第三学期数学分析期末考试题及答案

数学科学学院10－11学年第一学期期末考试试题考试科目：数学分析 年级： 09适用专业：数学与应用数学考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：B 试题满分：100分一．填空题（每题4分，共20分）1．2200x y →→= ．2．设n 是曲面222236x yz ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法矢量，则u =P 点处沿n 方向的方向导数=_______．3．设数量场u =,则()div gradu =_ ____．4．交换积分顺序()()231320010,,x x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰= ．5．全微分()22sin cos x y dx x ydy +的所有原函数为 ．二．计算（每题8分，共40分）1．求arctany z x=的所有二阶偏导数． 2．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰．3．设L 是半圆周cos :sin x a t L y a t=⎧⎨=⎩，0t π≤≤，计算第一型曲线积分()22L I x y ds =+⎰． 4．计算()333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰ 外，其中S 为球面2222x y z R ++=的外侧．5．计算曲线积分224L xdy ydx I x y-=+⎰ ，其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠），取逆时针方向．三．证明题（每题10分，共40分）1．设,ϕψ均为二次可微函数，()()u x x y y x y ϕψ=+++，证明：2222220u u u x x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂． 2．设()1,1f x y xy=-，()[)[),0,10,1x y D ∈=⨯，证明：(),f x y 在D 上非一致连续． 3．设(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),dc I x f x y dy =⎰在[],a b 上连续．4．设函数()()2222220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(),f x y 在()0,0点可微．。

数学分析下册期末考试3（模拟试题）一、填空题（第1题每空2分，第2, 3, 4, 5题每题5分，共26分）du = ____________________ o2、设厶：x 2 + y 2 = a 2,则 j xdy - ydx =L4、 改变累次积分 pyj7（x, y ）么的次序为 ________________________ o5、 设 £＞：x+yW], 贝＞J jj （A /5 + V ）dxdy = _______________________ 二、断题（正确的打“O” ；错谋的打“X”；每题3分, 共15分） 判1若函数.f （x, y ）在点/Xx 0, y°）连续，则函数.f （x, y ）/?（x 0, y°）必存在一点阶偏导数。

（） 2、 若函数/（x, y ）在点〃（x （）, y 0）可微，则函数/（x, y ）在点/7（x （）, y （））连续。

（）3、 若函数/（x, y ）在点p （x°, y°）存在二阶偏导数人（％,儿）和几（心儿），则 必有 几（勺，儿）二几（％‘儿）。

（）4、 J f （x,y ）dx= J /（x, y ）dx o（ ）L （A 9B ） UB ,A ）5、已知u = In Jx? +于,则冀 OXdu 3、 设厶: x 二3cost,则曲线积分J （x 2+y 2）ds = L若函数/（x, y）在有界闭区域D上连续，则函数/（x, y）在D上可积。

（）1、用格林公式计算曲线积分I = j (e K sin y - 3y)dx + (e x cos y - 3)dy ,AO其中AO 为由A(a,0)到0(0,0)经过圆x 2 + y 2 =处上半部分的路线。

