偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a
④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 ⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：
⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()
1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；
对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或
()()
1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。 ③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，
⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。 二、典例分析
1、给出函数解析式判断其奇偶性：
分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.
【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2
()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫
=
∈≥⎨⎬-⎩⎭
解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴
2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，
∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：
由函数2()21f x x x =-+的图象可知，
2()21f x x x =-+为偶函数。
说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。 (2) . 解：由
3
03
x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)
. ()f x =(2) . 3()3sin(2);2
f x x π
=- (3). 02
1()1x f x x -=-。 解： (1).由2
40
330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩
，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且
∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2
，则();33f x x x ==+-.
∴()();f x f x x
-===-.
∴()f x =为奇函数.
说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2) .函数3()3sin(
2)2
f x x π
=-定义域为R ， ∵3()3sin(
2)3cos 22
f x x x π
=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，
∴ 函数3()3sin(2)2
f x x π
=-为偶函数。
(3). 由20
10x x ≠⎧⎨-≠⎩
，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，
又∵02
2111()011
x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，
所以02
2111
()011
x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。 【例3】 判断下列函数的奇偶性：
(1). 0.5()log (f x x =；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪
==⎨⎪+<⎩
