精选-线性代数期末考试试题(含答案)

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题(每空3分,共15分）1。

设矩阵，且，则______2.二次型是正定的，则t的取值范围__________3.为3阶方阵，且，则___________4.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是___________5.设A为n阶方阵，为A的n个列向量，若方程组只有零解，则向量组（）的秩为_____二、选择题（每题3分，共15分）6.设线性方程组，则下列结论正确的是（）(A）当取任意实数时,方程组均有解(B）当a＝0时，方程组无解(C）当b＝0时，方程组无解（D)当c＝0时,方程组无解7. A.B同为n阶方阵，则（)成立（A）（B）（C）（D）8.设，，,则( )成立（A) (B）(C）(D）9.，均为n阶可逆方阵,则的伴随矩阵（）（A）（B) (C）（D)10.设A为矩阵，＜，那么A的n个列向量中（）(A）任意r个列向量线性无关（B) 必有某r个列向量线性无关(C) 任意r个列向量均构成极大线性无关组(D）任意1个列向量均可由其余n－1个列向量线性表示三、计算题(每题7分,共21分)11.设.求12.计算行列式13.已知矩阵与相似，求a和b的值四、计算题(每题7分，共14分）14.设方阵的逆矩阵的特征向量为，求k的值15.设，,，（1）问为何值时，线性无关（2）当线性无关时，将表示成它们的线性组合五、证明题（每题7分，共14分)16.设3阶方阵，的每一列都是方程组的解（1)求的值（2)证明：17.已知为n维线性无关向量，设，证明：向量线性无关六、解答题（10分）18．方程组，满足什么条件时，方程组（1）有惟一解（2）无解（3）有无穷多解，并在此时求出其通解七、解答题（11分）19。

已知二次型，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型. （一）1、202、 3 4 5、n(二）ACCDB（三）11、12、（）13、（）(四）14、（或) 15、（）（五)16 ( 略) 17略(六）18、( （1)且；(2);（3）,解略）（七）19、（，其余略）。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。

7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。

8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。

9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。

10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。

三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。

12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。

四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。

14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。

<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。

<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。

则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。

<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。

< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。

( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。

< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。

2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A の伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ+λ2β2+…λsβs=01β1B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1=A Tの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（ ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有 一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。

错选或未选均无分。

A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（ ）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值 入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（ ） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个 数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题①空格内。

线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。

左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分,共25分）1。

若022150131=---x ，则=χ__________. 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵. 4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。

二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定？（ ）A.054<<-t B 。

5454<<-t C.540<<t D 。

2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值( )A 。

3B 。

-2 C.5 D.—58．设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是( ）A 。

0≠AB 。

01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为( ) A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y x D 。

24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ，其特征值为( ）A 。

4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分,共50分）11。

设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T =-)(， 求X 。

线性代数期末考试试题及答案线性代数期末考试试题及答案线性代数是一门重要的数学课程，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

期末考试是对学生对于线性代数知识的综合考察，下面将给出一些线性代数期末考试试题及答案，供大家参考。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行列式值为0，则A的秩为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 设A是一个3×3矩阵，若A的特征值为1，2，3，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D3. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的列向量组是否线性无关？A. 是B. 否答案：A5. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的列向量组是否线性相关？A. 是B. 否答案：A6. 设A是一个3×3矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C7. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，2，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：C8. 设A是一个2×2矩阵，若A的特征值为1，1，则A的特征向量个数为：A. 0B. 1C. 2答案：B9. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为1，则A的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：B10. 设A是一个2×2矩阵，若A的秩为2，则A的行空间的维数为：A. 0B. 1C. 2答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性无关，则A的秩为____。

