初等数论结课论文
一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。
二．连分数的学习
1．连分数的定义
若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则
叫简单连分数。
2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12]
当然，连分数也可写成分数，如
30433013113421
14
131211=+=++=+++
3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。
例如：用辗转相除法求942和1350
的最大公约数。 012341111a a a a a +++++0a 1a 2a
13504081942942
9421262408408
408303126126
126643030
30506=+=+=+=+=+
135011194221
31
450=++
+++代入得：
4.连分数的应用。
例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）
512211125125151115121211
1115112
?====++??++?+=
++?+（）
三．结课感悟
数论与其他科目相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是最大公因数、最小公倍数、不定方程等；从形式上讲，学习方式也很不一样，初等数论一周只有2节课，课程进度快，所以对学生自学能力的要求也就非常高。所以从某种意义上讲，大学生应形成不懂先思考的良好学习作风，并自觉培养自身的抽象思维能力，对于某些题目是由于自己的思路不清晰，一时难以得出解答方法的时候，应先让自己的头脑冷静下来，重新认真分析题目，尽量通过自己的思考去解决。其次就是要学会自我思考，换位思考。如果确实无法解答出，再请教他人或看解析书，不要留有疑问。一个定理要想真正融会贯通，就要多看，多做题。
经过最近这段时间对初等数论的学习，我更加明确的认识到，这和之前我所理解的数学是有所不同的。例如在求最大公因数这一板块，以前学的方法是分解质因数法、短除法、辗转相除法，而数论则是在辗转相除法的基础上，再深一层次的知识。正如老师所说，数论不仅对以后走上讲台所需要用到的数学知识联系非常密切，而且还对我们培养严谨的数学思维具有良好的帮助，这对我们这种师范类数学专业的学生来说无疑是非常重要。
初等数论结课论文 一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。 这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。 二．连分数的学习 1．连分数的定义 若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则 叫简单连分数。 2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12] 当然，连分数也可写成分数，如 30433013113421 14 131211=+=++=+++ 3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。 例如：用辗转相除法求942和1350的最大公约数。 012341111a a a a a +++++ 0a 1a 2a
13504081942942 9421262408408 408303126126 126643030 30506=+=+=+=+=+ 135011194221 31 450=++ +++代入得： 4.连分数的应用。 例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比） 512211125125151115121211 1115112 -====++--++-+= ++-+（）
摘要 有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。采用例举、分析、归纳、证明的流程，给出了剁树枝问题最少次数的递推关系和具体表达式，并对其进行了证明。 关键词初等数论；组合数学；递归；数学归纳法 Abstract Suppose there is a positive integer units long branches, to chop them into a certain length of short branches. During the cutting process overlap is allowed, then how many times is needed at least? This problem is known as cutting the tree problem. The cutting branches-problem is a model for many practical problems, with a wide range of applications. Based on the idea of dynamic programming, the recursion formula of the least number of movements necessary for this problem is presented. The direct formula of the least number of movements necessary for this problem is given and proved by triple mathematical induction and pure combinatorics. Key words number theory；combinatorial mathematics；recursive; mathematical
HPM的初等数论绪论课教学设计论文HPM的初等数论绪论课教学设计论文 关键词：ＨＰＭ；数学史；初等数论；数学教学 一、引言 初等数论以整除为基础，研究整数性质和方程（组）整数解，是近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等数论课程是我校小学教育（理科方向）和数学教育专业的专业必修课，学生通过本课程中基础知识的学习，掌握初等数论的基础内容，即算术基本理论和最大公约数理论；掌握初等数论的核心，即同余理论的基本知识；并能运用整除理论和同余理论来求解几类最基本的不定方程；掌握连分数等有关概念和性质及其应用；通过观察、实验、猜测、分析、计算、推理等学习活动，发展学生的演绎推理能力，体会数学的基本思想和思维方式；了解初等数论的价值，为学生以后继续学习数论或从事教学工作打下基础。然而，初等数论教材重在阐述数论理论知识的结果，忽视介绍知识的背景、发生与形成过程，某种意义上影响了该课程的教学质量。针对初等数论课程的性质，在绪论课中结合数学史知识，在ＨＰＭ的视角下进行绪论课的教学设计，ＨＰＭ视角下的绪论课教学的目的在于将初等数学与数学史等其他知识衔接起来，尽量消除数学教学的枯燥性，提高学生学习的积极性，让学生体验初等数论的价值，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。ＨＰＭ指的是数学史与数学教育的关系，其研究的最终目标是提高数学教育水平，具体方法是通过在数学教学中恰当地运用数学史。 二、初等数论的主要内容 １、整除理论：整除理论是数论中最重要的基本内容。本章首先简要介绍自然数与数学归纳法，然后引进整除的概念，利用带余除
