高等代数第6章线性空间

逆映射: 逆映射: 是双射, 若 f 是双射 f : A→B， f (a)=b → 则可以定义逆映射f 则可以定义逆映射 -1: B → A， f -1 (b)=a f -1还是双射 并且有 还是双射,并且有 并且有: f -1f =1A, f f -1=1B.
设映射f 定理 设映射 : A→B, g: B→C, → → (1) 若 f 单 g 单, 则 gf 也单 也单; (2) 若 f 满 g 满, 则 gf 也满 也满; (3) 若 f 双 g 双, 则 gf 也双 也双. 定理 设映射 f : A→B, g: B→C, → → (1) 若 gf 单, 则 f 单; (2) 若 gf 满, 则 g 满; (3) 若 gf 双, 则 f 单 g 满.
空集合（不含任何元素的集合） 空集合（不含任何元素的集合）记为 ∅ 集合的包含
称M是N的子集（记为M ⊂ N），
如果x ∈ M ⇒ x ∈ N
集合的相等
称M = N，如果M和N具有相同元素。 或者说x ∈ M ⇔ x ∈ N； M =N ⇔ M ⊂ N,N ⊂ M
二、映射 从集合A到 的映射 从集合 到B的映射 是指A到 的一个对应法则 的一个对应法则, 是指 到B的一个对应法则 使得对于每一个 a∈A, 都有 中唯一确定的元素 b与之对应 记作 与之对应,记作 ∈ 都有B中唯一确定的元素 与之对应
中次数小于 例6 Pn[x](或P[x]n): P[x]中次数小于 的多 或 中次数小于n的多 项式全体加上零多项式,对于多项式的 项式全体加上零多项式 对于多项式的 加法和数与多项式的乘法, 构成数域P 加法和数与多项式的乘法 构成数域 上的线性空间． 上的线性空间．
次数等于n的多项式全体 的多项式全体, 例 7 次数等于 的多项式全体 , 在多项式 加法及数乘多项式运算下不是线性空 因为对于加法不封闭, 即两个n次 间 . 因为对于加法不封闭 , 即两个 次 多项式的和不一定是n次的 次的． 多项式的和不一定是 次的． 数域P上的齐次线性方程组Ax=0的全 例8 数域P上的齐次线性方程组 的全 体解向量, 体解向量 , 在向量加法及数乘向量运 算下构成P上线性空间． 算下构成P上线性空间． 数域P 例 9 数域 P 按其本身运算即数的加法与 乘法，构成数域P自身上的线性空间． 乘法，构成数域P自身上的线性空间．
定义
在数域P与集合 的元素之间定义一种 在数域 与集合V的元素之间定义一种 “ 数 与集合 的元素之间定义一种“ 量乘法”运算, 即对于任意k∈ 和 量乘法”运算 即对于任意 ∈P和α∈V, 在V中 中 与之对应,δ称为 称为k与 也都有惟一确定的元素 δ 与之对应 称为 与 α 数量乘积, 数量乘积 记作δ =kα.
例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法， 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间 上的线性空间. 构成实数域 上的线性空间.
例5
P[x]: 系数属于数域 的一元多项式 系数属于数域P的一元多项式 环 ,按通常多项式的加法和数与多项式 按通常多项式的加法和数与多项式 的乘法, 构成数域P上的线性空间 上的线性空间． 的乘法 构成数域 上的线性空间．
a ∈ A表示a是A的元素， a ∈ A a∈A）表示a不是A的元素， （或
集合的表示法：列举法； 集合的表示法：列举法；描述法
{1，，，...,n,...} 23 {a ∈ C 存在正整数n,使得a = 1} |
n
集合的运算
M ∩ N = {x | x ∈ M且x ∈ N} M ∪ N = {x | x ∈ M或x ∈ N}
Rn: 为n维实向量空间 维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间. 维实向量空间, 维实向量空间 即通常的几何空间.