答案：32. 设A是一个3×3矩阵，若A的列向量组线性无关，则A的秩为____。

答案：33. 设A是一个3×3矩阵，若A的行向量组线性相关，则A的秩为____。

第一学期一．填空题（每小题3分，共15分）1．()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()15202. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 ．3．设0=x A ，A 是5阶方阵，且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量．4．若３阶矩阵A 的特征值为２，２，３，则=A 12 ．5．设21,λλ是对称阵A 的两个不同的特征值，21,p p 是对应的特征向量，则=],[21p p0 ． 二．选择题（每小题3分，共15分）1．若A 为3阶方阵，且2=A ，则2A -=( C )． Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-16 Ｄ．162．设B A ,为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有（ Ｂ ）．Ａ．O A =或O B = Ｂ．0=A 或0=B Ｃ． O B A =+ Ｄ．0=+B A3．设n 元线性方程组b x A=，且n b A R A R ==),()( ，则该方程组( Ｂ )Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．无解 Ｄ．不确定 4．设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ A ） A ．组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量 5．若二次型()f '=x x Ax 为正定, 则对应系数矩阵A 的特征值( Ａ )Ａ．都大于0； Ｂ．都大于等于0； Ｃ．可能正也可能负 Ｄ．都小于0三．（8分）计算行列式2111121111211112D =的值． 解．21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=- 四．（8分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210321A ，求1-A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100 010 021100210101221r r1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A （或用伴随矩阵）五．（8分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12012ξ ，通解为2211ξξ k k +，（21,k k 为任意常数）六．(8分)已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=53313α ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示．解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110201 极大无关组21,αα，且2132ααα -=．七．（10分）讨论λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x(1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无穷多解．解：法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA（１） 当0≠λ且3-≠λ时，有0≠A ，方程组有惟一解；（２）当3-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211，3)(2)(=<=A R A R ，所以无解；（３）当0=λ时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A ， 1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解．法2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ 八．（8分）用配方法将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形，并求可逆的线性变换．（或上届题？）解：232223312132162)44(),,(x x x x x x x x x f --++=232223162)2(x x x x --+=，令⎪⎩⎪⎨⎧==+=33223112x y x y x x y ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311 2y x y x y y x ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100010201y y y x x x ， 变换矩阵,100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C .01≠=C 标准形23222162y y y f --= ．九．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400032020A 的特征值与最大特征值所对应的特征向量．解：)1()4(2+--=-λλλE A ，特征值.1,4321-===λλλ当421==λλ时，解0)4(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211ξ ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ ，A 的对应于421==λλ的全体特征向量为2221ξξη k k +=， 0(2221≠+k k ）．十．（每小题5分，共10分）1． 设向量组321,,ααα线性无关，讨论向量组 112123,,αααααα+++的线性相关性． 解：令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关，所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，由于方程组只有零解，故112123,,αααααα+++线性无关。

线性代数期末考试试题及答案c1一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且满足\( A^2 = A \)，则矩阵A的特征值只能是：A. 0B. 1C. 0或1D. 2答案：C2. 如果矩阵B是可逆矩阵，那么\( B^{-1} \)的特征值与B的特征值的关系是：A. 相反数B. 倒数C. 相等D. 互为相反数答案：B3. 向量\( \vec{a} = (1, 2, 3) \)和\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)的点积为：A. 14B. 32C. 22D. 40答案：A4. 设\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，则\( A \)的行列式为：A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)，则\( A \)的迹为______。

答案：52. 向量\( \vec{a} = (3, -4) \)和\( \vec{b} = (-1, 2) \)的叉积为向量\( \vec{c} = (x, y) \)，则\( x \)的值为______。

答案：103. 设\( A \)为3阶方阵，且\( A \)的秩为2，则\( A \)的零空间的维数为______。

答案：14. 设\( \vec{u} \)和\( \vec{v} \)是两个非零向量，若\( \vec{u} \)和\( \vec{v} \)正交，则\( \vec{u} \cdot \vec{v} \)的值为______。

答案：0三、解答题（共60分）1. （15分）设矩阵\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \)，求\( A \)的逆矩阵。

