1)≤0},则A∩B=()A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1}3.已知向量=(1,2),=(﹣2,m),若∥,则|2+3|等于()A.B.C.D.4.设a1=2,数列{1+a n}是以3为公比的等比数列,则a4=()A.80 B.81 C.54 D.535.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是()A.2cm2B.cm3C.3cm3D.3cm36.执行如图所示的程序框图,若输出i的值是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数是()A.4 B.8 C.12 D.167.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()A. B.C.2D.8.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α9.高考将至,凭借在五大学科竞赛的卓越表现,我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策,具体人数如右下表.若随机从这25人中任选2人做经验交流,在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下,至少有1人是参加数学竞赛的概率为()学科数学信息物理化学生物北大42541清华21042A. B.C. D.10.设F是双曲线﹣=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.5 B.5+4C.7 D.911.已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是()A.[,]B.[0,]C.[,]D.[1,]12.设函数f是定义在正整数有序对的集合上,并满足:①f(x,x)=x;②f(x,y)=f(y,x);③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y);则f(12,16)+f(16,12)的值是()A.24 B.48 C.64 D.96二.填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.13.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a 的值为.14.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的部分图象如示,则φ的值为.15.已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形最小值的正弦值是.16.若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB(其中A(1,0),B(2,1))只有一个公共点,且不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,则正实数p的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.18.已知函数(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心;(Ⅱ)若,求f(x)的最大值和最小值.19.国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛.每3人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”(靶面正方形ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象).每队有3人“成功”获一等奖,2人“成功”获二等奖,1人“成功”获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖)(其中任何两位队员“成功”与否互不影响).(Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率;(Ⅱ)设X为某队获奖等次,求随机变量X的分布列及其期望.20.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为正方形,延长AB到D,使得AB=BD,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,A1C1=AA1,∠C1A1A=.(Ⅰ)若E,F分别为C1B1,AC的中点,求证:EF∥平面ABB1A1;(Ⅱ)求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值.21.已知椭圆C: +=1(a>b>0),圆Q:(x﹣2)2+(y﹣)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围.22.已知函数f(x)=a(x+1)2﹣4lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],f(x)<1恒成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为()A.1 B.﹣1 C.D.﹣2【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值.【解答】解:∵=为纯虚数,∴,解得:a=1.故选:A.2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x﹣1)≤0},则A∩B=()A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1}【考点】1E:交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:由B中不等式解得:﹣2≤x≤1,即B=[﹣2,1],∵A={0,1,2,3,4},∴A∩B={0,1},3.已知向量=(1,2),=(﹣2,m),若∥,则|2+3|等于()A.B.C.D.【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】根据∥,算出=(﹣2,﹣4),从而得出=(﹣4,﹣8),最后根据向量模的计算公式,可算出的值.【解答】解:∵且∥,∴1×m=2×(﹣2),可得m=﹣4由此可得,∴2+3=(﹣4,﹣8),得==4故选:B4.设a1=2,数列{1+a n}是以3为公比的等比数列,则a4=()A.80 B.81 C.54 D.53【考点】8G:等比数列的性质;8H:数列递推式.【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2,求出数列{1+a n}的通项,再把n=4代入即可求出结论.【解答】解:因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列,且a1=2所以其首项为1+a1=3.其通项为:1+a n=(1+a1)×3n﹣1=3n.当n=4时,1+a4=34=81.∴a4=80.5.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是()A.2cm2B.cm3C.3cm3D.3cm3【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高,进而得到该几何体的体积.【解答】解:由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为的四棱锥,其中直角梯形两底长分别为1和2,高是2.