初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。

这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。

无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。

本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。

第一套试题：平方和试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。

如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。

我们可以用双重循环解决这个问题：```ans = 0for a in range(1, 12):for b in range(1, 12):if a * a + b * b == 130:ans += 1print(ans)```第二套试题：比率试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出$x$ 的值。

解析：我们可以用比率法解决这个题目。

首先，根据第一个给出的条件，我们有：```3a = 4b```其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。

然后，根据第二个条件，我们可以得到：```3b = 2c```其中，$c$ 是中等苹果的重量。

现在我们只需要将 $a$ 和$c$ 的比率相等，即：```a / c = 20x / (20 - x)```通过简单的代数运算，我们可以得到：```60x = 80(20 - x)x = 16```因此，我们需要加入 $16$ 个大苹果。

第三套试题：平均值试题：32 个正整数的平均值为20，当其中一个数字被改变后，平均数变为 19.875。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

初二数学奥林匹克竞赛题摘要：一、前言- 介绍初二数学奥林匹克竞赛的背景和意义二、竞赛题型及难度- 选择题- 填空题- 解答题- 难度分级三、竞赛知识点- 几何部分- 代数部分- 数论部分- 组合部分四、解题技巧与策略- 分析题目- 制定解题计划- 运用解题技巧- 检查答案五、备考建议- 扎实基础- 勤于练习- 参加模拟考试- 调整心态六、总结- 回顾竞赛意义- 鼓励参赛者积极备考正文：一、前言初二数学奥林匹克竞赛是我国中学数学教育领域的一项重要赛事，旨在选拔和培养具有数学天赋和潜力的学生，激发他们对数学的兴趣和热爱。

参加初二数学奥林匹克竞赛不仅有助于提升学生的数学素养，还能为他们日后的学习和职业生涯打下坚实的基础。

二、竞赛题型及难度初二数学奥林匹克竞赛题型丰富多样，包括选择题、填空题、解答题等。

题目难度分为初级、中级和高级三个等级，以适应不同层次学生的需求。

学生需要根据自己的实际情况选择合适的难度进行挑战。

三、竞赛知识点初二数学奥林匹克竞赛主要涉及几何、代数、数论和组合四个方面的知识点。

学生需要掌握这些知识点的核心内容，并学会运用它们解决实际问题。

在备考过程中，学生应针对这些知识点进行系统的学习和复习。

四、解题技巧与策略1.分析题目：首先要认真阅读题目，理解题意，找出关键信息。

2.制定解题计划：根据题目难度和知识点，制定合适的解题策略。

3.运用解题技巧：灵活运用各种解题方法，如代换法、消元法、构造法等。

4.检查答案：在提交答案前，要仔细检查计算过程和结果，确保正确无误。

五、备考建议1.扎实基础：学生应在平时的学习中打牢基础，掌握基本概念、定理和公式。

2.勤于练习：通过大量练习，提高解题速度和准确率，培养解题技巧。

3.参加模拟考试：模拟真实考试环境，检验自己的学习成果，查漏补缺。

4.调整心态：保持积极乐观的心态，相信自己，充分发挥自己的实力。

六、总结初二数学奥林匹克竞赛对于学生的数学能力和综合素质的培养具有重要意义。

第十章四边形旳趣味问题第一节四边形旳分类与鉴定【知识点拨】1.四边形旳性质: 四边形旳内角和等于3600。

2、四边形旳旳分类: （1）对边平行；（2）对边不平行。

本节研究是对边不平行旳四边形。

没用措施是转化为三角形进行研究。

【赛题精选】例2.如图: 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F旳度数。

（1999年重庆市竞赛题）【阐明】探索存在型问题是指在一定条件下, 判断与否存在某个结论。

解答此类问题, 先假设结论存在, 从假设出发, 根据题设条件及有关性质进行推理论证, 若推出矛盾, 则不定假设, 若推出合理旳成果, 则阐明假设对旳。

这种措施叫“假设法”。

【阐明】对于四边形, 作对角是常用旳辅助线！【针对训练】第二节平行四边形旳问题【知识点拨】1.平行四边形性质: 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。