第一部分 选择题 (共 28 分)一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

a11a12a13a11=n ，则行列式a11 a12 a13等于（）1.设行列式a 22 =m ，a 21a 21 a 22 a 23 a 21 a 23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n1 0 0 ，则 A -12.设矩阵 A = 0 20 等于（）0 031 0 031 0 01A.0 0B.1 02211311 0 00 0 231C.1 0D.0 031 0123 1 23.设矩阵 A =1 0 1 ， A *是 A 的伴随矩阵，则A * 中位于（ 1，2）的元素是（）214A. –6B. 6C. 2D. –24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（）A. A =0B.B C 时 A =0C.A 0时B =CD. |A | 0 时 B =C5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组 α 1， α 2，⋯， α s 和 β 1， β 2，⋯， β s 均线性相关，则（ ）A. 有不全为 0 的数 λ 1，λ 2，⋯，λ s 使 λ 1α 1+λ 2α 2+⋯ +λs α s =0 和 λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s β s =0B. 有不全为 0 的数 λ 1， λ 2，⋯， λs 使 λ 1（ α 1+β 1） +λ 2（α 2+β 2） +⋯ +λs （ α s +β s ）=0C. 有不全为 0 的数 λ 1，λ 2，⋯， λ s 使λ 1（α 1- β 1）+λ 2（ α 2- β 2） +⋯ +λ s （ α s - β s ）=0D. 有不全为 0 的数 λ 1， λ2 ，⋯， λs 和不全为 0 的数 μ1， μ 2，⋯， μ s 使λ 1α 1+λ 2α 2+⋯ +λs α s =0 和 μ 1β 1+μ 2β 2+⋯+μ s β s =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（）A. 所有 r- 1 阶子式都不为 0B. 所有 r- 1 阶子式全为 0C. 至少有一个 r 阶子式不等于 0D. 所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，η 1， η 2 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（）A. η 1+η2 是 Ax=0 的一个解1 1B.η 1+ η 2 是 Ax=b 的一个解22C. η 1-η 2 是 Ax=0 的一个解D.2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ ）A. 秩 (A )<nB. 秩 (A )=n- 1C. A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解 10.设 A 是一个 n(≥3) 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数 λ 和向量 α使 A α=λ α ，则 α 是 A 的属于特征值 λ的特征向量B. 如存在数 λ 和非零向量 α ，使 (λ E - A )α =0，则 λ 是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如 λ1， λ 2， λ 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值， α 1，α 2， α 3 依次是 A 的属于 λ 1，λ 2， λ3 的特征向量，则 α 1，α 2， α 3 有可能线性相关 11.设λ 0 是矩阵 A 的特征方程的 3 重根， A 的属于 λ 0 的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ） A. k ≤ 3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）A.| A|2 必为 1B.|A |必为 1C. A - 1=A TD. A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， T）B =C AC .则（A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）2 33 4A.4B.63 210 0 1 1 1C. 02 3 D. 1 2 0351 0 2第二部分 非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。

答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。

答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。

《线性代数》期末考试卷(2020—2021学年第一学期)一、 单项选择题(每题3分，共18分)1．设A 、B 为n 阶方阵，当( )时，22()()A B A B A B +-=-不成立。

A ． A E = B. ,AB 为任意矩阵C ． AB BA =D ．A B = 2.下列命题正确的是 ( )。

A ．如果有全为零的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=，则12,,,n ααα线性无关 B. 向量组12,,,n ααα，若其中有一个向量可由该向量组线性表示，则12,,,n ααα线性相关C ．向量组12,,,n ααα的一个部分组线性相关，则原向量组线性相关D ．向量组12,,,n ααα线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示3.若方程13213602214x x xx -+-=---，则x =( )。

A. 2-或3B.3-或2C.2-或3-D.2或3 4．设A 是n 阶可逆矩阵，则()**A =( )。

A.n A EB. AC. nA A D. 2n AA -5.设A 为m n ⨯矩阵，则n 元齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( )。

A. A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关6.下列( )是初等矩阵。

A.100002⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 100010011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C. 011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D. 010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、 填空题(每题3分，共24分)1. 排列975824361的逆序数为__________。

2. 行列式222111ab c a b c ＝__________。

3. 设()33ijA a ⨯=，且2A =-，则22112112221323212122222323()()a A a A a A a A a A a A ++++++ 2312132223323()a A a A a A ++=__________。