第9章正弦稳态功率和能量 三相电路

不对称三相电路的概念
三相电路的功率
§9.1 基本概念
一、瞬时功率
设端口电流i(t)及电压u(t) 分别为：
i(t) ＋ u(t) － N
i( t ) I m cos t
u( t ) Um cos( t )
则网络N吸收的瞬时功率为：
p( t ) u( t )i ( t ) Um cos( t ) I m cos t
从图上看出，u(t)或i(t)为0时，p(t)为0，当二者同号时， p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路释放 功率。
阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能 量多，说明电路有能量的消耗。
二、有功功率（也叫平均功率）和功率因素
1 P T

T 0
1 p( t )dt T
P US I cos 10 1.24 cos 29.7o 10.8 W
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t ) 10 2 cos 2t V
3 I
I 1 4
－j4
解 2：
＋ U S 100o V j4 －
1.24 / 29.7o A I
第9章 集总电路中电压、电流的约束关系
§9.1 基本概念 §9.2 电阻的平均功率 §9.3 电感、电容的平均储能 §9.4 单口网络的平均功率 §9.5 单口网络的无功功率 §9.6 复功率 复功率守恒 §9.7 正弦稳态最大功率传递定理
§9.8 三相电路
本章重点 正弦稳态电路的功率分析 三相电路的基本概念 对称三相电路的分析
U
－
jL
jC
u i 0o 18.5o 18.5o
cos cos(18.5 ) 0.948
o
则：
P UI 100 12.65 0.948 1199 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。
视在功率不守恒：S P 2 Q 2 Sk
六、动态元件的储能 1、电感元件
1 2 1 2 1 2 2 w( t ) Li ( t ) LIm sin t LIm (1 cos 2t ) 2 2 4 1 2 1 2 LI LI cos 2t 2 2 1 2 平均储能：wL LI 2 1 1 2 2、电容元件 wC CUm CU 2 4 2
Um I m cos( t ) cos t
UI cos UI cos(2 t )
p( t ) Um I m cos( t ) cos t UI cos UI cos(2 t )
p，i，u p(t)
UI cos
o
u( t ) t i(t)
Z 10 / 0o 10 8.77 / 105.3o (10 j25) S发 I 1 1
(1884 j1425) VA
§9.7 正弦稳态最大功率传递定理
I
有 源 网 络 负 载 等效电路
ZS ＋ U S －
ZL
ZS RS jX S
分两种情况：
功率因数理论上可以补偿成以下三种情况:
欠 I C
补 偿
＜0
I C
＝0
I C
C 较大
I
I RL
呈电感性
U
I I RL
呈电阻性
U
I
过 补 偿
U
＞0 I RL
呈电容性
较小） （I C
较大） （I C
一般情况下很难做到完全补偿 （即：cos＝1 ） 结论：在 cos 相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容 量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。
R L
I C
C
P I1 U cos 1
并联电容C后： P UI cos 2
P I U cos 2
I C
I C I1 sin1 I sin 2 P P sin 1 sin 2 U cos 1 U cos 2
2
1
U I I C I
o
10 / 0o I 14.94 / 34.5o A I 2 1
Z1
Z2
I * Z I 2 (10 j25) 8.77 2 (769 j1923) VA S1 Z1 I 1 1 1 1 I * Z I 2 (5 j15) 14.942 (1116 j3348) VA S2 Z 2 I 2 2 2 2
1.24 / 29.7o I 1
2
j4 1.24 / 60.3o A ( 4 j 4) j 4
2
P 1.24 3 1.24 4 10.8 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。 100 / 0o V I 12.65 / 18.5o A U I I ＋ C 1 求单口网络的功率P以及功率因素 。 I 1 R
（2）电感元件
i ＋
L u
－
u(t ) Um cos( t ) i (t ) I m cos t
90o
PL UI cos UI cos 90 0
o
QL UI sin UI sin 90 UI
o
LI 2WL
2
（3）电容元件
i ＋
Z
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。 表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关， 而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别，主要由 于电压、电流存在相位差。
如果一端口仅有R、L、C元件组成，则可以证明，有 功功率等于各电阻消耗的平均功率的和。即：
P ＝端口处所接电源提供的平均功率 ＝网络内部各电阻消耗的平均功率的总和
1
P 则： I C (tan 1 tan 2 ) U
又因为：I C U C 并联电容C前： cos 1 0.6
P C (tan 1 tan 2 ) 2 U
1 53.13o
2 25.84o
cos 2 0.9 并联电容C后：
20 103 o o C (tan 53 . 13 tan 25 . 84 ) 375 μF 2 2π 50 380
UI cos
I 希望将 cos 提高
提高功率因数的方法
在实际电路中，通常是采用在负载两端并联电容器（或 同步补偿器）的方法来提高电路的功率因数。
＋ I
U
－
I 1
R
L
I C
C
I C
2
1 I
I 1
U
应该注意的是，并联电容后，电路的功率因数得到了 提高，但负载本身的工作状态并未改变，它的功率因数、 有功功率、无功功率都没有改变。
在 50Hz ， 380V 的 电 路 中 ， 一 感 性 负 载 吸 收 的 功 率 P=20kW，功率因素1=0.6，若要使功率因素提高到 0.9，求 负载的端口并接的电容器的电容值。 分析依据：补偿前后 P、U 不变 并联电容C前： P UI1 cos 1
＋ I
U
－
I 1
ZL RL jX L Z
1、RL 和XL均可任意改变 2、阻抗角 固定，阻抗模 |Z| 可任意改变