2.矩形性质: 矩形除具有平行四边形旳性质外, 还具有对角线相等、四个角是直角。

3、菱形性质：除具有平行四边形旳性质外, 尚有四条边相等、对角线互相垂直、且每一条对角线平分一组对角。

4、平行四边形问题旳处理措施:（1）转化为三角形问题来处理；（2）常用平行四边形旳性质来处理。

【赛题精选】例2.凸四边形ABCD中, AB∥CD, 且AB＋BC＝CD＋AD求证: ABCD是平行四边形。

（1990年芜湖市竞赛题）例3.平面上有三个正△ABD.△ACE、△BCF, 两两共有一种顶点。

求证: CD与EF互相平分。

（1990年芜湖市竞赛题）例4.在Rt△ABC中, ∠ACB＝900, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 交CD于K, 交BC 于E、, F是BE上一点, 且BF＝CE。

求证: FK∥AB。

（大连市第八届“育英杯”竞赛题）例6.矩形ABCD中, AB＝20cm, BC＝10cm, 若在AC.AB上各取一点M、N, 使BM＋MN旳值最小, 求这个最小值。

（1998年北京市竞赛题）例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点, PE⊥AC于点E, PF⊥BC于点F, PG⊥EF于G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD＝PC。

第四章一元一次方程及其应用第一节一元一次方程例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（）A、乘以同一个数B、乘以同一个整式C、加上同一个代数式D、都加上同一个数例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4A、甲方程两边都加上了同一个整式B、甲方程两边都乘以了4/3xC、甲方程两两边都乘以了4/3D、甲方程两边都乘以了3/4例3、方程1⎧1⎡1⎛1⎫⎤⎫x-1⎪-1⎥-1⎬-1=2001的根x=__________。

⎨⎢2⎩2⎣2⎝2⎭⎦⎭例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（）A、5B、-900C、-1900D、-2980例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。

则P2－Q＝____。

例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。

25yx（1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124（3）1⎡1⎤2z-(z-1)=(z-1) ⎥2⎢2⎣⎦327例7、解方程：x-=1990的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 2829第二节列方程解应用题例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。

若第二天剩下6个核桃。

问海滩上原有多少个核桃？（20个）例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。

初一奥林匹克数学竞赛真题及答案一、选择题(每题1分，共10分)1.如果a，b都代表有理数，并且a+b=0，那么()A.a，b都是0.B.a，b之一是0.C.a，b互为相反数.D.a，b互为倒数.2.下面的说法中正确的是()A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式.C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式.3.下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数.B.没有最小的正有理数.C.没有的负整数.D.没有的非负数.4.如果a，b代表有理数，并且a+b的值大于a-b的值，那么()A.a，b同号.B.a，b异号.C.a>0.D.b>0.5.大于-π并且不是自然数的整数有()A.2个.B.3个.C.4个.D.无数个.6.有四种说法：甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身;丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身.这四种说法中，不正确的说法的个数是()A.0个.B.1个.C.2个.D.3个.7.a代表有理数，那么，a和-a的大小关系是()A.a大于-a.B.a小于-a.C.a大于-a或a小于-a.D.a不一定大于-a.8.在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A.乘以同一个数.B.乘以同一个整式.C.加上同一个代数式.D.都加上1.9.杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()A.一样多.B.多了.C.少了.D.多少都可能.10.轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将()A.增多.B.减少.C.不变.D.增多、减少都有可能.二、填空题(每题1分，共10分)1.______.2.198919902-198919892=______.3.=________.4.关于x的方程的解是_________.5.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______.6.当x=-时,代数式(3x3-5x2+6x-1)-(x3-2x2+x-2)+(-2x3+3x2+1)的值是____.7.当a=-0.2，b=0.04时，代数式的值是______.8.含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克.9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么完成这批零件的一半，一共需要______天.10.现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合.答案及解析一、选择题1.C2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.D9.C10.A提示：1.令a=2，b=-2，满足2+(-2)=0，由此2.x2，2x2，x3都是单项式.两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A.两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B.两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D.3.1是最小的自然数，A正确.可以找到正所以C“没有的负整数”的说法不正确.写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无非负数，D正确.所以不正确的说法应选C.5.在数轴上容易看出：在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3，-2，-1，0共4个.选C.6.由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的.由(-1)3=-1，可知丁也是正确的说法.而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确.即丙不正确.在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确.所以选B.7.令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D.8.对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数.所以排除A.我们考察方程x-2=0，易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1，得(x-1)(x-2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B.若在方程x-2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根.所以应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D.9.设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a;第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a;第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C.10.设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v>v0)则往返一次所用时间为由于v-v0>0，a+v0>a-v0，a+v>a-v所以(a+v0)(a+v)>(a-v0)(a-v)∴t0-t<0，即t0二、填空题提示：2.198919902-198919892=(19891990+19891989)×(19891990-19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979.3.由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28-1)(28+1)(216+1)=(216-1)(216+1)=232-1.2(1+x)-(x-2)=8,2+2x-x+2=8解得;x=45.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+…+(4999-5000)=-2500.6.(3x3-5x2+6x-1)-(x3-2x2+x-2)+(-2x3+3x2+1)=5x+27.注意到：当a=-0.2，b=0.04时，a2-b=(-0.2)2-0.04=0，b+a+0.16=0.04-0.2+0.16=0.8.食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%(千克)设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000(克).。

