函数的奇偶性的归纳总结
考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。
教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；
2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；
3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；
4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
教学重点：1、理解奇偶函数的定义；
2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。
教学难点：1、对奇偶性定义的理解；
2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。
教学过程：
一、知识要点：
1、函数奇偶性的概念
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：
(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）
④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：
⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()
1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；
对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或
()()
1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。
，
⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。
二、典例分析
1、给出函数解析式判断其奇偶性：
分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.
【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2
()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫
=
∈≥⎨⎬-⎩⎭
解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴
2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，
∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：
由函数2()21f x x x =-+的图象可知，
2()21f x x x =-+为偶函数。
说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2) . 解：由
3
03
x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)
. ()f x =(2) . 3()3sin(2);2
f x x π
=- (3). 02
1()1x f x x -=-。
解： (1).由2
40
330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩
，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且
∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2
，则();33f x x x ==+-.
∴()();f x f x x
-===-.
∴()f x =为奇函数.
说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。
(2) .函数3()3sin(
2)2
f x x π
=-定义域为R ， ∵3()3sin(
2)3cos 22
f x x x π
=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，
∴ 函数3()3sin(2)2
f x x π
=-为偶函数。
(3). 由20
10x x ≠⎧⎨-≠⎩
，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，
又∵02
2111()011
x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，
所以02
2111
()011
x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。
【例3】 判断下列函数的奇偶性：
(1). 0.5()log (f x x =；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪
==⎨⎪+<⎩
解：(1) . 定义域为R ，
∵220.50.5()()log (()1)log (1)
f x f x x x x x -+=-+-+++
+20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。
说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()f x -与()f x 关系，但当直接找()f x -与()f x 关系困难时，可用定义的变形式：()()0=--x f x f ⇔函数f （x ）
是偶函数；()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数。
(2) .函数的定义域为R ，
当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=- 当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-
当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-
综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。
说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。
分段函数判断奇偶性，也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性：
【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有
1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。
解：函数的定义域为(,0)
(0,)-∞+∞，
令121x x ==，得(1)0f =，令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-= 取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-= 故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。
3、函数奇偶性的应用：
(1) . 求字母的值：
【例5】已知函数21
()(,,)ax f x a b c Z bx c
+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，
求,,a b c 的值.
解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。
又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得41
32a b
+<，
∴4131
a a +<+，解得12a -<<。
又a Z ∈，∴0a =或1a =.
若0a =，则1
2
b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z .
∴1,1,0a b c ===。
说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。
(2) . 解不等式：
【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝. 答案：｛x ｜0＜x ＜2｝
说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：
【例7】已知f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ). 分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.
当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0). ∴lg(2)(0)
()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨
-+≥⎩。
说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。
三、巩固训练： 一、选择题
1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于
A.－x (1－x )
B.x (1+x )
C.－x (1+x )
D.x (x －1)
2.已知四个函数：①21log 1x
y x
+=-， ②11x x e y e -=+，③ y =3x +3-x ，④ y =lg(3x +3-x ).
其中为奇函数的是
A.②④
B.①③
C.①④
D.①②
3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为 A.－x (x －2) B. x （｜x ｜－2） C.｜x ｜(x －2) D.｜x ｜（｜x ｜－2） 二、填空题
4.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.
5.若1
()21
x f x a =+- (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则
a =_______________.
6.已知f (x )=ax 7－bx +2且f (－5)=17，则f (5)=_______________.
