(专题精选)初中数学四边形难题汇编及解析

【分析】
【详解】
试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB，
∵AD= AB，
∴AE=AD，
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，
A．10B．12C．16D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．
【详解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
【详解】
解：如图，当PC⊥BD时， 有最小值，
在矩形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，
由勾股定理，得
，
∴ ，
在△BCD中，由三角形的面积公式，得
，
即 ，
解得： ，
∴ 的最小值是： ；
故选：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P的位置，得到PC最短.
∵四边形ABED的面积为6，
∴ ，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴EF＝x﹣1＝2，
在Rt△BEF中， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
12．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，2 ），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（ ）
A．4B．5C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．
14．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全来自百度文库，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（）
A．2B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连结EG并向两端延长分别交AB、CD于点M、N，连结HF，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴ =CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°= a.
故选C.
【点睛】
此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
5．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（ ）
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．如图， 的对角线 与 相交于点 ， ， ，若 ．则 的长为（）
A．3B． C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理解 求得 ，再根据平行四边形的性质求得 ，然后根据勾股定理解 、平行四边形的性质即可求得 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
3．如图，四边形 是菱形， ， ，则 的长度为（）
A． B． C．4D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由菱形的性质，得到AC⊥BD，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO，即可求出AC的长度.
【详解】
解，如图，
∵四边形 是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵ ，
∴BO=1，
【详解】
解：连接AD，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴AD即为AP+BP的最小值，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0， ），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（3， ），
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴AD= ，
故选：D．
【点睛】
此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
【答案】D
【解析】
【分析】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.
【详解】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
则原多边形的边数为7或8或9．故选D．
考点：多边形内角与外角．
2．如图，在矩形 中， ， ，若 是 上的一个动点，则 的最小值是（）
A．16B．15.2C．15D．14.8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，当PC⊥BD时， 有最小值，由勾股定理求出BD的长度，由三角形的面积公式求出PC的长度，即可求出最小值.
（专题精选）初中数学四边形难题汇编及解析
一、选择题
1．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）
A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9
【答案】D
【解析】
试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到 •x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．
A．aB． aC． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】
∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
【详解】
解：∵
∴
∵在 中， ，
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴在 中， ，
∴
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题考查了含 角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
11．如图， 中， ， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为（）
A．2B．2.5C．3D．
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN
∴S矩形EBNP= S矩形MPFD,
又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD= S矩形MPFD，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
∵正方形 的面积与 面积相等，
即 ，解得： ，
∵ 不符合题意，故舍去，
∴ ，则S正方形EFGH ，
∵ ， ， ， 全等，
∴ ，
∵正方形 的面积 ， ， ， ， 也全等，
∴ S正方形ABCD− S正方形EFGH ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得 的面积．
∵AB=AH，∠BAE=45°，
解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选A．
考点：多边形内角与外角．
8．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）
A． B． C． D．
在Rt△OBC中， ，
∴BC=2，
∴ ；
∴ ；
故选：A.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC的长度.
4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，
∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
在△ABF和△DEA中
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE；
设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，
∴OA=3，OB=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= =5，
∵S菱形ABCD= ，
∴ ，
∴NQ= ，
∴PM+PN的最小值为 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度．
【详解】
解：∵ ， 平分 ，
∴AE⊥BC，
又∵点 为 的中点，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
9．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【答案】A
【解析】
【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，则点E在AB的垂直平分线上，
∵ ≌ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，则点G在CD的垂直平分线上，
∵四边形 为正方形，
∴AB的垂直平分线与CD的垂直平分线重合，
∴ 即为AB或CD的垂直平分线，
则 ， ，
∵正方形 的边长为4，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴ 即 ，
∴ ；
当P在OD上时，有 ，
∴y= ．
故选C．
7．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是
A．8B．9C．10D．12
【答案】A
【解析】
试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．