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，②AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。

初中奥数竞赛常见题型整理奥数竞赛作为一项富有挑战的数学竞赛，对学生的逻辑思维和数学运算能力提出了很高的要求。

初中生参加奥数竞赛时，常常会遇到一些常见的题型。

本文将对初中奥数竞赛中常见的题型进行整理。

一、排列组合与概率题排列组合题和概率题在奥数竞赛中常常出现，它们不仅考察学生的计算能力，还要求学生具备一定的逻辑思维能力。

例如：1. 有5个红球，3个蓝球，从中任意取出3个球，问其中至少有一个红球的概率是多少？解析：根据排列组合的知识，我们可以知道总共有8个球，从中取出3个球，一共有C(8,3)种取法。

其中没有红球的取法就是从3个蓝球中取3个球，即C(3,3)。

所以至少有一个红球的概率就是1减去没有红球的概率，即1-C(3,3)/C(8,3)。

二、平面几何题平面几何题是奥数竞赛中的重点内容之一，它既考察了学生对几何图形的认识，又考察了学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

例如：2. 在一个角为60度的扇形中，正好能够放下一个半径为1的圆。

求这个扇形的面积。

解析：这道题可以通过计算扇形的面积和圆的面积来求解。

扇形的面积公式为S=πr^2θ/360，其中r为半径，θ为角度。

圆的面积公式为S=πr^2。

将这两个公式相等，解方程可得θ=60度。

带入扇形的面积公式，做相应的计算即可得到扇形的面积。

三、数列与数与代数题数列与数与代数题是奥数竞赛中常见的题型，它要求学生具备一定的数学运算能力和逻辑推理能力。

例如：3. 求等差数列1，3，5，7，9，…，前100项之和。

解析：这道题可以通过等差数列的求和公式来求解。

等差数列的求和公式为Sn=n(a+l)/2，其中Sn为前n项的和，a为首项，l为末项，n为项数。

根据题目给出的条件，首项a=1，末项l=2n-1，项数n=100，带入公式进行求解即可得到答案。

四、方程与不等式题方程与不等式题主要考察学生的代数运算能力和方程解题能力。

例如：4. 求方程x^2-5x+6=0的根。

解析：这道题可以通过配方法求解。

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目1. 题目一设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且满足$f(a)=-1$，$f(b)=3$。

证明：对于任意实数$k$，在区间$[a,b]$上至少存在一点$c$，使得$f(c)-f(a)=k(c-a)$。

2. 题目二已知正整数$n>1$，且$n$与$n+1$互质。

定义数列$\{a_k\}$满足$a_1=n$，$a_2=n+1$，且对于$k\geq 1$有\[a_{k+2}=\frac{a_{k+1}+a_k}{\text{gcd}(a_{k+1},a_k)}.\]证明：数列$\{a_k\}$中不存在连续的三个不等于1的整数。