× 数域P上 × 矩阵全体组成的集合 例3 Pm×n: 数域 上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成 上 线性空间. 线性空间
σ : Z → M, σ (n) = 2n
则σ 是Z到M的映射。
例2 设P是一个数域。定义 是一个数域。 是一个数域
σ :P
n×n
→ P, σ (A) = A
则σ 是P
n×n
到P 的映射。
例3（恒等映射） 设M 是任意一个非 （恒等映射）
空集合。 空集合。定义映射
σ : M → M, σ (x) = x,∀x ∈ M
第6章 章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合·映射 集合 映射 线性空间的定义与简单性质 维数·基与坐标 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
集合·映射 §1 集合 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。 集合的定义:作为整体看的一堆东西。通 的定义 常用大写英文字母A,B,C,…表示。 表示。 常用大写英文字母 , 表示 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 组成集合的东西叫元素， 元素 母a,b,c,…表示 , 表示
这里的零元素是实数1, 的负元素是 的负元素是a 这里的零元素是实数 a的负元素是 -1．
只含一个元素, 是任意数域. 例 11 设 V={a}只含一个元素 P是任意数域 只含一个元素 是任意数域 定义V中的加法⊕与数乘运算·为 定义 中的加法⊕与数乘运算 为 中的加法 a⊕a=a k·a = a 对于所定义的运算构成数域P上的线性空间 则V对于所定义的运算构成数域 上的线性空间 对于所定义的运算构成数域 上的线性空间. 这里a就是 的零元素 这种仅有一个零向量 这里 就是V的零元素 就是 的零元素, 线性空间称为零空间 零空间一般记作0 零空间， 组成的 线性空间称为零空间，零空间一般记作 = {0}． ．
σ
σ : A → B, a ֏ b
称元素b为 在 作用下的象 称元素 为a在 σ 作用下的象, 记作 称a是b的原象 是 的原象,
σ (a) = b
记象集合为
σ (A) = {σ (a) | a ∈ A}
是整数全体， 是偶数的全体 是偶数的全体。 例1 设Z是整数全体，M是偶数的全体。定义 是整数全体
作业:p267: 1,2 作业
练习： 的子集。 练习：设 f:A→B 是双射。U是A的子集。 → 是双射。 是 的子集 用 X 表示 的补集。 表示X 补集。 证明
f (U ) = f (U ).
§2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
是一非空集合,其元素 设V是一非空集合 其元素（称为 是一非空集合 其元素（ 表示; 是一数 向量） 向量）以希腊字母 α,β, γ,…表示 P是一数 域,其元素以拉丁字母 a, b, c, …, k, l,…表示 其元素以拉丁字母 表示. 表示 在集合V的元素之间定义一种 加法” 的元素之间定义一种“ 在集合 的元素之间定义一种“加法” 运算, 运算 即对于任意α,β∈V,在V 中都有唯一确 在 与之对应, 的和,记作 定的元素γ与之对应 称γ为α与 β的和 记作 γ = α + β.
