冶金中学九年级数学导学案（26.3 二次函数）
课型：新授课 主备： 吕戟英 备课组长审核：_______ 教研组长审核________使用：_________ 日期：___年____月 ____日 班级：_____ 姓名：______ 一、提解目标：
1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；
2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、预习交流：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象．
观察图象得：
2．可以发现，把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2＋1；把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1．
3．抛物线y ＝x 2
，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________． 三、点拨提升 1．
2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．
四、课堂反馈
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛 物线解析式____________________________．
4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 五、达标检测1．填表
2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．
3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
二次函数的图象与性质（3） 学习目标： 会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 学习重难点： 探究形如2)(h x a y -=这类函数的图象特点和相对应的函数性质 学习过程： 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2 )2(2 1-= x y 的图象，是否也可以由函数2 2 1x y = 平移而得呢？画图试一试，你 能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 2 2 1x y = ，2 )2(2 1+= x y ，2 )2(2 1-= x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2 )2(2 1+= x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小； 当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2 )2(2 1+= x y 和抛物线2 )2(2 1-= x y 分别是由抛物线2 2 1x y = 向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2 )4(2 1-=x y ，应将抛物线2 2 1x y = 作怎样的平 移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗? 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线2 3x y -=与2 )2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴 和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由2 3x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2 )(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线2 )1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2 x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 2 2x y -=，2 )3(2--=x y ，2 )3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐
一、情境导入 二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究 探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象 顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－1 2x 2的图象相同的抛物线的解析式为( ) A ．y ＝12(x －2)2 B ．y ＝1 2(x ＋2)2 C ．y ＝－12(x ＋2)2 D ．y ＝－1 2 (x －2)2 解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1 2，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a ＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－1 2 (x ＋2)2.故选C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质 若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2， y 3的大小关系为________________． 解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1. 方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系 将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是 ( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位 解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C. 方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合 如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ ABC . 解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解． 解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得???? ?y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得? ????x 1＝0，y 1＝4，?????x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．
冶金中学九年级数学导学案（26.3 二次函数） 课型：新授课 主备： 吕戟英 备课组长审核：_______ 教研组长审核________使用：_________ 日期：___年____月 ____日 班级：_____ 姓名：______ 一、提解目标： 1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、预习交流： 在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 观察图象得： 2．可以发现，把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2＋1；把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1． 3．抛物线y ＝x 2 ，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________． 三、点拨提升 1． 2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________． 四、课堂反馈 2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛 物线解析式____________________________． 4．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 五、达标检测1．填表 2．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1 3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的． 3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________． 4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿 《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿 一、教材及学情分析 《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函数的表达式》《二次函数的`应用》、《二次函数与一元二次方程》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常重要的作用。另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。 二、教学目标及重、难点分析 通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。我认为这节课的重点是：作出函数=ax2+c的图象，比较函数=ax2和函数=ax2+c的异同，了解它们的性质；函数=ax2+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。 知识与技能目标 （1）会做函数=ax2和=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）了解抛物线=ax2上下平移规律。 过程与方法目标 本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、
