27．如图，抛物线y=1
2
x2+mx+n与直线y=-
1
2
x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A
（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度
运动到E点，再沿线段EA个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
（1）抛物线的解析式为y=12x 2-52x+3．13；（2）（11，36）、（133，149）、（173，449
）；点E 的坐标为（2，1）．
试题分析： （Ⅰ）只需把A 、C 两点的坐标代入y=
12
x 2
+mx+n ，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB 与抛物线的交点B 的坐标，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=2，AC=32，从而得到∠A CB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan ∠BAC 的值；
（Ⅱ）（1）过点P 作PG ⊥y 轴于G ，则∠PGA=90°．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得x ＞0，则PG=x ，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G 在点A 的下方，①当∠PAQ=∠CAB 时，△PAQ ∽△CAB ．此时可证得△PGA ∽△BCA ，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x ．则有P （x ，3-3x ），然后把P （x ，3-3x ）代入抛物线的解析式，就可求出点P 的坐标②当∠PAQ=∠CBA 时，△PAQ ∽△CBA ，同理，可求出点P 的坐标；若点G 在点A 的上方，同理，可求出点P 的坐标；（2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3．易得AE=2EN ，则点M 在整个运动中所用的时间可表示为
12
DE ED
+=DE+EN ．作点D 关于AC 的对称点D′，连接D′E ，则有D′E=DE ，D′C=DC ，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN ．根据两点之间线段最短可得：当D′、E 、N 三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时可证到四边形OCD′N 是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC ．然后求出点D 的坐标，从而得到OD 、ON 、NE 的值，即可得到点E 的坐标． 试题解析：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入y=
12
x 2
+mx+n ，得 31
902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：523m n ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为y=12x 2-52x+3． 联立2132153
22
y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为（4，1）．
过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1．
∵C （3，0），B （4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=2．同理：∠ACO=45°，AC=32， ∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，∴tan ∠BAC=
21
3
32BC AC ==； （Ⅱ）（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似． 过点P 作PG ⊥y 轴于G ，则∠PGA=90°．
设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得x ＞0，则PG=x ． ∵PQ ⊥PA ，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°． 若点G 在点A 的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ． ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB ， ∴△PGA ∽△BCA ，∴
1
3
PG BC AG AC ==．∴AG=3PG=3x ．则P （x ，3-3x ）． 把P （x ，3-3x ）代入y=
12x 2-52x+3，得12x 2-5
2
x+3=3-3x ， 整理得：x 2+x=0 解得：x 1=0（舍去），x 2=-1（舍去）． ②如图2②，当∠PAQ=∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ． 同理可得：AG=
13PG=13x ，则P （x ，3-1
3
x ）， 把P （x ，3-
13x ）代入y=12x 2-52x+3，得12x 2-52x+3=3-13x ， 整理得：x 2-
133x=0解得：x 1=0（舍去），x 2=133，∴P （133，14
9
）； 若点G 在点A 的上方，
①当∠PAQ=∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ，同理可得：点P 的坐标为（11，36）． ②当∠PAQ=∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ．同理可得：点P 的坐标为P （
173，44
9
）． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为（11，36）、（133，149）、（173，44
9
）； （2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3． 在Rt △ANE 中，EN=AE•sin45°=
2
2
AE ，即AE=2EN ， ∴点M 在整个运动中所用的时间为
12
DE ED
+=DE+EN ． 作点D 关于AC 的对称点D′，连接D′E ，则有D′E=DE ，D′C=DC ，∠D′CA=∠DCA=45°， ∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN ．
根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．
对于y=1
2x2-
5
2
x+3，当y=0时，有
1
2
x2-
5
2
x+3=0，
解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，
∴点E的坐标为（2，1）．
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ED是⊙P的切线；
（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1.解答：解：（1）∵C（2，0），BC=6，∴B（﹣4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，
∴OD=2tan60°=2，∴D（0，2），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），
把D（0，2）代入得a•4•（﹣2）=2，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；
（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，∴AE=3，∴=，==，∴=，
而∠DAE=∠DCB，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，∴CD为⊙P的直径，∴ED是⊙P的切线；
（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下：
∵△AED∽△COD，
∴=，即=，解得DE=3，
∵∠CDE=90°，DE＞DC，
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，
而点C、D在抛物线上，∴点E′不能在抛物线上；
（4）存在．
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+∴M（﹣1，），
而B（﹣4，0），D（0，2），
如图2，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M （﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（﹣5，）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（﹣3，﹣），
综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）．
x
如图，已知二次函数L 1：y ＝ax 2－2ax ＋a ＋3(a >0)和二次函数L 2：y ＝－a (x ＋1)2＋1(a >0)图像的顶点分别为
M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．
(1)函数y ＝ax 2－2ax ＋a ＋3(a >0)的最小值为________；当二次函数L 1，L 2的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是________；
(2)当EF ＝MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状(直接写出，不必证明)； (3)若二次函数L 2的图象与x 轴的右交点为A (m ，0)，当△AMN 为等腰三角形时， 求方程－a (x ＋1)2＋1＝0的解．
1. .解析：（1）∵()222313y
ax ax a a x ，∴min =3y ；
∵(,),(,)M N 1311，∴当x 1时，L 1的y 值随着x 的增大而减小，当x
1时， L 2 的y 值随着x 的增大而
减小， ∴x 的取值范围是x 11
（2）∵(,),(,)M N 1311，∴MN
22，
∵(,),(,)E a F a 0301，∴()EF a a a 3122，
∴a 2222，a
21
如图，∵MN y x 2，∴(,)A 02，
∴,AM AN 22，∴AM
AN
∵a 21，∴(,),(,)E F 02
202
2
∴,AE
AF
22，∴AE AF
∴四边形ENFM 是平行四边形， 已知EF
MN ， ∴四边形ENFM 是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
（3）∵(,),(,)M N 1311，(,)A m 0， ∴,(),()MN
AM
m AN m 22221911
① 当AM MN )m 21922，∴()m 2
11，等式不成立；
② 当AM AN )()m m 221911
∴m 2；
③ 当MN
AN )m 21122，∴,(m m 1
2
7171舍去）
∴(,)A 20或,)A 10，∵()y a x 211的对称轴为x
1，
∴左交点坐标分别是（-4,0）或（71，0），
∴方程(
)a x 2110的解为,,,x x x x 1
2
34
247171.
x x。