7.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，
()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是_____________
三、解答题 8.已知11()()2()G x f x f x ⎡⎤=
-⎢⎥⎣⎦
且x =ln f (x )，判定G (x )的奇偶性。
9.已知函数f (x )满足f (x +y )+ f (x －y )=2f (x )·f (y )(x 、y ∈R )，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数. 10.设函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，且3
()()3
f x
g x x +=
+，求()f x 和()g x 的解析表达式。
11.已知f(x)＝x 5+ax 3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。
12.已知()()f x g x 、都是定义在R 上的奇函数，若()()()2F x af x bg x =++在区间(0,)+∞上的最大值为5，求()F x 在区间(,0)-∞上的最小值。
13.已知()f x 是奇函数，在区间(2,2)-上单调递增，且有(2)(12)0f a f a ++->，求实数a 的取值范围。
四、巩固训练参考答案： 一、选择题
1. 解析：x ∈(－∞，0］，－x ≥0，∴ f (－x )=(－x )(1+x )，－f (x )=－x (1+x ). ∴f (x )=x (1+x ). 答案：B
2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案：D
3. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，
∵f (x )是奇函数，∴f (x )=－f (－x )=－［(－x )2－2(－x )］=－x 2－2x .
∴222(0)
()2(0)
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，即f (x )= x （|x |－2），故答案：B 。
二、填空题
4. 解析：定义域关于原点对称，故a －1=－2a ，13
a =， 又对于f (x )有f (－x )=f (x )恒成立，∴
b =0. 答案：
1
3
， 0 。
5. 解析：特值法：∵f (－1)=－f (1) ，1111()2121a a -+=-+--，1
2
a =。
答案： 1
2。
6. 解析：整体思想：f (－5)=a (－5)7－ b (－5)+2=17 (a ·57－5b )=－15， ∴ f (5)=a ·57－b ·5+2=－15+2=－13. 答案：－13 。
7. 解析：∵ ()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，∴ 补充其图像如图，又∵不等式
()cos 0f x x ⋅<同解于()0cos 0f x x >⎧⎨
<⎩或()0
cos 0
f x x <⎧⎨>⎩，解得32x π<<，或12x π-<<-或01x <<，∴不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是(),10,1,322ππ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，答案：
(),10,1,322ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
三、解答题
8. 解：由x =ln f (x )得f (x )=e x .
∴11()()2()G x f x f x ⎡⎤=
-⎢⎥⎣⎦111()22x x x
x e e e e -⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦。
又()G x -11
()()()22
x x x x e e e e G x --=-=--=--，∴G (x )为奇函数。
9. 证明：令x =y =0，有f (0)+f (0)=2f 2(0). ∵ f (0)≠0，∴f (0)=1.
令x =0，f (y )+f (－y )=2f (0)·f (y )=2f (y ). ∴ f (－y )=f (y ). ∴ f (x )是偶函数.
归纳：赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到. 10. 解：∵3()()(1)3
f x
g x x +=
+，∴3
()()3
f x
g x x -+-=
-+，
又∵函数()f x 是偶函数，函数()g x 是奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-， ∴上式化为3
()()(2)3
f x
g x x -=
-+，解(1),(2)组成的方程组得
29()(,3)9f x x R x x =
∈≠±-，23()(,3)9
x
g x x R x x =∈≠±-。
11. 分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解
解：令g(x)=x 5+ax 3-bx ，则g(x)是奇函数，所以g(-2)＝g(2)， 于是f(-2)＝g(-2)-8, ∴ g(-2)=18. 所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 12. 解：设()()()h x af x bg x =+，则()()()h x af x bg x =+为奇函数，
因为当(0,)x ∈+∞时，()5,F x ≤所以()()()()23,h x af x bg x F x =+=-≤ 所以当(,0)x ∈-∞时，()2()()()3,F x h x af x bg x -==+≥-即()1,F x ≥- 故()F x 在区间(,0)-∞上的最小值为-1 。
13. 解：因为函数()f x 是奇函数，所以()().f x f x -=-
由(2)(12)0f a f a ++->得(2)(12)f a f a +>--，即(2)(21).f a f a +>-
又()f x 在区间(2,2)-上单调递增，故得222
2212221
a a a a -<+<⎧⎪
-<-<⎨⎪+>-⎩
，解得10.2a -<<
所以实数a 的取值范围为1
(,0).2
-
注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出2,21(2,2)a a +-∈-是解决本题的关键。