3. 题目三平面上有$2023$个点，任意三点不共线。

现将这些点两两连接，得到若干条线段。

试证明：存在至少$10$条线段，它们共点于同一点上。

4. 题目四设$a,b$为正整数，且满足$(a+1)^{b+1}-(a-1)^{b+1}=2023$。

求$(a,b)$的所有可能的整数解。

5. 题目五将正整数$n$表示为两个不同素数的乘积，即$n=pq$，其中$p$和$q$均为素数，且$p < q$。

设$S=(p+1)^2+q^2$。

求满足条件的$n$的所有可能取值，并给出满足条件的所有$n$对应的$S$的最大值。

6. 题目六已知三角形$ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C = 2$。

证明：三角形$ABC$为等边三角形。

7. 题目七设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。

证明：对于任意$\epsilon > 0$，存在有理数$m/n$，其中$m$为自然数，$n$为正整数，且$\left| \frac{m}{n} - f\left(\frac{m}{n}\right) \right| < \epsilon$。

8. 题目八已知正整数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=2023$。

初二数学奥林匹克竞赛题摘要：一、引言1.介绍初二数学奥林匹克竞赛2.分析竞赛对学生的意义和价值3.强调数学竞赛在培养学生思维能力方面的作用二、初二数学奥林匹克竞赛题型及难度1.选择题2.填空题3.解答题4.难度分级三、初二数学奥林匹克竞赛知识点1.几何部分2.代数部分3.数论部分4.组合部分四、如何准备初二数学奥林匹克竞赛1.扎实掌握课程知识点2.提高解题技巧与策略3.大量练习模拟试题4.参加培训课程与交流活动五、竞赛对学生的帮助与启示1.提升学术能力2.增强逻辑思维3.培养毅力和抗压能力4.对未来发展的积极影响六、结论1.总结初二数学奥林匹克竞赛的重要性2.鼓励学生积极参与并努力提高正文：一、引言初二数学奥林匹克竞赛是针对初中二年级学生的数学竞赛，旨在选拔和培养具有数学天赋和兴趣的学生，激发他们学习数学的热情，提高学生的数学素养和思维能力。

对于学生来说，参加数学竞赛不仅有助于提升自己的学术水平，还能为将来的发展打下坚实基础。

二、初二数学奥林匹克竞赛题型及难度初二数学奥林匹克竞赛题目分为选择题、填空题、解答题，难度逐级递增。

选择题主要测试学生对基础知识的掌握，填空题要求学生具备一定的分析和推理能力，解答题则需要学生具备扎实的数学功底和灵活的解题技巧。

竞赛题目在各个知识点上的分布具有一定的比例，学生需要全面掌握知识点，提高自己的解题能力。

三、初二数学奥林匹克竞赛知识点初二数学奥林匹克竞赛涉及的知识点主要有几何部分、代数部分、数论部分和组合部分。

学生需要掌握各个部分的知识点，形成完整的知识体系，才能在竞赛中取得好成绩。

四、如何准备初二数学奥林匹克竞赛要想在初二数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生需要做好以下几点准备：首先，要扎实掌握课程知识点，形成自己的知识体系；其次，要提高解题技巧与策略，学会灵活运用所学知识解决问题；再者，要大量练习模拟试题，提高自己的实战能力；最后，可以参加培训课程与交流活动，拓宽自己的视野，与其他学生分享学习经验。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算1.整数和分数的大小比较：-方法一：通分。

