1
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数
1
)(+=
s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (-2，j 0)，(0+j 1)，( -3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()
13()(++=s s s K s G
试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s =-1/2，0；K =1：s
2；K =-∞：s =-∞，-1/3。根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图
4-3 已知系统的开环传递函数)
1()
1()()(-+=
s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨
迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：±j 。稳定的K 值范围：K >1。
2
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图
4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为
2
*
)
4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。 解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-4答案图
4-5 设控制系统的开环传递函数为)
164)(1()
1()()(2
*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨
迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-2/3；复数极点出射角 55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46 ＜K＜2.23 (即23.4 ＜K*＜35.7)。
习题4-5答案图
4-6 已知系统的特征方程为
)4
(
)3
)(
1
)(
3
)(
1
(2=
+
+
-
-
+
+s
K
s
s
s
s
试概略绘出K由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。
解：渐近线：θ =±90°，σ =0；分离点±2，相应K=1.88；会合点±j3.46，相应K=34.14；复数零点入射角 90°；无论K为何值系统均不稳定。
习题4-6答案图
4-7反馈系统的特征方程为
)
160
(
12
32
3
4=
+
-
+
+
+K
s
K
s
s
s
作出0< K <∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K值范围。
3
4
解：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-2/3；复数极点出射角 63°；分离点：1.6 ，会合点：-3.43。由图可知系统在任何K 值下都是不稳定的。
习题4-7答案图
4-8 已知闭环系统的特征方程为0)1()(2=+++s K a s s 。
(1)画出a =10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K 的取值范围；
(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a 值，并画出相应的根轨迹；
(3)在(2)中确定的a 值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K 值；
(4)画出a =5时的根轨迹。当K =12时，已知一个闭环极点为-s 1= -2，问该系统能否等效为一个二阶系统？
解：（1）渐近线：θ =±90°，σ =-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时K 的取值范围为（0，31.3）（32，∞），呈单调变化时K 的取值范围为（31.3，32）。
习题4-8（1）答案图
（2）具有一个非零分离点的a=9。
5
习题4-8（2）答案图
（3）a =9时，闭环二重极点s 1,2=-3对应的K =27。 （4）渐近线：θ =±90°，σ =-2；不能等效。 画出a =5时的根轨迹。
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-8（4）答案图
4-9设单位反馈系统的开环传递函数为
)
()(a s s K
s G +=
试绘出K 和a 从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K = 4时，绘出以a 为参变量的根轨迹。
解：令a =0 绘制K 为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。
6
习题4-9答案图之一
当K 取不同值时，绘出a 变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。当K = 4时，画a
从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。
习题4-9答案图之二
4-10设单位反馈系统的开环传递函数为
)
1)(1()(++=
s T s s K
s G α
其中开环增益K 可自行选定，试分析时间常数T a 对系统性能的影响。
解：重做该题。等效开环传递函数
[]2'
2
(1)()T s s G s s s K α+=++
当K ≤0.25时，[ G (s )] ’具有实数极点。取任何正实数T a 系统都是稳定的。选择K =0.1画根轨迹如习题4-10答案图之一所示。
