第二章应力状态分析
一、内容介绍
弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点
1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；
2、平衡微分方程与切应力互等定理；
3、面力边界条件；
4、应力分量的转轴公式；
5、应力状态特征方程和应力不变量；
知识点：
体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力
分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；
截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；
切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态
特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量
§2.1 体力和面力
学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：
1、体力；
2、面力。
1、体力
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示
设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为
令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x, F b y, F b z表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
2、面力
类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示
设△S 上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为
面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
§2.2 应力和应力状态
学习思路:
物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部
相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力集度定义为应力。
p n为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
学习要点：
1、应力矢量；
2、应力矢量的分解；
3、应力分量。
1、应力矢量
物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，如图所示
则可认为微面积上的内力主矢ΔF的分布是均匀的。设ΔS 的法线方向为n，则定义：
上式中p n为微面积ΔS 上的平均应力。如果令ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得
上述分析可见：p n是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力p n是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
2、应力矢量的分解
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量的一种分解方法是将应力矢量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用p x, p y, p z表示其分量，则p n=p x i + p y j+ p z k，这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。
另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量p n沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。与微分面ΔS 法线n方向的投影称为正应力，用 n表示；平行于微分面ΔS
