矩阵论
1、意义
随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容
《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：
线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．
矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．
3、方法
在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：
线性代数：引入概念直观，着重计算．
矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用．
第1讲 线性空间
内容： 1.线性空间的概念；
2.基变换和坐标变换；
3.子空间和维数定理；
4.线性空间的同构
线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．
§1 线性空间的概念
1. 群，环，域
代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．
代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．
代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．
1.1群
定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．
1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；
2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；
4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．
1.2 环
定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；
2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；
3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．
注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．
1.3 域
定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．
例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．
此外，还有其它很多数域.如{}
.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间
定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：
⑴ 交换律αββα+=+；
⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；
⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；
⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；
⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；
⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，
则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．
例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．
例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合r
R 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．
例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．
例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
证明：R +是实数域R 上的线性空间．
证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。
唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0 x ,0 y k R ∈，则有：xy y x =+R +∈，k k x x =o R +∈， 封闭性得证．
其次，八条性质。
（1）)()()()(z y x z xy yz x z y x ++===++
（2） x y yx xy y x +===+
（3） 1是零元素．x x =+1
（4） 1x 是x 的负元素 111=+=+x
x x x （5） )()()()(y k x k y x xy y x k k k k +===+ [数因子分配律]
（6） )()()(x l x k x x l k l k +==++ [分配律]
（7） x kl x x x l k kl k l )()()(=== [结合律]
（8） x x x ==11 [恒等律]
由此可证，+R 是实数域R 上的线性空间． 证毕
3.线性空间的基本性质：
（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的．
（2） 如下恒等式成立： θ=x 0，)()1(x x -=-．
4.线性组合和线性表示，线性相关和线性无关性，维数
定义1.5 线性组合：,,,,21V x x x m ∈∀ P c c c m ∈,,,21 ,
x x c x c x c x c m
i i i m m ==+++∑=12211 ，
x 称为元素组m x x x ,,,21 的一个线性组合．
定义1.6 线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示．
定义1.7 设V 是数域P 上的线性空间，n x x x ,,,21 是V 的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得
02211=+++n n x k x k x k (1.1)
则称向量n x x x ,,,21 线性相关；若等式(1.1)仅当021====n k k k 时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为V dim ．
§2 基变换和坐标变换
1．线性空间的基和坐标
定义2.1 设V 是数域P 上的线性空间, )1(,,,21≥r x x x r ，是属于V 的r 个任意元素，如果它满足
（1）r x x x ,,,21 线性无关；
（2）V 中任一向量x 均可由r x x x ,,,21 线性表示．
则称r x x x ,,,21 为V 的一个基或基底，并称r x x x ,,,21 为该基的基元素．
基正是V 中最大线性无关元素组, V 的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．
例1:考虑全体复数所形成的集合C ．如果C P =（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取R P =（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为},1{i ，空间维数为2．
定义2.2 称线性空间n V 的一个基n x x x ,,,21 为n V 的一个坐标系，
n V x ∈∀，它在该基下的线性表示为：
∑==n
i i i x x 1ξ，（n i V x P i i ,,2,1,, =∈∈ξ ）
则称n ξξξ,,,21 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为T n ),,,(21ξξξ .