5.2 二次函数的图像和性质（3） 一、学习目标： 1、能解释．．二次函数2 2 2 )(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系； 2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。 二、学习重点与难点： 对二次函数2 2 2 )(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。 三、自学质疑： 【要点梳理】 (活动一)复习二次函数2 y ax k =+的图象和性质：当0a >时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐 标为 ，当x ＝0时，y 最小＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .当0a <时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时， y 最大＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 . 二次函数2 ()y a x h =-的图象 (活动二)在同一平面直角坐标系中，画出221x y -=、()2121 --=x y 、()212 1+-=x y 的图象，并比较它们的开口方向，对称轴和顶点坐标以及增减性. 由图象可知1：抛物线()212 1 -- =x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 抛物线()212 1 +- =x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 2.把抛物线221x y - =向 平移 个单位就可得到抛物线()212 1 --=x y ，将抛物线221 x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()212 1+-=x y . (活动三)小结：1．二次函数2()y a x h =-的图象与抛物线2 y ax =形状相同，只是位置不同，可由 抛物线2 y ax =左右平移得到：
拓展训练 2020年浙教版数学九年级上册 1.2 二次函数的图象 第3课时 基础闯关全练 1．下列说法错误的是 ( ) A ．抛物线y= -2x 2+3x+1的对称轴是直线 B ．点A(3，0)不在抛物线y=x 2-2x-3上 C ．抛物线y=(x+2)2-2的顶点坐标是（-2，-2） D ．函数y= 2x 2+4x-3的图象的最低点是（-1，-5） 2．用配方法将二次函数y=x 2-8x-9化为y=a(x-h)2+k 的形式为 ( ) A ．y=（x-4）2+7 B ．y=（x-4）2-25 C ．y=(x+4)2+7 D ．y=（x+4）2-25 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③3a+c ＞0；④(a+c)2＜b 2，其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知二次函数y=x 2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是________． 5．如图，抛物线y=ax 2+bx+4经过点A （-3，0），点B 在抛物线上，CB//x 轴，且AB 平分∠CAO ，则此抛物线的解析式是_________. 6．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0). (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由; (3)该抛物线上有一点D （x ，y ），使得DBC ABC S S △△ ，求点D 的坐标．
第26章《二次函数》第三课时教案 教学目标： 1、通过对待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式方法； 2、能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数与解析式之间的转化； 3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。 教学重点：利用待定系数法求二次函数的解析式 教学难点：灵活地把非常态问题转化成一般式或顶点式的常态形式，确定二次函数的解析式 教学方法：讲授法、讨论法 教具：黑板，多媒体 教学过程设计： 一、类比引路，方法渗入 问题1：已知正比例函数的图象经过点（-2,3）你能确定这个函数的解析式吗？ 能，利用待定系数法设出正比例函数解析式，将点的坐标代入即可得到k的值，进而得出。 问题2：已知反比例函数的图象经过点（-2,3），你能确定这个函数的解析式吗？ 能，利用待定系数法设出反比例函数解析式，将点的坐标代入即可得到k的值。 问题3：已知一次函数的图象经过点（-2,3），你能确定这个函数的解析式吗？ 不能 问题4：已知一次函数的图象经过点（-2,3）、（1,5），你能确定这个函数的解析式吗？ 能，利用待定系数法设出一次函数的解析式，将点的坐标代入得关于的方程组，求解即得的值。 问题5：由以上问题的解答，你能发现确定函数的解析式的基本条件吗？ 讨论结果：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式，例如在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立条件，确定正比例函数时需要一个独立条件，确定反比例函数时需要体格独立条件。 问题6：你能推测出确定二次函数的关系式需要几个独立条件吗？ 三个独立条件 二、应用示例，巩固技能 例题：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。 （1）已知一个二次函数，当自变量时，函数值，当自变量，函数值，当自变量，函数值 （2）已知二次函数的图象经过点(-1,10)、(1,4)、(2,7) （3）已知二次函数图象的对称轴为，与y轴交点的纵坐标是6.且经过点（2,0）. 解：（3）设所求的二次函数关系式为，则有 解得 所以所求二次函数的解析式为 三、拓展形式，深化理解 问题1：一个二次函数，除了一般形式外，还有另外的一种形式，同学们还能回忆起来吗？ 顶点式，即 问题2：若一个二次函数的顶点是（1,2），你能否用顶点式设出函数关系式吗？ 其关系式为 问题3：接问题2，若要求出其关系式，还需要求出a的值，那就需要一个独立条件，那还需要什么呢？ 图象经过一个点的坐标 问题4：已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0, 1），试求这个抛物线的解析式。 方法一：用顶点式，设抛物线的解析式为，再将点（0,1）代入，得，即 所有抛物线关系式为 方法二：用顶点坐标公式。设抛物线的关系式，则其顶点坐标为，根据题意得
第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．（重点） 2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．（难点） 3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．（重点） 一、情境导入 如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离的D点时，与M点的水平距离EM为6m．在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时的抛物线的表达式. 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特点 关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( ) A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1 C．图象有最低点 D．图象的顶点坐标为(－1，2) 解析：∵－1＜0，∴二次函数图象的开口向下，图象有最高点．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1，2)，∴对称轴是直线x＝－1.故选D. 方法总结：熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键． 【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k性质的运用 在二次函数y＝－1 12 (x－2)2＋3的图象上有两点(－1，y1)，(1，y2)，则y1－y2的值是( ) A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 解析：∵二次函数y＝－1 12 (x－2)2＋3，∴该抛物线开口向下，且对 称轴为直线x＝2.∵点(－1，y1)，(1，y2)是二次函数y＝－1 12 (x－2)2＋3的图象上两点，且－1＜1＜2，∴两点都在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，∴y1－y2的值是负数．故选A. 方法总结：解决本题的关键是确定二次函数的对称轴，确定出对称轴
5.4二次函数的图像和性质(3) 教材分析： 本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用． 教学设想： 在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力． 教学目标： 知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ． 2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题． 过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转 换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用. 情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、 创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心． 教学重难点： 重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质. 难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： （1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ （2）抛物线 与抛物线 有什么关系？ 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________． 可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ． 【设计意图】： 通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及 相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备. 合作探究: 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象 221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-() 2112y x =--
