第三学期《数学分析》期末试题
一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件 2、
=∂∂),(00|)
,(y x x
y x f （ ）
A
x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B x
y x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； C
x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）
A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；
B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；
C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；
D 以上全不对。 4、
2
2
222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）
A 、0，0，0；
B 、不存在，0，0，；
C 、0，不存在，0；
D 、0，0，不存在。 5、设
y
x e
z =，则
=∂∂+∂∂y
z y x z x （
A ）
A 、0；
B 、1；
C 、-1；
D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分）
1、 证明函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+≠++=0
00),(222
22
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在
该点不可微；
2、 设
⎰⎰'=-x x
t
x f x f dt d e
x f 0)(),(,)(2
求ττ；
3、 设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、
z y ∂∂；
4、 计算(cos sin )x C
e ydx ydy -⎰
，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光
滑曲线；
5、 计算
zdS ∑
⎰⎰
，其中∑为22z x y =+在14
z ≤的部分；
三、验证或解答（满分24分，每小题8分）
1、验证曲线积分
⎰+++++L
dz
y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；
2、说明对任意),0(sin ,00
)(2
+∞∈>⎰+∞
+-t tdx e x 关于αα
均一致收敛；
3、验证函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
,00,2),(22222
2y x y x y
x xy
y x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.
四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧
=-+=++10
3
3
3
z y x z y x 确定的隐函数
)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的
一阶导数。
部分题目参考答案： 二、1、证明：
|
|||
02
2
xy y
x xy ≤+≤（4分）
2
2)
0,0(),(lim
y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，
（3分）又
00lim 0=∆→∆x x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但
2
2)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，
故函数在（0，0）点不可微（3分）
二、2、解
由于
2
2
2
2
'0
00)()(,)()(x
x
x x x
t
x x x
t
xe dt e dt d e x f dt d e x f ----==-+=='=⎰⎰⎰⎰⎰ττττ，所以
2
1
2121)(21)(2
2
2
2
2
+
-=-=--
==----⎰⎰x x
x
t t x
t
e e t d e dt te x
f .
二、3、 [解法 1] 由隐函数、复合函数求导法
''
11''''
1212221F zF z
z
x y x
xF yF F F z z ⋅
∂=-=
∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
''
22''''1212221
F zF z z
x y y
xF yF F F z z ⋅∂=-=
∂+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
[解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得 '
'120x y F d F d z z ⎛⎫⎛⎫+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，''1222
0zdx xdz zdy ydz F F z z --⋅+⋅= ''12''
12zF dx zF dy dz xF yF +=+，故 ''12''
'
'
1212zF zF z
z
x xF yF y xF yF ∂∂==∂+∂+.
由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.
二、4、 解 令
X
=cos x
e
y ，Y =sin x
e
y -，则
x
Y ∂∂=
y
X ∂∂=sin x
e
y -,故被积表达式
