平面与空间直线
(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论
图形
符号语言
文字语言（读法） 点A 在直线a 上。 点A 不在直线a 上。
点A 在平面α内。
点A 不在平面α内。 直线a 、b 交于A 点。
直线a 在平面α内。
直线a 与平面α无公共点。
直线a 与平面α交于点A 。
平面α、β相交于直线l 。
α（平面α外的直线）表示α或a A α=。
2、平面的基本性质
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：
A A
B B ααα∈⎫
⇒⎬∈⎭
。 如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推理模式：A l A αα
ββ∈⎫
⇒=⎬∈⎭
且A l ∈且l 唯一如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。
例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面
α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线．
解：∵AB ∥CD ，
B
A α
D C
B A
∴AB ，CD 确定一个平面β．
又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，
即E 为平面α与β的一个公共点．
同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．
又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β．
又∵α β＝l ，∴M ∈l ，
即AB ，CD ，l 共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．
公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。
例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．
证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．
∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α． ∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．
同理可证b ⊂α，c ⊂α．
∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．
2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．
设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．
又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．
∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．
α b a d
c G F E A
图1 a b c d α H K
图2 α D
C B
A
l 例2
β
M
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。
推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l
α 。
推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b
α。
推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α。
练习：
1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．
证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵B 1D 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ． ∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ．
∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ，
∵A 1C 1 B 1D 1＝O 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，B 1D 1⊂平面
BB 1D 1D ，
∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1
说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。
（Ⅱ）、空间两条直线
1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；
2、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：//,////a b b c a c ⇒。
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角
A 1 A B
B 1 D
D 1
C C 1
O 1
P
