过程设备设计-第三版-教案PPT第二章-第三节解析

又sin d d
22
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程
MrddM rrrMQrr0
2、几何方程 取 ABdr
a.
径向截面上与 中面相距为z，
半径为 r 与 r dr
两点A与B构成的微段
图2－29
圆平板对称弯曲的变b .形关系
r dr
m
m1
zA
B
r
z
n
n1
d
wm zA
m1
B
n n1
r dw
z
+d
线性分布， 图2-30中所示为径向应力的分布图。
l
dz t/2 t/2
Mr o
Mr
z
o
r
r
z
z
图2-30 圆平板内的应力与内力之间的关系
r 、 的线性分布力系便组成弯矩 M r、 M 。
单位长度上的径向弯矩为：
t
Mr
2 t
r
zd
z
2
同理
Mr Ddd2rw 2 r ddw r
M D1rddw rdd2w r2
轴对称性
几何对称，载荷对称，约束对称，
在r、θ、z圆柱坐标系中
挠度w只是 r 的函数，而与θ无关。
分析模型 pz
t/2 t/2
z
a.
R
d
r
r d
o y
z
d
Qr+
dQr dr
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M
t
Qr dr
c.
P M
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
dMr dr
dr
r+dr
o
Qr
M
T
b.
d.
图2-28 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力（a）
z
a.
挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程 微元体
用半径为r和r+dr的
两个圆柱面和夹角为
dθ的两个径向截面截
出板上一微元体如图2 －28（a）、（b）
R
d
r
r+dr
b . 图2-28 圆平板对称弯曲时的
内力分量及微元体受力(b)
w6p D 4 R2r224R21R 2r2
弯矩表达式：
Mr
p 3R2
16
r2
M
p R23r213
16
应力表达式：
r 83tp2 3R2 r2
83tp2 R23r213
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处
M rma xM ma xp 12 R 6 3
r
E
1 2
r
1
E
2
r
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 将几何方程带入物理方程，可得
r
Ez
1 2
d2w dr2
r
ddwr
Ez
1
2
1 r
dw
dr
d2w dr2
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 M r和 M 表示成
的形式。由上式可见， r和 沿着厚度（即z方向） 均为
P
dQr
a.
Qr dr
r+dr
o y
z
1、R 平衡方d程
微体内力与r 外力对圆柱面
d
切线T的力矩代数和为零，
c.
P M
Mr
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr+
dMr dr
dr
即ΣMT=0 b .
o
Qr
M
T
图2-28 圆平d板. 对称弯曲时的
内力分量及微元体受力(d)
M r d d r d M r r r d d r M r r d 2 M d sd 2 r i Q n r rd d p z rd d d 2 r 0 r
板变形后： 微段的径向应变为
r
zdzzd
dr
dr
过A点的周向应变为 2r2zr2rz r
作为小挠度
dw dr
，带入以上两式，
应变与挠度关系 的几何方程
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
（一）薄板以及变形特征
满足 0.01 t 0.2
b
变形为双向弯曲
o
x
载荷 内力
平面载荷
横向载荷 复合载荷
yz
图2-27 薄板
薄膜力 （中面内的拉、压力和面内剪力）
弯曲内力（弯矩、扭矩和横向剪力）
（二）基本假设（克希霍夫Kirchhoff）
➢板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线ω的挠度 。
对r连续两次积分 得到挠曲面在半径方向的斜率
（得到中面在弯曲后的挠度） w6pD 4 4rC 1 4 r2C2ln rC3
dw pr3 C1rC2 dr 16D 2 r
C1、C2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
D
12
Et3
1
2
“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有 关
将弯矩关系式代入应力关系式，
得弯矩和应力的关系式为：
r
12 M t3
r
z
12 M t3
z
上式代入平衡方程，得：
d3w1d2w1dw Qr d3r rd2r r2 dr D
受轴对称横向载荷圆形薄 板小挠度弯曲微分方程：
ddr1r ddrrddwrQDr
挠度微分方程的建立： 基于平衡、几何、物理方程
微元体内力 微元p z体外力
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr
周向：Mθ、 Mθ
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr
Qr+
dQr dr
dr
P M
Mr+
dMr dr
dr
r
r
上表面
Mr
M
t
z P=prdθdr
d
a.
Qr
dr
o z
图2-28 圆平板c对.称弯曲时的 y 内力分量及微元体受力(c)
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
三、受均布载荷的圆平板
（一）承受均布载荷时圆平板中的应力
据右图，可确定作用在半径为r的
圆柱截面上的剪力，即：
Qr
r2 p 2r
pr 2
代入弯曲微分方程
均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为
r Or
Mr Qr
Qr Mr
图2-31 均布载荷作用 时圆板内Qr的确定
ddr1rddrrddw r2pDr
dw pr 3 C1r dr 16 D 2
w
pr 4 64 D
C1r 2 4
C3
式中C1、C3由边界条件确定
（二）周边简p支的圆平板
p
r
r
r R, w 0
rR R, Mr R0
z
源自文库
R
R
z
a.
图2-32 周边b简.支圆平板
将上述边界条件代入受均布载荷圆平板的公式，解得积
分常数C1、C3：
得到挠度方程
rma xma x338 p t22R
周边简支板下表面的应力 分布曲线见图2-34。
图2-34 周边简支圆板的 弯曲应力分布（板下表面）
只有横向力载荷
➢变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。
➢平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
二、圆板轴对称弯曲的基本方程
（一）圆板中力的分析
分析模型 见图2-28
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量