第一章
题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插
值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）
43
()2f x x x =−解（1）
(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()
()()()()()()0
4!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；
（2）
(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得
01234!
()()()()()()
4!
f x p x x x x x x x x x −=
−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15
证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差
012
10()()()max ()
8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.
证由拉格朗日插值余项得01()
()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=
−−，其中0
1x x ξ≤≤，01
0101max ()()()()()()()()
2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()
8x x x x x f x ≤≤−′′≤.
题22
采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式
()p x ：
（1）（1）用待定系数法；
（2）（2）
利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式
()p x .
解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2
123()23p x a a x a x ′=++，
代入得方程组
001231123010231
a a a a a a a a a =⎧
⎪+++=⎪⎨
=⎪
⎪++=⎩解之，得0123
0021
a a a a =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=−⎩
23()2p x x x ∴=−；
（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，
可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2
()p x x ∴=；
再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设
22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.
题33设分段多项式
323
2
01
()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.
解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；
22
3201
()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；
联立两方程，得2,3b c =−=，
且此时62
01()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨
+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，
()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.
题35
用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627
x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩.
解记残差的平方和为
2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩
，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37
用最小二乘法求形如2
y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：
x
1925313844y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，2
0()x x ϕ=，
其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎝⎠，
其中
00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，
1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩，2
0.97260.05y x ∴=+.
第二章
题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：
（2）
1
0120
113
()(()()
424
f x dx A f A f A f ≈++∫
（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
11000013()(224()11133()()
4244x x A l x dx dx −−===
−−∫∫，11
110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，
11
220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，
10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，
当3()f x x =时，有
左边＝1
1
30
01
()d d 4f x x x x ==
∫∫，右边＝
3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，
当4()f x x =时，有
左边＝1
1
40
01
()d d 5f x x x x ==
∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()3
43234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.
题8已知数据表
x 1.1
1.3 1.5x
e
3.0042
3.6693
4.4817
试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.5
1.1
x e dx
∫
.
解辛甫生法
1.5
1.1
x
e dx ∫
()1.5 1.1
3.00424 3.6693
4.4817 1.477546−≈
+×+=；
复化梯形法
1.5
1.1x
e dx ∫()0.2
3.00422 3.6693
4.4817 1.48245
2≈
+×+=.
题17用三点高斯公式求下列积分值12
041dx
x π=+∫.
解先做变量代换，设)
(1+21
=t x ，
则1204d 1x x +∫＝
112112418
d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫
∫(
)2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠
3.141068=.
第三章
用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：
（1）试导出近似解n y
的显式表达式；
解（1）其显示的Euler 格式为：
11111(,)()
n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故
122()
n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯
100()
y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得
0021()n n n y y ah x x x nhb
−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb
=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨
=++⎩.
解将
1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得
11(,)n n K f x ph y qhK =++2
1(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)
(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()
n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++
代入，得
()
21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而
2
31()()()()()()
2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23
()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣
⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.
第四章
题2证明方程1
cos 2x x
=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程
11
cos 2k k
x x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1
()cos 2f x x x
=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 0
22222f ππππ
=−=>，
所以()f x 在[0,]
2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]
2π
上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x
=，
[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]
2g x π
∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1
()1
2g x ′≤<，
由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11
cos 2k k
x x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间
[0,]
2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法
12
4cos 3k k
x x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；
（２）证明它具有线性收敛性；
证（1）迭代函数为2
()4cos 3g x x
=+，
(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；
又22
()sin 1
33g x x ′=−≤<，
由压缩映像原理知0x ∀，12
4cos 3k k x x +=+均收敛；
（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，
不满足方程），所以迭代12
4cos 3k k
x x +=+具有线性收敛速度；
题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间
[1.3,1.6]上均收敛：
（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为12
11k k x x +=+；
（２）（２）改写方程为3
2
1x x =+
，相应的迭代公式为
1k x +=解（1）
3
2
3
2
211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为
2
1
()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，222111
1.3 1.3906111 1.5917 1.6
1.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；
又32()g x x ′=−
，
3
33222
-0.9103=
=-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，
由大范围收敛定理知0
[1.3,1.6]x ∀∈，12
1
1k k x x +=+均收敛；（2
）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=
1k x +=
其迭代函数为
()g x =[1.3,1.6]x ∀∈
，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，
()[1.3,1.6]g x ∴∈；
又
()g x ′=
，
00.4912
≤≤≤=，
()0.49121
g x ′≤<，
由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈
，1k x +=均收敛.
题5
分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：
123123123
5325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪
−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()
123(1)
()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧
⎪=−+⎪
⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)
000x ⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟
⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()
123(1)
(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧
⎪=−+⎪
⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量
(0)
000x ⎛⎞
⎜⎟=⎜⎟
⎜⎟⎝⎠，迭代发散.
第六章
题2用主元消去法解下列方程组
）
123123123
23553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩解
（2）对其增广矩阵进行列主元消元得
23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
34
7605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧
⎪++=⎪
⎪
+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以
412x −⎛⎞⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟⎝⎠.。
