第二次作业参考答案

由对称性可知：下端面泄漏中子数为
4.268 DR 2 ×1016 ( s −1 ) 。 H
（3）假设在堆内燃料均匀分布，根据 10 235 1J=3.125×10 次 U 核裂变所放出的能量， 反应堆内单位时间总共发生的裂变反应数为
φΣ f V = 3.125 ×1010 P ，
则
= Σf
3.125 ×1010 P 3.125 ×1010 P ， = φmax Fr FzV φV
dJ 0 (
2.405 r) R dr
r=R
π
H
z)
2.405 2.405 ⋅ − J1 ( r ) R R r=R
2.405 ×1016 π D cos( z ) J1 (2.405) R H 16 1.251×10 π = D cos( z ) R H
堆侧表面泄漏中子数：
解法二：
d Φ ( x, E ) 1 2n = − D 2n0ν ( E )e − x / λ e aE − =0 Dν ( E )e − x / λ e aE dx λ λ
J = ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω ) Ω ，
x ) v( E )n( x, E , Ω) cos µ J x= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn = y ) v( E )n( x, E , Ω) sin µ cos ϕ J y= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn = J z= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn v( E )n( x, E , Ω) sin µ sin ϕ = z)
φ (0, z )
=
∫
R
0
φ (r , z )2π rdr π R 2
∫
R
0
J0 (
2.405r )2π rdr π R 2 R J 0 (0)
R
R 2 2.405r 2.405r 2 ( ) J1 ( ) R R 0 2 J1 (2.405) 2.405 = = = 0.4324 2 R 2.405
其中 Fr 和 Fz 分别为径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比； 单位体积堆芯
235
U 的核数为 N u =
Σf
σf
，
则堆内
235
U 的总装量为:
= m VΣf N uV 3.125 ×1010 P = = A5 A5 A φmax Fr Fz N 0σ f 5 N0 N 0σ f
3.125 ×1010 ×107 × 235 ×10−3 2 1016 × 0.4324 × × 6.022 ×1023 × 410 ×10-28
Se − rΣa 4π r 2
− RΣ a
(2)当介质 Σ s ≠ 0 时，采用球坐标，有如下的扩散方程：
d 2φ (r ) 2 dφ (r ) φ (r ) + − 2 = 0, (r > 0) dr 2 r dr L
0 ，(d 为外推距离)；(ii) lim 4π r J (r ) = S ； 边界条件：(i) φ ( R + d ) =
H 2π 2 D 16 R 2.405 ) 2 rdr 10 ∫ J 0 ( r )rdr π = ∫0 0 2 H R 2π 2 D 16 4.268 DR 2 R 2 ) 2.405= = 10 ( J1 (2.405) ×1016 ( s −1 ) H 2.405 H
R
J (r ,
由边界条件(ii)得： A = 泄漏几率：
S ， 4π D(1 − e −2( R + d )/ L )
R/ L eR/ L 4π R 2 J ( R) 4π R 2 e − R / L e − R / L −2( R + d )/ L e = = + 2 ) + Ae − P D A( ( ) S S RL R RL R 2 − R/ L −R/ L R/ L R/ L 2 e S e e e 4π R = + 2 ) + e −2( R + d )/ L ( − 2 ) D ( −2( R + d )/ L S 4π D(1 − e R RL R ) RL
π n0 − x λ aE 2π e e ∫ dϕ ∫ (1 + cos µ ) cos µ sin µ d µ 0 0 2π
2 n0 v( E )e − x λ e aE 3
8．圆柱体裸堆内中子通量密度分布为
2.405r πz 1012 cos J 0( )(cm −2 s −1 ) Φ ( r, z ) = R H
可以证明，
J y ( x, E ) = J z ( x, E ) =
则
∫ ∫
Ω
, Ω) d Ω 0 J y ( x, E = , Ω) d Ω 0 J z ( x, E =
Ω
= J ( x, E ) J = x ( x, E ) v( E ) =
∫
Ω
Ω) d Ω J x ( x, E ,=
∫
Ω
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v( E )n( x, E , Ω) cos µ d Ω
∫ =
−H / 2
H /2
φ (r , z )dz H φ (r , 0)
∫
cos( z )dz H 2 H = π cos(0)
−H / 2
H /2
π
径向：最大中子通量在 r＝0 处取得， 径向平均中子通量密度与最大中子通量密度之比： 平均值定义： f ( x) =
∫ f ( x) * 2πrdr ∫ 2πrdr
−2 −1
16．设有一强度为 I ( m s ) 的平行中子束入射到厚度为 a 的无限平板层上，试求： (1)中子不遭受碰撞而穿过平板的概率； (2)平板内中子通量密度的分布； (3)中子最终扩散穿过平板的概率。
解法一：(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的几率： P = e
−Σt a
(2)选取坐标系，使中子入射面与 x=0 的平面重合。扩散方程为：
第二次作业参考答案 235 1．有两束方向相反的平行热中子束射到 U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强 度为 10 cm s 。自右面入射的中子束强度为 2 × 10 cm s 。计算：