第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 【知识与技能】 1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响. 2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】 1.在小组活动中体会合作与交流的重要性. 2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识. 【教学重点】 掌握y=a(x-h)2的图象及性质. 【教学难点】 理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响. 一、情境导入，初步认识 1.在同一坐标系中画出y=1 2 x2与y= 1 2 (x-1)2的图象，完成下表. 2.二次函数y=1 2 (x-1)2的图象与y= 1 2 x2的图象有什么关系？ 1 2 (x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小? 二、思考探究，获取新知 归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表. 三、典例精析，掌握新知
例1 教材P12例3. 【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象. 例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后 的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，且-1 2 ＜x1＜x2，试比较y1,y2 的大小. 解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2. ②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小， 又-1 2 ＜x1＜x2,∴y1＞y2. 【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点. 四、运用新知，深化理解 1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（） 2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（） A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限 3.在反比例函数y=k x 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象 大致是（） 4.（1）抛物线y=1 3 x2向平移个单位得抛物线y= 1 3 (x+1)2; (2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2. 5.（某某某某中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）. (1)求抛物线的解析式; (2)画出函数的大致图象; (3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？ 【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑. 【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x2
第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》学案 深圳市翠园中学 黄缨 梁成 学习内容:北师大版九年级下册第二章第二节第3课时. 学习目标: 会画二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 学习重点: 二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 学习难点: 二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 学习过程: 回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 探究一：2)(h x a y -=的图象和性质 独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流. 观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？ 2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象. 完成后同伴交流：你是怎样作的?
3、结合图象，议一议 交流：二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 4、结论:将22x y =的图象向 平移 个单位就得到2)1(2-=x y 的图象. 5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！ 猜测：将22x y =的图象向 平移 个单位就得到2)1(2+=x y 的图象. 结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)1(2+=x y 的图象. 探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质 1、小组活动： （1）合情推理：由二次函数22x y =的图象，你能得到2 1 22- =x y ，2)3(2+=x y ，2 1 )3(22-+=x y 的图象吗？你是怎么样得到的？ 将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2 1 22- =x y 的图象； 将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)3(2+=x y 的图象； 将22x y =的图象先向 平移 单位, 再向 平移 单位,就得到 2 1 )3(22-+=x y 的图象. （2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化. （3）议一议：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与2ax y =有什么关系？
2.二次函数的图象与性质（第3课时） 学习目标： 1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律； 2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 学习过程： 一、学生独立完成 1、函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象； 2、函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象。 3、函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ 4在下图中做出()2 12y x =--的图象： 观察： 1. 抛物线 ()2 12y x =--开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2. 抛物线 ()212y x =--和2y x =的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”） 3. 抛物线()212y x =--是由2y x =如何平移得到的？答： 4、a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改 变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 归纳：
（一）抛物线 2()+y a x h k =-的特点： .当0a >时，开口向 当0a <时，开口 顶点坐标是 ，对称轴是直线 （二）抛物线 2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。 二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 2.3二次函数的图像与性质课堂练习 1.二次函数的图象可由的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线212 y x =相同的解析式为（ ） A ．()21232 y x =-+ B ．()21232y x = +- C ．()21232y x =++ D ．()21232y x =-++ 3.抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（，1） B ．（5，1） C ．（，） D ．（1，） 4．抛物线经过平移得到，平移方法是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 5．将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数 关系式是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．抛物线 的对称轴是（ ） A ．直线 B ．直线 C ．直线 D ．直线 7．在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）A ． B ． C ． D ． 8．二次函数 的最小值是______． 9.抛物线()21653 y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 2)1(2 12+-=x y 221x y =