一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．
更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．
1 ),,,()
,,,(),,,(22112121n n T n T
n y x y x ηξηξηξηηηξξξ+++=+→⎩⎨⎧== 2 T n T n k k k kx x ),,,(),,,(2121ξξξξξξ =→=
2.基变换和坐标变换
定义2.3 设n x x x ,,,21 是n V 的旧基，n y y y ,,,21 是n V 的新基，它们可以相互线性表示
即 [][][]C x x x c c c c c c c c c x x x y y y n nn n n n n n n ,,,,,,,,,212122221112112121 =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= （1.2） 其中C 称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C 是非奇异矩阵．
设n V x ∈，它在旧基下的线性表示为[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∑=n n n i i i x x x x x ξξξξ 21211,,,，它在新基下的线性表示为[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∑=n n n
i i i y y y y x ηηηη 21211,,,，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系
[][]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n x x x y y y ξξξηηη 21212121,,,,,, ,
则
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n n n n C C ξξξηηηξξξηηη 211212121 上式给出了在基变换式下向量坐标的变换公式．
例1已知矩阵空间22⨯R 的两个基：
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10012A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01103A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=01104A （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11111B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01112B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00113B ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00014B 求由基（1）改变为基（2）的过渡矩阵．
解 为了计算简单，采用中介基的方法．引入简单基：
(3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=100022E 由基（3）到基（1）的过渡矩阵为1C ,即1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A =，
可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=00111100110000111C ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-01100110100110
012111C 再写出由基（3）到基（2）的过渡矩阵为2C ，即2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010011011111112C 于是写出由基（1）到基（2）的过渡矩阵为C ，即C A A A A B B B B ),,,(),,,(43214321=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-0100012211101112210001001101111111011001101001100121211C C C
§3 子空间和维数定理
1.线性子空间的定义及其性质
定义 3.1 设1V 是数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件
（1） 如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+；
（2） 如果1V x ∈，P k ∈，则1V kx ∈，
则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间．
由于线性子空间也是线性空间，因此，前面引入的关于维数、基和坐标等概念亦可使用到线性子空间中去．
性质：（1）线性子空间1V 和线性空间V 享有共同的零元素；
（2）1V 中元素的负元素仍在V 1中．
子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间．{O }和V 本身称为平凡子空间； 除以上两类子空间外的称为非平凡子空间，由于零子空间不含线性无关的向量，因此它没有基，规定其维数为零．
定义3.2 设m x x x ,,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合所成的集合
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∈∑=m i i i i m i P k x k 1,,2,1, 也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,,21 生成（张成）的子空间，记为),,,(21m x x x L 或者),,,(21m x x x Span ．
若m x x x ,,,21 线性无关，则m x x x L m =),,,(dim 21 ．
定理 3.1(基扩定理)：设1V 是数域P 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,,21 ++使得n x x x ,,,21 成为n V 的一个基,这m n -个元素必不在1V 中．
2．子空间的交和和
定义3.3 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈=
{}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+
分别称为1V 和2V 的交和和．
定理3.2：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则21V V ，21V V +均为V 的子空间．
定理3.3(维数公式)：若1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，则有
)dim ()dim (dim dim 212121V V V V V V ++=+
3．子空间的直和
定义3.4 设1V 和2V 是线性空间V 的两个子空间，若其和空间21V V +中的任一元素都只能唯一的表示为1V 的一个元素和2V 的一个元素之和，即21V V x +∈∀，存在唯一的1V y ∈、2V z ∈，使z y x +=，则称21V V +为1V 和2V 的直和，记为21V V ⊕．
定理3.4：如下四种表述等价
（1）21V V +成为直和21V V ⊕
（2）}0{21=V V
（3）2121dim dim )dim (V V V V +=+
（4）若s x x x ,,,21 为1V 的基，t y y y ,,,21 为2V 的基，则s x x x ,,,21 ，
t y y y ,,,21 为21V V +的基
注：子空间的和和交的概念以及有关的定理，可以推广到多个的子空间情形． §4 线性空间的同构
定义4.1 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的映射，即对于U
中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈和之对应，则称T 为V 的一个映射或算子，记为y Tx =，称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。
若变换T 还满足:
)()()(y lT x kT ly kx T +=+，P l k V y U x ∈∈∈∀,,,,
称T 为线性映射或线性算子.
定义 4.2 设U ，V 是数域P 上的线性空间，T 是从U 到V 的线性映射，如果T 是一一映射且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射．若线性空间U ，V 之间存在同构映射，则称U ，V 为同构的线性空间．若T 为从U 到U 的同构映射，则称T 为从U 的自同构映射．
简单地说，一对一的线性算子称为同构算子．
例1 定义,,0110)(2R x x x T ∈∀⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=则T 为2R 的自同构映射． 定理 4.1: 设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，且为满射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是若v x T 0)(=，则u x 0=． 推论１ 设T 为从数域P 上的线性空间U 到V 的线性映射，则T 为从U 到V 的同构映射的充分必要条件是V U R =)(且}0{)(u T N =
定理4.2: 设U ，V 是数域P 上的有限维线性空间，则U ，V 同构的充分必要条件是V U dim dim =.。