12 12 −2 −1 −2 −1
(1)该点的中子通量密度； (2)该点的中子流密度； (3)设 Σ= 19.2 ×10 m ，求该点的吸收率。 a
其中：H、R 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计） 。试求： (1)径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比； (2)每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数； (3)设 H=7m，R=3m，反应堆功率为 10MW， σ f ＝410b，求反应堆内
5
235
U 的装载量。
解： （1）轴向：最大中子通量在 z＝0 时取得， 轴向平均中子通量密度与最大中子通量密度之比：
H 2.405 ∂φ (r , z ) J (r , ) = r) −D = − D ⋅1016 J 0 ( 2 R ∂z z = H / 2 = D ⋅1016 J 0 (
上端面泄漏中子数：
d cos(
π
H dz
z)
z=H / 2
2.405 π 2.405 π π r ) sin( z ) r) = ⋅ D ⋅1016 ⋅ J 0 ( R H H z=H / 2 H R
=
解法二：
R(1 + e −2 d / L ) e− R / L + 1 − e −2 d / L −2( R + d )/ L L (1 − e )
r r sh 查表 3-1 得到通解为： = φ (r ) A L + C L r r R+d 由边界条件(i)得： C = − Acth ， L ch
则 J (r ) = −D
d Φ(r ) DA r r r R+d r r R+d r = − 2 sh − cth ch − ch + cth sh ， dr r L L L L L L L L
由边界条件(ii)得： A = 泄漏几率：
S 4π D
，
P =
4π R 2 J ( R) 4π DA R R+d R R R R+d R ch − sh + ch − cth sh = cth S S L L L L L L L R+d R R+d R R+d R R+d R ch ch − sh sh sh ch − ch sh R L L L L+ L L L L R+d R+d L sh sh L L d d R d d ch sh ch + sh R L + L = L L L = R d R d R d + + + L sh sh sh L L L
其中： J1 (2.405) = 0.52 由贝塞尔函数表查得。 贝塞尔函数积分性质： x J n −1 ( x) dx = x J n ( x) + C
n n
∫
（2）堆侧表面净中子流：
∂φ (r , z ) πz −D = − D ⋅1016 cos( ) J ( R, z ) = ∂r r = R H =− D ⋅1016 cos( =
∞ ∞ 2n − x / λ aE n( x ) = − 0 e− x / λ (a < 0) ∫0 n( x, E )dE = ∫0 2n0e e dE = a
(2) φ ( x, E ) v= = ( E )n( x, E ) 2n0 v( E )e − x / λ e aE (3) 解法一：
J ( x, E ) = −D
e e
−x λ
aE
(1 + cos µ ) ，
其中： λ ，a 为常数， µ 是 Ω 与 x 轴的夹角。求： (1)中子总密度 n(x)； (2)与能量相关的中子通量密度 φ ( x, E ) ； (3)中子流密度 J ( x, E ) 。 解：(1)= n ( x, E , Ω )
n0 − x / λ aE e e (1 + cos µ ) 2π
H /2 1.251×1016 π D 2 π R cos( z )dz ∫− H /2 ∫ /2 − H R H 16 1.251×10 H = D2π R × 2 = 5.00 ×1016 DH (s −1 ) R π H /2
J ( R, z )2π Rdz =
上端面净中子流：
2 r →0
解法一：
e− r / L er / L ， 查表 3-1 得到通解为： = φ (r ) A +C r r
由边界条件(i)得： C = − Ae
−2( R + d )/ L
，
则 J (r ) = −D
e− r / L e− r / L d Φ(r ) er / L er / L = + 2 ) + Ae −2( R + d )/ L ( − 2 ) ， D A( dr rL r rL r
d 2φ ( x) φ ( x) 0, x > 0 − 2 = dx 2 L
边界条件：(i)在 x=a 处： J ( a ) = 0 ；(ii)在 x＝0 处： J (0) = I ； 查表 3-1 得到通解为： = φ ( x) Ae 由边界条件(i)得：
2 −1
解：(1)总的中子通量密度： 3 × 10 m ⋅ s ；
16
−2
−1
(2)总的中子流密度： 10 m ⋅ s ，方向向左；
16
−2
−1
(3)总的反应率： 19.2 × 10 × 3 × 10 = 5.76 × 10 m ⋅ s
2 16 19
−3
−1
2．设在 x 处中子密度的分布函数是
= n ( x, E , Ω ) n 0 2π
π
= 1.08 ×10 kg
3
14．在半径为 R 的均匀球体中心，有一个各向同性的单位强度热中子源，介质的宏观吸收截 面为 Σ a 。试分别求： (1)介质 Σ s = 0； (2) Σ s ≠ 0 两种情况下球体内的中子通量密度分布和中子自球表面逃到真空的概率是多 少？为什么这两者不同？ 解：(1)当介质 Σ s = 0 时：中子通量： φ (r ) = 泄漏几率： P = e
( x, E ) n= =
∫
n0 − x / λ aE e e (1 + cos µ )d Ω Ω 2π
∫ ∫
0
2π
π
0
n0 − x / λ aE n0 − x / λ aE ⋅ 4π 2n0 e − x / λ e aE e e (1 + cos µ ) sin µ= d µdϕ e e= 2π 2π