2、计算三重积分 + >,2 )dxdydz ,V其中是由抛物ilHz = x 24-/与平HHz 二4围成的立体。

每小题9分，共45分)三、计算题I = JJdS ,s4、计算第二型曲面积分其中S是球面宀于+二疋上被平面"d(OvdV/?)所截下的顶部(注0)。

第三学期试题库一、单项选择题：1、设2sin ()z ax by =+，则2zx y ∂∂∂=（ ）. A. 22cos 2()a ax by +; B 2cos 2()ab ax by +. C.22cos 2()b ax by +; D. 2sin 2()ab ax by + 2、在下列无穷积分中，收敛的是（ ）.A. 2(ln )e dx x x +∞⎰;B. ln e xdx x +∞⎰;C. 2(ln )e x dx x +∞⎰;D. ln e dxx x +∞⎰3、设D 是由x 轴、y 轴与直线x +y =1围成的三角形区域，则()Dx y dxdy+⎰⎰等于（ ）.A ．14； B. 16; C. 13; D. 12.4、给定区域222{(,)|,0}D x y x y a a =+≤>，则c xdy ydx -=⎰( ). A. a π; B. 2a π; C. 22a π; D.2a π.5、设2arcsin()z xy =，求zy ∂∂=（ ）.A.BC.D.6、在下列无穷积分中，收敛的是（ ）.A. e dx x +∞⎰;B.e ⎰; C. 3e dx x +∞⎰; D.e +∞⎰7、设区域222{(,)|,0,0}D x y x y a a y =+≤>≥，则22()D x y dxdy +⎰⎰等于（ ）.A ．2ad r drπθ⎰⎰, B.3ad r drπθ⎰⎰ ; C.222ad r drππθ-⎰⎰; D.322ad r dr ππθ-⎰⎰8、给定区域22{(,)|4}D x y x y =+=，则c xdy ydx -=⎰( ).A. 2π ;B. 4π;C. 6π ;D. 8π. 二、填空题：1、设3z xy x =+, 则dz = .2、三重积分Vdxdydz =⎰⎰⎰ .其中V 为半球体2222,0x y z a z ++≤≥.3、改变二重积分ln 1(,)e xI dx f x y dy=⎰⎰的积分次序, 则I= . 4、将()bxaaI dx f y dy=⎰⎰化为一次定积分, 则I = .5、设L 是任意一条有向闭曲线, 则22L xydx x dy+⎰= .6、设2yz xy =+, 则z z x y ∂∂+=∂∂ . 7、三重积分Vdxdydz =⎰⎰⎰ .其中V 为球体2222x y z a ++≤.8、设区域D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2 ，则D xydxdy⎰⎰= . 9、改变二重积分110(,)xI dx f x y dy=⎰⎰的积分次序, 则I = .10、设L 是任意一条有向闭曲线, 则22L xydx x dy+⎰= .三、计算题：1、设(,)z z x y =是由方程2220x y xyz +-=确定，求zx ∂∂、z y ∂∂. 2、判别反常积分的的敛散性：（1）1+∞⎰；（2）211ln dx x x ⎰.3、求二重积分22D x dxdy y ⎰⎰的值, 其中D 是由直线x =2、y =x 与双曲线xy =1所围成. 4、求三重积分2211Vdxdydzxy ++⎰⎰⎰的值.其中V 由222x y z +=与z =1所围成. 5、计算Lxdy ydx+⎰.其中L : (1)沿抛物线2y =沿折线OAB.均从(0,0)o 到(1,2)B .6、计算下列反常积分：（1）222dxx x +∞+-⎰；（2）10⎰.7、求二重积分21()R dxdy x y +⎰⎰的值, 其中R ：3≤x ≤4，1≤y ≤2.8、以圆域R ：222x y a +≤为底、R 上的曲面是22()x y z e -+=的曲顶柱体的体积. 9、计算VI zdxdydz=⎰⎰⎰，.其中V ：2222221x y z a b c ++≤，z ≥0.10、计算()CI xydx y x dy=+-⎰，其中曲线C 分别是：1）直线y =x ；2）抛物线2y x =；3）立方抛物线3y x =，都是由原点（0，0）到（1，1）四、证明题： 1、证明：21()ln 2()Df xy dxdy f u du=⎰⎰⎰,其中D由1,2,,4xy xy y x y x ====所围成.2、证明：表达式：2()xy xy xye xye dx x e dy ++是某一函数的全微分,并求此函数.3、证明:21()ln 2()Df xy dxdy f u du=⎰⎰⎰,其中D 由1,2,,4xy xy y x y x ====所围成.4、设(,)f x y 为连续函数, 证明:222201lim(,)(0,0)r x y r f x y dxdy f r π→+≤=⎰⎰.。