法和辗转相除法这两个工具，建立最大公约数与最小公倍数的理论，进一步研究素数的基本性质和极具重要性的算术基本定理。这一理 论的主要成果有：算术基本定理、数的十进制、高斯函数、费马数、梅森数、完全数等。２、同余理论：同余是初等数论的又一基本概念。同余概念的引入，使许多数论问题的讨论得到简化，极大地丰 富了数论内容，因而同余在数论中占有极为重要的地位、涉及内容 有同余及其基本性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和费马定理及其 在循环小数和公开密钥问题上的应用。３、不定方程：不定方程是 数论中的一个古老分支，它有悠久的历史与丰富的内容、古希腊数 学家丢番图于３世纪初就研究过这样的方程，所以不定方程又称丢 番图方程、但实际上，我国对不定方程的研究从勾股方程的商高定 理和费马大定理等低次代数曲线对应的不定方程已经延续了数千年。４、连分数理论：引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整 数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问 题等。 三、初等数论的发展简史 对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数的原始推动力，这样一门以整数的结构和性质为研究对象的学科也就诞生了，这就是数论。 目前大多数人大致赞同数论的研究在内容上是从数的可约性开始的。若“可约”，则它是一个整除性问题；若“不可约”，则为余数问题。因此，整除理论被称为是数论中最古老的内容。早在两千多年 前的古希腊欧几里德的《几何原本》中论述了数论的知识，例如欧 几里得证明了质数个数是无限的，提出了求最大公约数的方法（即 所谓欧几里得算法）。我国古代在数论方面取得过辉煌的成就，现 在一般数论书中被称为“中国剩余定理”的孙子定理就起源于我国 古代《孙子算经》（约公元４００年）中的下卷第２６题。初等数 论从早期发展起来后的近两千年时间里，发展几乎停滞不前，直到 １５世纪，费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等作了初等数论 的研究工作，特别是德国数学家高斯在前人研究的基础上，发表了 著作《算术探究》，在研究整数性质过程中引进并推广了统一的符号，提出了同余理论，发现了二次互反律，开始了现代数论的新纪元。自二十世纪以来，由于现代信息技术的发展以及抽象数学和高
备注：纯手写代码，注释。 数论 1、素数 （1）暴力求解法 根据素数的概念，没有1和其本身没有其他正因数的数。所以只需枚举比这个数小的数，看能整除即可； C++代码： #include
//去掉了偶数的判断，效率提高一倍 /*如果number整除以i，那么会得到两个的因数， 而较小的那个因数不会超过number的二分之一次方； 所以只需判断到number的平方根向上取整即可；*/ if(number%i); else return false; return true; } int main() { int sum; cin>>sum; if(determine(sum)) cout<<"YES!"; else cout<<"NO!"; return 0; } 时间复杂度：o(sqrt(n)/2); 空间复杂度：几乎没有； （2）一般线性筛法： 因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘的形式； 所以可以做一个表，首先把2设为质数，然后将2的倍数设为合数，剩下的数就是新得到的质数，然后重复这个过程，直到筛到合
适的范围即可； 但是这个算法有缺陷： 1、同一个数可能被筛多次，这就产生了多余的步骤。 2、占用空间很大，如果使用bool数组的话，只能筛到1e9； 3、从1-n筛，不能从m-n开始筛； C++代码： #include
给学弟学妹的建议 我是大四的学生，大学生活即将结束，在快要离别之际，我想给亲爱的学弟学妹们一点建议。 在学习方面的建议。 1，阅读几位与自己人生发展目标相近的名人传记 2，听几场优秀大学生报告会 3，每学期制定一个详细的学习计划，让自己每天进步一点点 4，放弃考前通宵达旦的突击来蒙混过关，平时学习才最重要 5，兴趣是最好的老师，认真辅修或选修专业课以外的课程，也许你会发现这些知识比主修课更实用 6，去去英语角，不会说总会听吧，这是提高你口语的有效途径 7，千万别挂科，更不要考试作弊，一旦捉住你将终生遗憾 8，学习，永远别忘记学习。不管别人怎么说大学是个提高综合能力的地方云云，如果你学习失败了，你就什么也不是了——不排除意外，但你会是那个意外吗？ 9，毕业设计和毕业论文可能是你求学生涯的最后一次作业，务必认真完成10，要不停地向校友和学长取经：请教为人处事之道和学习生活的经验之谈 11，电脑不是整天用来上网娱乐的，认真学学WORD、EXEEL、PHOTOSHOP、POWERPOINT等实用工程 12，证书不是万能的，但TOEFL、GRE、G—、MAT、LELTS证书和计算机等级证书将会成为你选择的加速器 13，永远别把英语忘掉，英语四六级越往后越难考，否则你将会承受越来越多的压力 14，立身以立学为先，立学以读书为本。书是个人终极意义的归宿，多去看看书，别让图书馆成为你眼前的摆设 15，一分耕耘，一分收获，永远别忽视学习，在别人放弃的时候再坚持30min.你或许会得到精神和物质上的双重收获 16，再熟悉一下Albert Einstein的成功秘诀：成功=艰苦劳动+正确方法+少
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2013届本科毕业论文 数学归纳法及其在初等数论中的应用 院（系）名称数学科学学院 专业名称数学与应用数学 学生姓名孙xx 学号110412016 指导教师xx 讲师 完成时间2013.5
数学归纳法及其在初等数论的应用 孙xx 数学科学学院 数学与应用数学 学号：110412016 指导教师：xx 摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径. 关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余 1 引论 1.1 直接证法 众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法. 其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例： 例1 已知）（2;,,2,1≥???=∈n n i R x i ,满足 121=+++n x x x ,021=+++n x x x . 证明