与恒等映射的合成: 与恒等映射的合成: f:A→B, → 1Bf =f1A=f
单射(1- 映射): 单射(1-1映射): a1≠a2 ⇒ f(a1) ≠ (1 f(a2) ⇔ (f(a1) = f(a2) ⇒ a1= a2) 满射(映上的 映上的): f(A) = B 满射 映上的 ⇔∀b∈ ⇔∀ ∈B, ∃ a∈A, s.t. b = f(a). ∈ 双射(1- 对应): 双射(1-1对应): 既单又满 (1
例 10
设 V是全体正实数的集合 +, 数域 是全体正实数的集合R 是全体正实数的集合 是实数域R. 定义V中的加法 与数乘·为 中的加法⊕ 是实数域 定义 中的加法⊕与数乘 为 a ⊕ b = ab k·a = ak 对于所定义的运算构成实数域R上 则 R+对于所定义的运算构成实数域 上 的线性空间. 的线性空间
如果上述运算满足如下8条运算性质 则称V 如果上述运算满足如下 条运算性质, 则称 条运算性质 数域P上的 上的线性空间 是 数域 上的线性空间
1°加法交换律：α +β = β + α ； 加法交换律： 2°加法结合律：(α +β )+ γ = α + (β + γ)； °加法结合律： ； 3°存在向量 ，使得对任一个向量α ,都有 °存在向量0， 都有 α+0=α; 4°对任一个向量α , 存在向量α ’，使得 ° α + α ’ = 0. 5°1的数乘 1α = α ； 的数乘: ° 的数乘 6°数乘结合律：k(lα) = (kl)α ; °数乘结合律： 7°数乘分配律：k(α +β ) = kα + kβ; °数乘分配律： 8°数乘分配律：(k + l)α = kα + lα. °数乘分配律： 中的向量， ∈ 其中α, β, γ 是V中的向量，k,l∈P. 中的向量
二、简单性质wenku.baidu.com
的零元素） (1) 定义条件 3°中 0（ 称为 的零元素）是唯 ° （ 称为V的零元素 一的． 一的． (2) 对于任意 α ∈ V，定义条件 °中 α’ （称为 ，定义条件4° α的负元素 ）是唯一的．记为 α 。 是唯一的．记为(3) 0α = 0，k0 = 0． ， ． (4) 若kα = 0，则k = 0,或α = 0． ， 或 ． 证 若 k ≠ 0,则k-1(kα) = k-10 = 0. 而 则 k-1(kα) = (k-1k)α = 1α = α, 所以, 所以 α = 0． ． (5) 每个向量 α 的负向量等于 (−1)α −
称为M的恒等映射，记为1M
例4（常值映射） 常值映射） 设M,M’是任意两个 是任意两个 非空集合。 中固定元素。 非空集合。x0 是M’中固定元素。 中固定元素 定义映射
σ : M → M', σ (x) = x 0 , ∀x ∈ M
合成(乘法): 合成(乘法): f:A→B, g:B→C.定义 → → 定义 gf:A→C, (gf)(a) =g(f(a)) a∈A . → ∈ 的映射。 则gf是A到C的映射。称为 和g的合成或 是 到 的映射 称为f和 的合成或 乘法。 乘法。 定理 映射的合成满足结合律. 映射的合成满足结合律.
作业: 作业 p267. 3(3,4,5,6)
§3
维数·基与坐标 维数 基与坐标
向量空间中的概念和结论, 向量空间中的概念和结论,都可平移过来. 是数域P上的线性空间 定义 设V是数域 上的线性空间 α1, α2, …, αs是V中 是数域 上的线性空间, 中 是数域P 中的一组数, 的一组向量, 的一组向量 k1, k2, …, ks是数域 中的一组数 表 示 式 k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s 的一个线性组合 线性组合, 称为向量组α1, α2, …, αs的一个线性组合 k1, k2,…, ks称为该组合的系数 若令向量 β … 称为该组合的系数. 使得 β = k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s ， 线性表示, 则称 β 可由向量组α1, α2, …, αs线性表示 的线性组合. 也称 β是向量组α1, α2, …, αs的线性组合.
解析几何中讨论的3维空间中的向量 例 1 解析几何中讨论的 维空间中的向量 全体,加法按平行四边形法则 还有数乘 全体 加法按平行四边形法则,还有数乘 加法按平行四边形法则 还有数乘, 构成3维实向量空间 维实向量空间.几何与力学的许多 构成 维实向量空间 几何与力学的许多 问题可以由此来描述. 问题可以由此来描述 数域P上的所有 上的所有n维向量组成的集 例2 Pn: 数域 上的所有 维向量组成的集 连同在其上定义的加法和数乘运算, 合, 连同在其上定义的加法和数乘运算 构成数域P上的线性空间 称为n维向量 上的线性空间, 构成数域 上的线性空间 称为 维向量 空间(vector space) ． 空间