将整数转换为分数，然后通分进行比较。

-方法二：化为相同的分数形式。

将分数化为相同的分母，然后比较分子的大小。

-方法三：换算成小数进行比较。

将分数转换为小数形式，然后比较大小。

2.有理数的加法和减法运算：-方法一：同分母相加（减）。

-方法二：通分后相加（减）。

3.有理数的乘法运算：-方法一：分子乘分子，分母乘分母。

-方法二：化为最简形式。

-方法三：化为小数进行计算。

4.有理数的除法运算：-方法一：分子乘除分子，分母乘除分母。

-方法二：化为最简形式。

-方法三：化为小数进行计算。

5.有理数的混合运算：-方法一：先按运算顺序完成个别运算，然后进行总体运算。

-方法二：化为分数形式进行运算。

6.有理数的平方运算：-方法一：整数的平方是整数，分数的平方是分数。

-方法二：先化为最简形式，再进行平方运算。

7.有理数的相反数和绝对值：-方法一：相反数是原数的负数。

-方法二：绝对值是原数的去掉符号的值。

8.有理数的乘方运算：-方法一：整数次幂，底数不变，指数相乘。

-方法二：0的正整数次幂为0。

-方法三：0的非正整数次幂无意义。

-方法四：1的任何整数次幂都为1-方法五：负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数。

-方法六：分数的乘方运算，将底数与指数分别进行乘方运算。

9.有理数的开方运算：-方法一：将开方式化为最简形式。

-方法二：将开方数化为分数形式。

-方法三：化为小数进行计算。

10.展示解题过程和解题思路。

解答有理数的运算问题时，尽量展示解题过程和解题思路，不仅仅写出答案，可以加深对有理数运算规则的理解，并且能体现出解题的逻辑性和连贯性。

11.理解运算规则。

熟练掌握有理数的运算规则，不仅能快速解答题目，还能够在解题过程中发现和运用运算规则，更好地理解数学概念和思维方法。

初三奥林匹克数学竞赛方法思路讲解及经典题型分析…………第十一节…………圆、圆和直线的位置关系解题技巧及典型题目类型1 （第六届江苏省初中数学竞赛试题）如图，NS是⊙O的直径，弦AB和NS垂直，且交NS于M，P 为优弧ANB上异于N的任意一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q，求证：RS＞MQ。

2 （第九届江苏省初中数学竞赛试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM-3。

若P是线段AC上的一个动点，⊙O是过P、M、C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O于D。

（1）求证：M是AB的中点。

（2）求PD的长。

3（00年北京市初中数学竞赛试题）如图，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AB交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍，△ABC中有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，求△ABC的三个内角的度数。

4（第十二届江苏省初中数学竞赛试题）如图，已知A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC 于M，求证：AM=DC+CM。

5（01年河北省初中数学竞赛试题）如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为弧AB的中点，D 为弧BC的三分之一点，且弧BD的长是弧CD的长的2倍，连结AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点）。

求AE长。

6（02年太原初中数学竞赛试题）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC。

7（00年全国理科班招生题）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE的长为2 ，CD=1，求DE的长。

8 锐角△ABC 的外接圆在B 和C 处的切线相交于P ，M 为BC 的中点，求证：BAC cos APAM ∠=。

全国数学奥林匹克竞赛试题全国数学奥林匹克竞赛试题数学是一门严谨而又富有智慧的学问。

在数学这一领域中，奥林匹克竞赛试题常常被视为在不同层次和领域中的最佳实践，以鼓励年轻人参与到科技事业的积极行动中。

以下是一些试题，希望它们能够激励大家对于数学的学习和应用。

一、初中数学组1.已知ABCDEFG是一个正七边形，在BC的中点E处作EF垂直于CG交CG于F，交AD于M，EF与BC的交点为N。

求MN边长。

2.小明和他的朋友买了一些水果，其中有7个苹果、6个梨子和5个桃子。

如果将所有这些水果每次挑出2个、3个或4个（不区分品种），都可以顺利地分给他们自己。

那么这些水果中，最少有多少个来自同一种类？3.一个数字串正着和倒着一样，你能想到多少6位数的例子？二、高中数学组1.比大小：98/99和97/98哪个更大？（此处“/”表示小数点，即98/99=0.989898....）2.已知△ABC，AD是边BC上的中线，E在AB上，F在AC上，AE=3，EC=1，AF=2，FC=2，EF与AD的交点为H。

求AH：HD的值。

3.用移动不重叠的若干个相同的矩形，覆盖一个宽为3，长为3的正方形。

总的覆盖面积是3的几倍？给出一种最有效的覆盖方法。

三、大学数学组1.用插值函数f(x)表示(0, 1)，(1, 2)，(2, 1)三个点，试求：(a)奇函数g(x)=f(x)-f(-x)在-2到2之间的最大值和最小值；(b)当x∈[-2,2]时，h(x)=f(x)+f(4-x)最大和最小值出现的x值。

2.设x∈[0,1],求证：1/2≤(2x-1)^2+(2x-2)^2+…+(2x-n)^2≤1/2(n+1)(2n+1)。

3.求解方程y''+3y'-10y=0，满足条件y(0)=1,y'(0)=0。

107第九章 三角形基本问题第一节 三角形内角和【知识点拨】三角形内角和定理：三角形三个内角和为1800。

推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

凸n 边形的内角和为（n －2）×1800，凸n 边形的外角和为3600。

【赛题精选】例1、在△ABC 中，∠B ＝320，∠C ＝250，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC 。

