高等数学第三章导数与微分续教学案例

解 方程两边对 x求导,得
exeydyyxdy0
dx dx
解得
dy dx
y ex ey x
.
因为当 x 0时，由原方程得 y 0 ，所以
dy dxx0
eyyexx
x0 y0
1.
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
第 三章
导数与微分
求导法则与导数公式
导数的四则运算
§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
4.1 隐函数的导数
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1求由方程 exeyxy2所确定的隐函数
y在 x 0处的导数
dy dx
x0 .
dt
即
dy (t) . dx (t)
或
y (t) . (t)
例6 已知椭圆的参数方程为
x a cost,
y
b
sin
t.
求解椭当圆t 在 相4 时应,的椭点圆上t 的4 相处应的点切M线0方的程坐.标是：
a2
x0
ac
o
s 4
2
,
b2
y0
bsin 4
2
.
曲线在 M 0 的切线斜率为：
(2t) (arct)a n
2 1
2(1t2).
1t2
§5 函数的微分
5.1 微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例8
设
x arctant, y ln(1t2)
求 dy , d 2 y . dx dx 2
2t
解
dy ln1( t2) 1t2 2t
dx (arctatn) 1
1t2
d d2y 2xd d(xd d)y x(d d)y xtd dx t(xy(t))t
得
5 y 4 d y 2 d y 121x6 0
dx dx
dy dx
ห้องสมุดไป่ตู้
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
例3 求曲线 x3y32xy0在点M01,1
处的切线方程.
解 方程两边分别对x求导，得
解得
3x23y2d y2y2xd y0.
dx dx
ddyx32yy232xx2
x1 y1
1.
于是所求切线方程为
y1(x1),
即
xy20.
例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数： 求
对数求导法
观察 y xsinx
5
另解 将幂指函数表示为
y esinxlnx.
直接求导得
yesixlnn x(cxolsn xsixn 1) x
xsixn(co xlsnxsixn1). x
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
1.定义
函数 y = f (x) 可微的条件
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
d d
y xt4((a bc siott))nst4 ba csotitnst4b a.
即得椭圆在 M 0 点的切线方程
yb22baxa22.
或 bxay 2ab0.
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导则
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
∴ 函数的微分为：
d y = (60x4 – 39x2 – 6x – 4 ) dx
例5 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
2. 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
(2e2x3co3xs)d.x
例3 求函数 y sin x 的微分. x2
解 d yd(sixn)x2dsixnsixnd2 x
x2
x4
xcoxs2sinxd.x x3
例4 求下列函数的微分 y = (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )
解： ∵ y′= (3x2 – 4)′ (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )′ = 6x (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (12x2 + 1 ) = 60x4 – 39x2 – 6x – 4
于是 y (x1) x1( 1 1 2 1). (x4)2ex x1 2(x1) x4
4.2由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x (t ),
y
(t)
确定 y为 x的函数，则称此函数关系所表达的函数
为由参数方程所确定的函数。
dydydtdy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
dyf(u)du 一阶微分形式不变性
例2 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
u
u
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：
例5
求
y
(x1) x1 (x 4)2ex
(x
1)
的导数。
解 两边取对数，得 ln y ln x ( 1 ) 1 ln x ( 1 ) 2 ln x ( 4 ) x
2
两边对 x求导，得
1y 1 1 2 1, y x1 2(x1) x4
说明:一般地
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
另解 将幂指函数表示为
y evlnu.
直接求导得
y e v ln u (v lu n v u ) u v(v lu n v u ).