一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。

2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。

5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=Ls x yd _____________。

6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、 求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。

提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。

5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

数学分析三习题答案【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】class=txt>------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。

……(9分)zxf(xy),yy(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dzf(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。

xydxdxdzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程2z2zzz。

2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一．将函数()()2f x x x ππ=-≤≤展开为Fourier 级数（10分） 二．计算（每题9分共54分） 1． 求极限22limx y x yx xy y →∞→∞+-+2． 设()2arctan ,x z x y y e =+=，求x dzdx = 3．求二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰4． 设函数(),z z x y =是由方程ln x zz y=确定的，求z x ∂∂及z y ∂∂5．求第二型曲线积分()()2211L x dy ydxI x y --=-+⎰ ，其中L 为环绕点()1,0的简单、可求长的闭曲线 6．求三重积分,V其中V 是由曲面222,1x y z z +==所界的区域三．判断反常积分30sin p x dx x +∞⎰关于p 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的一致收敛性（10分） 四．（第1题10分，第2题16分共26分） 1．设()(),,,y f x y f x y 都在[][],,a b c d ⨯上连续，则()(),ba I y f x y dx =⎰在[],c d 上可微，并且在[],c d 上成立()(),b y a dI y f x y dx dy=⎰2．设()22220,0,,0x y f x y x y +≠=+=⎩证明：（1）(),f x y 在()0,0的邻域中连续；（2）(),f x y 在()0,0的邻域中具有有界的偏导函数(),x f x y '，(),y f x y '；（3）(),f x y 在点()0,0不能微分。

《数学分析》《第三学期》期末考试试题一. 概念题（5分）叙述含参变量的无穷积分1(,)f x y dx +∞⎰关于参数y 在数集Y 上不一致收敛的定义.二. 填空题（每题3分，共15分）1. 函数u xyz =在点(1,1,1)沿()2,1,3l =-的方向导数为 .2. 设()x x y =是由方程22221x y a b+=所确定的函数, 则dxdy= . 3. 01sin limx y xyx →→= .4. 设(,)z z x y =是由方程2222221x y z a b c ++=所确定的函数, 则zx∂=∂ . 5. 螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z ct ===上对应3t π=处的切线为 .三. 计算题（每题6分，共30分）1. 求22()()x y D I edxdy -+=⎰⎰的值, 其中()D 是闭圆域2220x y R ≤+≤.2. 设(,)u f x y =, 且其一阶、二阶偏导数都存在且连续. 若cos ,sin x r y r θθ==, 求22u r ∂∂，22uθ∂∂.3. 用柱坐标变换计算()V I zdxdydz =⎰⎰⎰, 其中()V 是上半球体:2221,0x y z z ++≤≥.4. 求函数222u x xy y x y =-+-+的极值.5. 计算333()S x dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰外, 其中()S 为球面222x y z R++=. 四. 解答题（每题10分，共50分） 1. 求224L xdy ydxI x y+-=+⎰, 其中L 为以(1,0)为圆心, R 为半径的圆周(1)R ≠, L +表示 逆时针方向.2. 设函数(,)f x y 在矩形[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,)ba y f x y dxϕ=⎰在[,]c d 上连续. 3.试验证函数(,)h x y =在原点(0,0)点连续, 且两个偏导数都存在, 但在(0,0) 不可微.4. 求22(2sin )(2cos sin )x y x dx y x x y dy -+-的原函数.5. 设平面区域()D 在x 轴和y 轴上投影长度分别为,x y l l , (),αβ为()D 内任一点,证明: 22()1()()4x y D x x dxdy l l αβ--≤⎰⎰.。

数学分析下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上存在极大值和极小值C. f(x)在[a,b]上可导D. f(x)在[a,b]上可积答案：D2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：A4. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点为：A. x=1B. x=-1C. x=0D. 不存在答案：A5. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处可积C. f(x)在x=a处有界D. f(x)在x=a处有极值答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为______。