初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导 学号： 班级： 姓名： 摘要：初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。 在高中数学中引入初等数论，有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值，应用价值，文化价值的认识。初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。 关键词：初等数论 数学竞赛 数学思想 应用 数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”. 在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础. 数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法 1 转化思想方法 转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯. 整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决. 例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程 ?? ?=+=+23 44 bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123?==+c b a . a , b , c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab
突出师范特色改革初等数论教学 [摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。 [关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。 一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养 1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。 2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、[x]、数的非十进制、欧拉函数等内容与中学联系比较紧密，而且是中学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占30％，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。对这些知识我们要重点进行讲解，并补充一些中学数学竞赛的题目给他们分析讲解，提高学生的解题能力。同时我们开设了选修课《竞赛数学》，为提高学生以后从事辅导中学生数学奥林匹克创造了一定条件。原根与指标也是初等数论中的重要内容，但与中学内容联系比较少，我们采取简单介绍的方法进行讲解。 二、改革初等数论教学方法，加强学生创新精神和实践能力培养 1．加强实践环节，提高数学系高师生的授课能力。初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点
初等数论论文素数及其应用
摘要：质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其 他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。算术基本定理每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。 关键词：素数，无穷性，著名问题，应用 素数的概念概念 只有1和它本身两个正因数的自然数，叫素数(Prime Number)，又称质素。（如：由 2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。） 100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 注：（1）2和3是所有素数中唯一两个连着的数。 （2）2是唯一一个为偶数（双数）的质数。 （3）质数的平方数只有三个因数. 素数无穷性的证明 素数的个数是无穷的。 最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了证明常用的方法：反证法。具体的证明如下： 假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。 如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。 所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
突出师范特色改革初等数论 [摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。 [关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。 一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养 1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637 年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。 2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。如整除、素数和合数、约数和倍数、奇数和偶数、平方数、同余、不定方程、[x]、数的非十进制、欧拉函数等内容与中学联系比较紧密，而且是中学数学奥林匹克竞赛的常客。据统计，被誉为“世界青年智能大赛”的国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的试题中主要用于数论知识来解的约占30％，因此也有人把数论称为是锻炼人思维的体操。对这些知识我们要重点进行讲解，并补充一些中学数学竞赛的题目给他们分析讲解，提高学生的解题能力。同时我们开设了选修课《竞赛数学》，为提高学生以后从事辅导中学生数学奥林匹克创造了一定条件。原根与指标也是初等数论中的重要内容，但与中学内容联系比较少，我们采取简单介绍的方法进行讲解。 二、改革初等数论教学方法，加强学生创新精神和实践能力培养 1．加强实践环节，提高数学系高师生的授课能力。初等数论课中的部分内容，如整除、素数与合数、奇数与偶数、同余等概念，在其他课程中已有涉及，只是没有初等数论中讲得详细、系统，因而学生已有了一定的了解。对于这部分内容我们采取让学生讲、分组讨论，由学生对这节课教学内容、教学方法进行 评论，提出自己的建议，并对如何上这节课进行阐述，最后由老师进行总结、点拨。这样突出了学生的主导性，提高了学生学习的积极性，加强了学生实践能力