T 0
[UI cos UI cos(2 t )] dt
UI cos UI UI cos Z 单位：W
总电压 总电流
( cos ) —— 单口网络的功率因素，用来衡量对电源的
利用程度。
称为功率因数角，电压与电流的相位差 u i
当N内无独立源时为端口等效阻抗的阻抗角
o
2 2 U 100 则： P 0.9487 1200 W 7.906 Z eq
三、无功功率 电感和电容虽然并不消耗能量，但却会在二端 网络与外电路之间造成能量的往返交换现象。
无源二端网络的无功功率Q为：
Q UI sin 单位：乏（var）
若电路呈感性时： sin 0 网络吸收无功功率。 若电路呈容性时：sin 0 网络发出无功功率。
100 / 0o V，求单口网络的功率P以及功率因素 。 U
Zeq ( R j L) //
1 j C
＋ I
U
－
I 1
R
( 3 j 4) //( j 5)
jL
I C 1 jC
7.5 j 2.5 7.906 / 18.43o
cos(18.43 ) 0.9487
电力系统中多数电气设备均为感性负载，它们工作时除 了要从电源吸收有功功率外，还要从电源吸收无功功率。由
于输电线中电阻和电感存在，当电流通过时，在输电线上总 要产生电能损耗和电压损耗。
＋ I
U
－
R U R
－ ＋
＋
U L
U
L U L －

U R
I
其中消耗的有功功率为：P 当U、P 一定时， cos
C u
－
u(t ) Um cos( t ) i (t ) I m cos t
90
o
PC UI cos UI cos(90 ) 0
o
QC UI sin UI sin( 90 ) UI
o
CU 2 2WC
八、功率因素的提高
四、视在功率
通常将单口网络的电压和电流有效值的乘积称为视在 功率，用S表示，即
S＝UI 单位：伏安（VA）
视在功率反映了设备的容量。电机和变压器的容量是 由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此往往可以用 视在功率来表示。至于它们能提供多大的平均功率，主要 取决于 。 有功功率 P Байду номын сангаас视在功率 S 之比称为电路的功率因数。
P cos S
五、 P、Q、S 之间存在如下关系
P UI cos S cos Q UI sin S sin
S P Q UI
2 2
S
Q

P
功率三角形
Q arctan P
有功功率守恒： P Pk P1 P2 无功功率守恒： Q Qk Q1 Q2
复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支 路吸收的复功率之和为零。即
(P
k 1
b
k
jQk ) Sk 0
k 1
b
求电路各支路的复功率
I I 2 1 100 A ＋ 10 5 5 j 15 o 10 / 0 I U 1 10 j25 5 j15 － j25 －j15 8.77 / 105.3o A
七、R、L、C元件的有功功率和无功功率
（1）电阻元件
i ＋ R u －
u(t ) Um cos( t ) i (t ) I m cos t
0
o
2 U PR UI cos UI cos 0o UI I 2 R R o QR UI sin UI sin 0 0
2 P Rk I k UI cos
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t ) 10 2 cos 2t V
3
＋ uS(t) － 2H
4
1 F 8
3 I
－
I 1 4
－j4
＋ U S 100o V j4
作电路的相量模型
j 4(4 j 4) 解 1： Z 3 7 j 4 8.06 / 29.7o j 4 ( 4 j 4) o U 10 / 0 o S I 1 . 24 / 29 . 7 A o Z 8.06 / 29.7
§9.6 复功率
设端口的电压相量和电流相量分别为 ＋
I
负 载
U U u
I I i
U －
* I 为电流相量的共轭复数 I i
I * UI / u i UI / 复功率定义为： S U UI cos j sin P jQ