求：∠DAE 的度数。

例2、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数。

【说明】如图中，很容易推出∠1＋∠2＝∠3＋∠4的结论，这个结论经常会用到！例3、如图，∠DEA 的平分线与∠BCA 的平分线相交于点F 。

求证：∠F ＝21（∠B ＋∠D ）。

108例4、试证明“三角形中的最大角不小于600，最小角不大于600。

”例5、平面上有四个点A 、B 、C 、D ，其中任何三点都不共线。

求证：△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD 中至少一个内角不超过45°。

例6、P 为△ABC 内一点，求证∠BPC ＞∠BAC 。

例7、如图，B 、C 、D 三点在同一直线上，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E 。

109求证：∠E ＝21∠A 。

例8、∠AEB 、∠AFD 的平分线相交于O 点。

求证∠EOF ＝21（∠DAB ＋∠BCD ）。

例9、如图E 是△ABC 中AC 边延长线上一点，∠BCE 的平分线交AB 延长线于D 。

若∠CAB ＝400，∠CBD ＝680。

求CDB 的度数。

例10、证明：凸n 边形中锐角的个数不超过3个。

110【针对训练】A 组1、如右图，在△ABC 中，∠A ＝700，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，求∠BOC 的度数。

2、试证明三角形中直角或钝角的个数不能多于一个。

3、在△ABC 中，∠A ≥1200，试证明∠B 、∠C 中至少有一个不超过300。

4、如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝420，∠B 、∠C 的三等分线分别交于D 、E ，求∠BDC 、∠BEC 的度数。

第六章几何基础知识第一节线段与角的推理计算【知识点拨】掌握七条等量公理：1、同时等于第三个量的两个量相等。

2、等量加等量，和相等。

3、等量减等量，差相等。

4、等量乘等量，积相等。

5、等量除以等量（0除外），商相等。

6、全量等于它的各部分量的和。

7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。

【赛题精选】例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。

例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。

例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线。

问图中互为补角关系的角共有多少对？例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。

求∠MON的度数。

例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。

例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。

求以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM，PQ＝11CM。

求线段BQ的长。

例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。

例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。

若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。

求线段AC的长度是多少厘米？【针对训练】第二节相交线与平行线【知识点拨】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

相交线性质：两直线相交，对顶角相等。

平行线性质定理平行线的判定定理两直线平行，同位角相等。

同位角相等，则两直线平行。

两直线平行，内错角相等。

内错角相等，则两直线平行。

两直线平行，内旁内角互补。

同旁内角互补，则两直线平行。

数学奥林匹克竞赛试题数学奥林匹克竞赛是针对中学生的高水平数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决复杂问题的能力。

以下是一些典型的数学奥林匹克竞赛试题示例，供大家参考和练习。

代数问题问题1：解方程求解方程 (x^3 - 5x^2 + 7x - 1 = 0)。

问题2：因式分解将多项式 (x^4 - 81) 进行因式分解。

几何问题问题3：三角形面积在直角三角形中，已知两直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高。

问题4：圆的性质证明：若一个圆内接四边形的对角互补，则该四边形为矩形。

组合与概率问题问题5：排列组合计算用数字1到9（每个数字仅使用一次）可以组成的所有不同三位数的数量。

问题6：概率计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。

数列与函数问题问题7：等差数列如果数列 (a_n = 2n + 1)，求第10项和前10项的和。

问题8：函数图像画出函数 (y = |x-3|) 的图像，并指出其与x轴的交点。

解析与答案问题1答案通过因式分解或使用牛顿法等方法求解。

问题2答案(x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3))。

问题3答案斜边上的高 (h = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4)。

问题4答案利用圆周角定理和直角三角形的性质证明。

问题5答案总共有 (9 \times 8 \times 7) 种不同的排列方式。

问题6答案概率为 (\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14})。

问题7答案第10项 (a_{10} = 21)，前10项和 (S_{10} = 2(1 + 2 + ... + 10) + 10 = 110)。

问题8答案函数图像为V型，与x轴的交点为(3,0)。

请注意，以上只是示例题目，实际的数学奥林匹克竞赛题目可能会更加复杂和多样。

初中数学奥林匹克竞赛教程初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。

目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。

《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。

”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。

同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。

除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。

这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、实数十进制整数及表示方法。

整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。

一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。