关于欧拉定理问题及其应用 摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。 在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 一、欧拉定理和其推论的证明 （一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法 1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明：首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n 的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)， 考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样， （a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)
初等数论相关求解问题 ——计算机辅助研究 日期：2010年11月29日星期一作者：青海师范大学数学系08A班程康初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。 由于自然数的后继性，即它的无穷大性，给我们实际研究工作带来了困难，因此本文介绍如何用计算机来辅助研究初等数论相关问题，并列举实例予以说明。 实例一：完全数 完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14＝28。后面的数是496、8128等等。 例如： 6＝1+2+3 28＝1+2+4+7+14 496＝1+2+4+8+16+31+62+124+248 8128＝1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 ．．．．．． 对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做亏数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小，这样的数就叫做赢数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。 完全数有许多有趣的性质： 1、它们都能写成连续自然数之和 例如： 6＝1+2+3 28＝1+2+3+4+5+6+7 496＝1+2+3+……+30+31 2、每个都是调和数 它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。例如： 1/1+1/2+1/3+1/6＝2
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ) ,(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求??? ? ?563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ,数 6233 2n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
浅谈整除理论在中学数学竞赛中的应用 福建师范大学数学与计算机科学学院.数学与应用数学. 邱建萍.105012011097 【摘要】 随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务.初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支.是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等.本文主要探索整除理论在中学竞赛数学中的应用. 【关键词】 数学竞赛, 整除理论, 应用, 无穷递降法 【正文】 数学竞赛的开展导致了竞赛数学的诞生，竞赛数学的的主要内容也主要是中学教材，乃至小学教材的内容.涵盖了初等代数、初等数论、几何、组合数学等.竞赛往往是针对中学生的数学活动，目的在于培养更多的数学人才，早发现早培养.数学竞赛的主要内容也离不开中学课本，来源于课本.而这些知识都是学生容易掌握的，不是超出学生学习能力范围的，这样的竞赛是对学生有利.在这些知识中，初等数论是很重要的，因为它不需要太多的数学基础，也不要太多的其它数学分支.由于这种特性，数论常常成为了竞赛数学的重点.初等数论就是研究数的性质，特别是整数的性质.是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等.随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务.本文主要探索整除理论在中学数学竞赛中的应用. 1. 中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的联系. 竞赛数学的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学.数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学.很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等.其中的数论知识部分，就是来源于初等数论的概念与性质. 因此，初等数论与竞赛数学中的数论问题是一般与特殊的关系；是系统与分支的关系；是理论与应用的关系. 因为这些关系，竞赛数学首先要学习初等数论的基本概念和性质.例如整除的概念和性质：在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数. 定义1.1 设,a b是给定的数，0 b≠，若存在整数c，使得a bc =则称b整除a，记作|b a，并称b是a 的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作? b a.
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案 本复习题页码标注所用教材为： 教材名称 单价 作者 版本 出版社 初等数论 14.20 闵嗣鹤，严士健 第三版 高等教育出版社 复习题及参考答案一 一、填空(40%) 1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,, ,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 121181,81, ,81b b b +++也是模11的 剩余系. 考核知识点：完全剩余系，参见P54-57 3．模13的互素剩余系为 考核知识点：互素剩余系，参见P58 4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果 p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者 考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .
考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4 二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。 考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示： i)若 则 ii)若 则 iii)若 则 又 三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2 103或 a a (mod )+≡203 考核知识点：二次同余式，参见P88 提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。 四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明2 1(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于5的素数． 又 且 是不小于5的素数．
第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3 定理3 若12n a a a L ，， ，都是m 得倍数，12n q q q L ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++L 是m 得倍数． 证明：Q 12,,n a a a L 都是m 的倍数。 ∴ 存在n 个整数12,,n p p p L 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===L 又12,,,n q q q L 是任意n 个整数 即1122n n q a q a q a +++L 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-Q 又(1)(2)n n n ++Q ，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+ 从而可知 3|(1)(21)n n n ++ 3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++． 证： ,a b Q 不全为0 ∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数00ax by + ,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+ 则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =
《初等数论》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与教学要求 《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，该课程是综合应用近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程对培养中学数学教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。 通过对《初等数论》的学习，使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用；熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法；加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科；培养学生的数学思维，从而提高分析问题解、决问题的能力。 第二部分：关于教材与学习参考书的建议 本课程拟采用高等教育出版社2003年7月第三版、由闵嗣鹤,严士健主编的《初等数论》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书： 1、《初等数论》潘承洞，潘承彪，北京大学出版社1992。 2、《初等数论》周显，华东师大出版社1984。 3、《初等数论》冯克勤，余红兵，合肥、中国科学技术出版社 4、《数论基础》王杰官，福建科学技术出版社。 第三部分：课程教学内容纲要 《初等数论》主要内容有：整数整除性理论、不定方程、同余、同余式、平方剩余与二次同余式等内容。其中整除性理论、同余式理论是初等数论课程的基本内容，解不定方程、解同余式是这些理论的最基本的应用。其各章
黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等数论》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月
《初等数论》课程教学大纲 一、课程简介 课程定位与目标：初等数论是研究整数最基本性质的课程，数学教育专业一门十分重要的专业课，它与小学数学有着十分紧密的联系，通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 先修课程：高等代数 选用的教材版本：闵嗣鹤，严士健主编，初等数论第三版，高等教育出版社，2003，7. 课程主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余 课程教学方法：讲授法为主，注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。 考核方案：闭卷:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。 二、理论课程教学大纲 （一）课程的性质、目的和任务 1．课程的性质：专业课。 2．课程的目的和任务 目的：通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 任务：使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同余的概念与性质；掌握n元一次不定方程与商高不定方程的求解方法与公式；掌握欧氏定理与费马小定理的应用及欧拉函数的计算、掌握一次同余方程组的求法及孙子定理，（二）总学时与学分数 总学时数：54 学分数：3 （三）课程基本内容、要求、重难点、建议 第一章：整数的可除性 1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法；
1.2 最大公因数、辗转相除法； 1．3整数的进一步性质及最小公倍数； 1. 4 质数、算数基本定理及其应用； 1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用 教学要求：通过本章的学习，使学生掌握带余除法，最小公因数与最大公倍数的概念及其求法；掌握质数的概念及其性质；能熟练应用算数基本定理解决整数中的有关问题；理解函数[X]、{X}的概念 本章重点：整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质数的性质及算数基本定理的应用； 本章难点：质数的性质及算数基本定理的应用 教学建议：联系高等代数多项式理论中的一些理论进行讲授 第二章不定方程 2.1 二元一次不定方程 二元一次不定方程的判定条件及其求解公式 2.2 多元一次不定方程 多元一次不定方程判定条件及其求解公式 2.3 勾股数 商高不定方程及其求解公式、性质 2.4 费马大定理的介绍 教学要求：要求学生掌握求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组；掌握商高不定方程的求解公式；理解商高不定方程求解公式的指导思想教学重点：求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组、商高不定方程的求解方法 教学难点：商高不定方程的求解公式的指导思想 教学建议：联系中小学数学中不定方程的问题进行教学 第三章同余 3.1 同余的概念及性质 同余的概念、性质、简单应用 3.2 剩余类与完全剩余系 剩余类与完全剩余系的概念及其性质
初等数论作业(第三章) 1. 证明: 若n 为正整数, α为实数, 则 (1) ] [][αα=?? ????n n , (2) [][]ααααn n n n =?? ???? -+++?? ? ?? ? + +1...1. 证明: (1) 设n α = nq + r + {n α}, 0 ≤ r < n , 则[n α] = nq + r , 左边 = q n r q n r nq n n =?? ???? +=??????+=???? ??][α, 右边 = []q n n r q n n r nq n n =?? ???? ++=??????++=??? ???=}{}{αααα 所以[]αα=?? ? ? ??n n ][. (2) 设n α = nq + r + {n α}, 0 ≤ r < n , 则[n α] = nq + r , α = q +( r + {n α})/n . r = 0时, α = q +{n α}/n , 左边 = q + q + … + q = nq . 右边 = nq . r ≥ 1时, 左边 = ?? ???? -+++++?? ????++++?????? ++ n n n r q n n r q n n r q 1}{...1}{}{ααα = nq + ∑ ∑ --=--=?? ? ???+++?? ? ???++1 1 }{}{r n k n r n k n k n r n k n r αα = nq + 0 + n - 1 - (n - r ) + 1 = nq + r =[n α] = 右边. # 2. 证明不等式 [2α] + [2β] ≥ [α] + [α + β] + [β] 证明: 设α = m + a , β = n + b , m , n ∈Z , 0 ≤ a , b < 1. 不妨设a ≥ b , 则 [2α] + [2β] = [2m +2a ] + [2n + 2b ] = 2m + 2n + [2a ] + [2b ]