专题二函数零点问题
函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．
模块1 整理方法提升能力
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）
．其
中以一平一曲的情况最为常见．
分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数
f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用
零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
函数的凸性
1．下凸函数定义
设函数f x 为定义在区间
,a b 上的函数，若对
,a b 上任意两点1x ，2x ，总有
1
2
1
2
2
2
f x f x x x f
，当且仅当1
2x x 时取等号，则称
f x 为,a b 上的下凸函数．
2．上凸函数定义
设函数f x 为定义在区间
,a b 上的函数，若对
,a b 上任意两点1x ，2x ，总有
1
2
1
2
2
2
f x f x x x f
，当且仅当1
2x x 时取等号，则称
f x 为,a b 上的上凸函数．
3．下凸函数相关定理
定理：设函数f x 为区间
,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的下凸函数f x
为,a b 上的递增函数0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零．
4．上凸函数相关定理
定理：设函数f x 为区间,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的上凸函数f x
为,a b 上的递减函数
0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零．
例1
已知函数2e
2e
x
x
f x
a a x ．
（1）讨论f x 的单调性；（2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）22e 2e 12e
1e
1x
x
x
x
f x a a
a ，2e
10x
．
①当0a 时，e 10x a ，所以0f x ，所以f x 在R 上递减．
②当0a
时，由0f
x 可得1ln x
a
，由0f
x 可得1ln
x
a
，所以f x 在
1,ln
a
上递减，在
1ln ,
a
上递增．
（2）法1：①当0a
时，由（1）可知，f x 在R 上递减，不可能有两个零点．
②当0a 时，min
11ln 1
ln f x
f a a
a
，令min
g a
f x
，则
2
110g a a
a
，所以g a 在0,上递增，而1
0g ，所以当1a 时，
min
0g a
f x
，从而f x 没有两个零点．
当01a 时，1ln 0f a
，2
21
1
0e
e e
a a f
，于是f x 在
11,ln
a
上有1个
零点；因为2
3
33333ln
1
121
ln
1
1ln
10f a a a
a
a
a
a a
，且
31ln 1ln
a
a
，所以f x 在1ln
,
a
上有1个零点．
综上所述，a 的取值范围为0,1．
法2：2222e e
2e
0e e
2e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x a a x
a a x a
．令22e e
e
x
x
x
x g x
，
则222
2
222e
1e
e 2e
2e e e 2e
1e
1
e
e e e
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x g x
，令
e
1x
h x
x ，则e
1
0x
h x ，所以h x 在R 上递增，而00h ，所以当0x 时，0h x ，当0x 时，0h x
，
于是当0x 时，0g x
，当0x
时，0g x
，所以g x
在
,0上递增，在
0,
上递减．01g ，当x
时，
g x ，当x
时，0g x
．若f x 有两个零点，则y a 与g x 有两个交点，
所以a 的取值范围是
0,1．法3：设e 0x
t
，则ln x
t ，于是22
e
2e
02ln x
x
a a x at
at t t
2
2ln t t a
t
t
，令2
2ln t t G t
t
t
，则2
2
2
12
2ln 21
t t t t t t
G t
t
t
2
2
211ln t t t
t
t
，令1ln H t t t ，则11
0H
t t
，
所以H t 在0,上递增，而10H ，所以当01t 时，
0H t ，0G t
，当1t 时，0H t
，0G t
，所以
G t 在0,1上递增，在1,上递减．11G ，当0t
时，G t
，当t
时，
0G t
．若f x 有两个零点，则
y a 与G t 有两个交点，所以
a 的取值范围是0,1．法4：设e
0x
t
，则ln x
t ，于是22
e 2e
02ln 0x
x
a a x at
at t t ln 12
t a t t
．令1
2k t a t ，
ln t t
t ，则f x 有两个零点等价于
y
k t 与
y
t 有两个交点．因为
2
1ln t
t
t
，由0t 可得0e t ，由
0t 可得e t ，
所以
t 在0,e 上递增，在e,
上递减，
1e
e
，当x
时，
0t
．y
k t
是斜率为a ，过定点1,2A
的直线．当y
k t 与y
t 相切的时候，设切点
00,P t y ，则有