故这个几何体的体积是×[(1+2)×2]×=(cm3).故选:B.6.执行如图所示的程序框图,若输出i的值是9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数是()A.4 B.8 C.12 D.16【考点】EF:程序框图.【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=16,i=9时,不满足条件,退出循环,输出i的值为9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为:16【解答】解:模拟执行程序框图,可得i=1S=0满足条件,S=1,i=3满足条件,S=4,i=5满足条件,S=9,i=7满足条件,S=16,i=9由题意,此时,不满足条件,退出循环,输出i的值为9,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为:16,故选:D.7.直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于()A. B.C.2D.【考点】JE:直线和圆的方程的应用.【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D,根据勾股定理求出弦长的一半BD,乘以2即可求出弦长AB.【解答】解:连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:D为AB 的中点,根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=故选D.8.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论.【解答】解:(A)若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;(B)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面CDD′C′为平面β,直线BB′为直线m,直线A′B为直线n,则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线A′B与BB′不垂直,故B错误.(C)设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,∵m∥α,m⊂γ,α∩γ=a,∴m∥a,同理可得:m∥b.∴a∥b,∵b⊂β,a⊄β,∴a∥β,∵α∩β=l,a⊂α,∴a∥l,∴l∥m.故C正确.(D)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面ABB′A′为平面β,平面CDD′C′为平面γ,则α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC⊂平面ABCD,故D 错误.故选:C.9.高考将至,凭借在五大学科竞赛的卓越表现,我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策,具体人数如右下表.若随机从这25人中任选2人做经验交流,在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下,至少有1人是参加数学竞赛的概率为()学科数学信息物理化学生物北大4254121042清华A. B.C. D.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数,再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数,根据概率公式计算即可得到.【解答】解:其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人,清华保送生有2+1+0+4+2=9人,恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种,故至少有1人是参加数学竞赛种数为C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种,故至少有1人是参加数学竞赛的概率P==.故选:A.10.设F是双曲线﹣=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.5 B.5+4C.7 D.9【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】根据A点在双曲线的两支之间,根据双曲线的定义求得,|PF|﹣|PF′|=2a=4,进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5,两式相加求得答案.【解答】解:∵A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),∴由双曲线定义可得,|PF|﹣|PF′|=2a=4,而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5,两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立.则|PF|+|PA|的最小值为9.故选:D.11.已知函数f(x)=x+sinx(x∈R),且f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,则当y≥1时,的取值范围是()A.[,]B.[0,]C.[,]D.[1,]【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.【分析】判断函数f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用直线和圆的位置关系,结合数形结合和的几何意义即可得到结论.【解答】解:∵f(x)=x+sinx(x∈R),∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x),即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数.∵f(y2﹣2y+3)+f(x2﹣4x+1)≤0,∴f(y2﹣2y+3)≤﹣f(x2﹣4x+1)=f[﹣(x2﹣4x+1)],由f′(x)=1+cosx≥0,∴函数单调递增.∴(y2﹣2y+3)≤﹣(x2﹣4x+1),即(y2﹣2y+3)+(x2﹣4x+1)≤0,∴(y﹣1)2+(x﹣2)2≤1,∵当y≥1时,=1+,∴不等式对应的平面区域为圆心为(2,1),半径为1的圆的上半部分.而的几何意义为动点P(x,y)到定点A(﹣1,0)的斜率的取值范围.设k=,(k>0),则y=kx+k,即kx﹣y+k=0.当直线和圆相切时,圆心到直线的距离d===1即8k2﹣6k=0,解得k=.此时直线斜率最大.当直线kx﹣y+k=0经过点B(3,1)时,直线斜率最小,此时3k﹣1+k=0,即4k=1,解得k=,∴≤k≤,故=1+=1+k的取值范围是[,].故选:A12.设函数f是定义在正整数有序对的集合上,并满足:①f(x,x)=x;②f(x,y)=f(y,x);③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y);则f(12,16)+f(16,12)的值是()A.24 B.48 C.64 D.96【考点】3P:抽象函数及其应用.【分析】由函数性质的第3条,可得f(x,x+y)=f(x,y),从而得到f(12,16)+f(16,12)=2f(12,16)=2f(12,12+4)=2××f(12,12),再利用①解.