答案：2x+32. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+1)的值为______。

答案：03. 函数f(x)=sin x在x=π/2处的二阶导数为______。

答案：-14. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。

答案：e^x+C5. 函数f(x)=ln x的原函数为______。

答案：xln x-x+C三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的极值。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。

检查二阶导数f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。

计算f(1)=0，f(3)=0，所以极大值为0，极小值也为0。

第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d e x f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++100333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

第三学期数学分析考试题一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）4.xy y x f =),(在原点不可微． （ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ ）二、 填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、 判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微． （ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）7.平面图形都是可求面积的． （⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2． 设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

实用文档文案大全数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知22ln uxy??，则ux???，uy???，du?。

2、设22Lya??2：x，则L xdyydx???。

3、设L???x=3cost，：y=3sint.（02t???），则曲线积分ds?22L（x+y）=。

4、改变累次积分32dyfdx??3y（x，y）的次序为。

5、设1Dxy??：，则(51)D dxdy???=。

二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）1、若函数f（x，y）在点p00（x，y）连续，则函数f（x，y）点p00（x，y）必存在一阶偏导数。

( )2、若函数f（x，y）在点p00（x，y）可微，则函数f（x，y）在点p00（x，y）连续。

( )3、若函数f（x，y）在点p00（x，y）存在二阶偏导数00(,)xy fxy和00(,)yx fxy，则(,)(,)xyyx fxyfxy?。

( ) 4、(,)(,)(,)(,)LABLBA fxydxfxydx???。

0000( )5、若函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则函数f（x，y）在D上可积。

( )得分阅卷人实用文档文案大全三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分(sin3)(cos3)xxAO Ieyydxeydy?????，其中AO为由(,0)Aa到(0,0)O经过圆22xyax??上半部分的路线。

2、计算三重积分???，22()V xydxdydz?其中是由抛物面22zxy??与平面4z?围成的立体。

得分阅卷人------线------实用文档文案大全3、计算第一型曲面积分SIdS???，其中S是球面2222xyzR???上被平面(0)zaaR???所截下的顶部（za?）。

4、计算第二型曲面积分22()()S Iyxzdydzxdzdxyxzdxdy???????，其中S是立方体??????0,0,0,Vbbb???的外表面。

《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。

1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。

三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。

四．计算三重积分∫∫∫，其中。

Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。

六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。

222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。

),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。

九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。

（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。

)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。

第 1 页 共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、 填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为： ； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页 共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等； （ ）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续； （ ）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积； （ ）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò； （ ）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（ ）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得 分分 阅卷人阅卷人得 分分 阅卷人阅卷人第 3 页 共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页 共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页 共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得 分分 阅卷人阅卷人 考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得 分分 阅卷人阅卷人第 7 页 共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积 解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)， 则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页 共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分） 一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分） 由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分） 于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。

数学分析期末考试题及答案ppt1. 极限的概念和性质- 题目1：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

- 答案：极限值为1。

2. 连续函数的性质- 题目2：判断函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。

- 答案：不连续。

3. 导数的定义和计算- 题目3：求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的导数。

- 答案： \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)。

4. 微分中值定理- 题目4：证明函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([0,1]\) 上至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}\)。

- 答案：根据罗尔定理，由于 \(f(0) = 0\) 且 \(f(1) = 1\)，且 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续可导，故存在 \(c \in (0,1)\) 使得 \(f'(c) = 1\)。

5. 定积分的计算- 题目5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

- 答案： \(\frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}\)。

6. 级数的收敛性- 题目6：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

- 答案：收敛。

7. 多元函数的偏导数- 题目7：求函数 \(f(x, y) = x^2y + y^3\) 的偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\)。

- 答案： \(f_x = 2xy\)，\(f_y = x^2 + 3y^2\)。

8. 多元函数的极值- 题目8：求函数 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在点 \((1, 1)\) 处的极值。

- 答案：点 \((1, 1)\) 是局部最小值点。