【解答】解:∵(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),∴f(x,x+y)=f(x,y),f(12,16)+f(16,12)=2f(12,16)=2f(12,12+4)=2××f(12,12)=2×4×12=96.故选:D二.填空题:本大题共4小题;每小题5分,共20分.13.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣,则实数a的值为1.【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程:x2=y,得到焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣,再结合题意准线方程为,比较系数可得a=1.【解答】解:∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,∴2p=,可得=,焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣再根据题意,准线方程为,∴﹣=﹣,可得a=1故答案为:114.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤)的部分图象如示,则φ的值为.【考点】HK:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.【分析】先利用函数图象,计算函数的周期,再利用周期计算公式计算ω的值,最后将点(,0)代入,结合φ的范围,求φ值即可【解答】解:由图可知T=2()=π,∴ω==2∴y=sin(2x+φ)代入(,0),得sin(+φ)=0∴+φ=π+2kπ,k∈Z∵0<φ≤∴φ=故答案为15.已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形最小值的正弦值是.【考点】8F:等差数列的性质.【分析】设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,设公差为d=2,求出a=c+4和b=c+2,由边角关系和条件求出sinA,求出A=60°或120°,再判断A的值,利用余弦定理能求出三边长,由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值.【解答】解:不妨设三角形的三边分别为a、b、c,且a>b>c>0,设公差为d=2,三个角分别为、A、B、C,则a﹣b=b﹣c=2,可得b=c+2,a=c+4,∴A>B>C,∵最大角的正弦值为,∴sinA=,由A∈(0°,180°)得,A=60°或120°,当A=60°时,∵A>B>C,∴A+B+C<180°,不成立;即A=120°,则cosA===,化简得,解得c=3,∴b=c+2=5,a=c+4=7,∴cosC===,又C∈(0°,180°),则sinC==,∴这个三角形最小值的正弦值是,故答案为:.16.若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB(其中A(1,0),B(2,1))只有一个公共点,且不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,则正实数p的取值范围为[1,+∞).【考点】KE:曲线与方程.【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,可知:点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧,因此(a﹣1)(2a+b﹣1)≤0.画出它们表示的平面区域,如图所示.由图可知,当原点O到直线2x+y ﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值,可得d min=.由于存在实数a、b使得不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,可得≥20(a2+b2)min=4,再利用基本不等式的性质即可得出答案.【解答】解:∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,∴点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧,∴(a﹣1)(2a+b﹣1)≤0,即,或;画出它们表示的平面区域,如图所示.a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方,由图可知,当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值,∵d min=那么a2+b2的最小值为:d2=.由于存在实数a、b使得不等式+≥20(a2+b2)对于任意θ∈(0,)成立,∴≥20(a2+b2)min=4,∵θ∈(0,),∴sinθ,cosθ∈(0,1).∴+=(sin2θ+cos2θ)=1+p++≥1+p+2=1+p+2,当且仅当tan2θ=时取等号.∴1+p+2≥4,p>0,解得1≤p.∴tanθ=1,即时取等号.故答案为:[1,+∞).三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26.{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)求a n及S n;(Ⅱ)令b n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式;85:等差数列的前n项和.【分析】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,可得,解得a1,d,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.(Ⅱ)由(I)可得b n==,利用“裂项求和”即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,∴,解得a1=3,d=2,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1;S n==n2+2n.(Ⅱ)===,∴T n===.18.已知函数(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及对称中心;(Ⅱ)若,求f(x)的最大值和最小值.【考点】H6:正弦函数的对称性;HW:三角函数的最值.【分析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,然后求f(x)的最小正周期及对称中心;(Ⅱ)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可.【解答】(本题满分12分)解:(Ⅰ) (4)∴f(x)的最小正周期为, (5)令,则,∴f(x)的对称中心为; (6)(Ⅱ)∵∴ (8)∴∴﹣1≤f(x)≤2 (10)∴当时,f(x)的最小值为﹣1;当时,f(x)的最大值为2. (12)19.国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛.每3人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”(靶面正方形ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象).每队有3人“成功”获一等奖,2人“成功”获二等奖,1人“成功”获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖)(其中任何两位队员“成功”与否互不影响).(Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率;(Ⅱ)设X为某队获奖等次,求随机变量X的分布列及其期望.【考点】6G:定积分在求面积中的应用;CF:几何概型;CH:离散型随机变量的期望与方差.【分析】(Ⅰ)由题意,求出矩形和阴影部分的面积,利用几何概型公式解答;(Ⅱ)明确X的取值,分别求出随机变量对应的概率,列出分布列,求期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知:S矩形=10×10=100,=20,记某队员投掷一次“成功”事件为A,则P(A)=….(Ⅱ)因为X为某队获奖等次,则X取值为1、2、3、4.,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=….即X分布列为:X1234P(X)…所以,X的期望EX=1×+2×+3×+4×=…20.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为正方形,延长AB到D,使得AB=BD,平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,A1C1=AA1,∠C1A1A=.(Ⅰ)若E,F分别为C1B1,AC的中点,求证:EF∥平面ABB1A1;(Ⅱ)求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值.【考点】MT:二面角的平面角及求法;LS:直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)取A1C1的中点G,连结FG,EG,则EG∥A1B1,从而GE∥ABB1A1,同理得GF∥平面ABB1A1,从平面GEF∥平面ABB1A1,由此能证明EF∥平面ABB1A1.(Ⅱ)连结AC1,推导出AC1⊥AA1,从而AC1⊥平面ABB1A1,再求出AC1⊥AB,AA1⊥AB,分别以AA1,AB,AC1所在直线为x轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D 所成的锐二面角的余弦值.【解答】证明:(Ⅰ)取A1C1的中点G,连结FG,EG,在△A1B1C1中,EG为中位线,∴EG∥A1B1,∴GE⊄平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,∴GE∥ABB1A1,同理得GF∥平面ABB1A1,又GF∩GE=G,∴平面GEF∥平面ABB1A1,∵EF⊂平面GEF,∴EF∥平面ABB1A1.解:(Ⅱ)连结AC1,在△AA1C1中,,,∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=,∴AA1=AC1,△A1AC1是等腰直角三角形,AC1⊥AA1,又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,∴AC1⊥平面ABB1A1,∵AB⊂平面ABB1A1,∴AC1⊥AB,又∵侧面ABB1A1为正方形,∴AA1⊥AB,分别以AA1,AB,AC1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),A1(1,0,0),B1(1,1,0),C1(0,0,1),C(﹣1,0,1),D(0,2,0),∴=(2,1,﹣1),=(1,2,﹣1),=(﹣1,0,1),=(0,1,0),设平面A1B1C1的法向量=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,0,1),设平面CB1D的法向量=(a,b,c),则,取a=1,得=(1,1,3),cos<>===,∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为.21.已知椭圆C: +=1(a>b>0),圆Q:(x﹣2)2+(y﹣)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(1)求得圆Q的圆心,代入椭圆方程,运用两点的距离公式,解方程可得a,b的值,进而得到椭圆方程;(2)讨论两直线的斜率不存在和为0,求得三角形MAB的面积为4;设直线y=kx+,代入圆Q的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,求得MP的长,再由直线AB的方程为y=﹣x+,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式,化简整理,由换元法,结合函数的单调性,可得面积的范围.【解答】解:(1)圆Q:(x﹣2)2+(y﹣)2=2的圆心为(2,),代入椭圆方程可得+=1,由点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为,即有=,解得c=2,即a2﹣b2=4,解得a=2,b=2,即有椭圆的方程为+=1;(2)当直线l2:y=,代入圆的方程可得x=2±,可得M的坐标为(2,),又|AB|=4,可得△MAB的面积为×2×4=4;设直线y=kx+,代入圆Q的方程可得,(1+k2)x2﹣4x+2=0,可得中点M(,),|MP|==,设直线AB的方程为y=﹣x+,代入椭圆方程,可得:(2+k2)x2﹣4kx﹣4k2=0,设(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,x1x2=,则|AB|=•=•,可得△MAB的面积为S=•••=4,设t=4+k2(5>t>4),可得==<=1,可得S<4,且S>4=综上可得,△MAB的面积的取值范围是(,4].22.已知函数f(x)=a(x+1)2﹣4lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],f(x)<1恒成立,求实数a的取值范围.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),代入切线方程即可;(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,求出f(x)的最大值,结合对任意x∈[1,e],f(x)<1恒成立,求出a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)由得f(1)=2 (1)…3则所求切线方程为y﹣2=﹣2(x﹣1),即y=﹣2x+4 (4)(Ⅱ) (5)令g(x)=ax2+ax﹣2.当a=0时,,f(x)在[1,e]上单调递减,[f(x)]max=f(1)=0<1,恒成立,符合题意 (6)当a<0时,g(x)=ax2+ax﹣2,开口向下,对称轴为,且g(0)=﹣2<0,所以当x∈[1,e]时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减,[f(x)]max=f(1)=0<1,恒成立,符合题意 (8)当a>0时,g(x)=ax2+ax﹣2的开口向上,对称轴为,g(0)=﹣2<0,所以g(x)=ax2+ax﹣2在(0,+∞)单调递增,故存在唯一x0∈(0,+∞),使得g(x0)=0,即f′(x0)=0 (9)当0<x<x0时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>x0时,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以在[1,e]上,[f(x)]max=max{f(1),f(e)}.所以,得,得.所以 (11)综上,a得取值范围是 (12)。