第3课时二次函数的图像和性质（3）一、感受·理解 1．抛物线y=1 2 （x－3）2，则此抛物线的顶点坐标是_______． 2．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3•个单位，得到的抛物线表达式为__________． 3．抛物线y=2x2沿x轴向_____平移________个单位，再沿y轴向_____平移____个单位，可以得到抛物线y=2（x+2）2－3． 4．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为________． 5．抛物线y=2（x－3）2+7•的开口方向是________，•顶点坐标为 _______，•对称轴是________． 6．根据图中的抛物线，当x______时，y随x的增大而增大；当 x______时，y随x的增大而减小． 7．有3个二次函数，甲：y=x2－1；乙：y=－x2+1；丙：y=x2+2x－1，则下列叙述中正确的是（） A．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合; B．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; C．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合; D．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合 二、思考·运用 8．用配方法将函数y=1 2 x2－2x+1化为y=a（x－h）2+R的形式是（） A．y=1 2 （x－2）2－1 B．y= 1 2 （x－1）2－1 C．y=1 2 （x－2）2－3 D．y= 1 2 （x－1）2－3 9．二次函数y=－3（x－2）2+9的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A．开口向下，对称轴为x=－2，顶点为（2，9）; B．开口向下，对称轴为x=2，顶点为（2，9）;
22.1.3二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质（第3课时） 教学目标: 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2的图象． 2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质． 3．理解二次函数y ＝a(x －h)2、y ＝ax2之间的关系． 教学重点:理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，二次函数y ＝a(x －h)2、y ＝ax2之间的关系． 教学难点:理解二次函数y ＝a(x －h)2、y ＝ax2之间的关系． 教学过程: 一、复习导入，回忆二次函数的图像的平移 1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 -- 。 2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 --- 。 二、新课教学 问题1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x2，y ＝(x －1)2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象．首先列表： 然后描点画图，画出二次函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2-2的图象． 教师让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识1. 抛物线()2 12y x =--开口向 上 ；顶点坐标是（1，-2） ；对称轴是直线 x=2 。 问题2 抛物线y ＝－ 21(x ＋1)2，y ＝－21(x －1)2与抛物线y ＝－2 1 x 2有什么关系？教师引导学生仔细观察图象，回答问题：可以发现. 抛物线()2 12y x =--和2y x =的形状 相同 ，位置 不同 。 问题3. 抛物线()2 12y x =--是由2y x =如何平移得到的？＞＜
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 知识要点基础练 知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象 1.二次函数y=2(x+2)2-1的图象大致是(C) 2.抛物线y=(x+4)2-1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是(B) A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位 B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位 C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位 D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位 3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是(D) A.开口向下 B.当x=3时,y有最大值是5 C.对称轴是x=-3 D.顶点坐标是(3,5) 知识点2二次函数y=a(x-h)2+k的性质 4.与抛物线y=3(x-3)2+4形状相同的抛物线是(B) A.y=(x-3)2 B.y=3x2 C.y=(2x-1)2+3 D.y=(2x-3)2+4 5.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(B) A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1 8.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是(A) A.y=(x+2)2-3 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2 9.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的图象经过(A) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,-2≤x≤1,那么函数y的值(D) A.最小值是1,最大值是5 B.最小值是1,无最大值 C.最小值是3,最大值是9 D.最小值是1,最大值是13 11.如图,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,AB∥x轴交抛物线于另一点B,点C为该抛物线的顶点,若△ABC为等边三角形,则a的值为(C) A. B. C. D.1 12.写出与y=-x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式 y=(x-4)2+5. 13.一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(-6,1),则此抛物线的函数解析式为y=-3(x+6)2+1或y=3(x+6)2+1. 14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为10. 22.1 二次函数 教学时间课题22.1 二次函数（3）课型新授课 教学目标知识 和 能力 使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。 过程 和 方法 让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性 质及它与函数y＝ax2的关系。 情感 态度 价值观 师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦 教学重点会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系 教学难点正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系 课堂教学程序设计设计意图 一、提出问题 1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较) 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2…18 8 2 0 2 8 18 … y＝x2＋1 …19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。 （图象略） 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向 人教版数学九年级上22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像 和性质教学设计 图象上下平移的口诀：k 值正上移，负下移. (3)归纳与总结： 通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究，你能说出二次函数 y = ax 2 + k （a ＞0）的图象特征和性质吗？ 一般地，当 a ＞0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而增大． 当 a ＜0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k ），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x ＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x ＞0 时， y 随 x 的增大而减小． 完成相应练习 2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 画出二次函数y=-2 ，y=-2，y=- 2 的图象，并探究它们的图象特征和性质。 (1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。 (2)讨论： ①观察y ＝－21(x ＋1)2，y ＝－21(x －1)2的图象，分别指出他们的开口方向、对称轴、顶点。 抛物线y ＝－21 (x ＋1)2的开口向下，对称轴是经过点 (－1，0)且与x 轴垂直的直线，把它记作x ＝－1，顶点是(－1， 系,总结出二次函数y = ax 2 + k 的图象性质。 教师引导学生根据画函数图象的步骤画出 函数的图 象，交流合 作，各组选派代表发表 意见 用从特 殊到一 般的学习方法，还培养了学生 的交流沟通能力、总结归纳能力。 26.3实际问题与二次函数教案 教学设计思路 本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的相关问题为背景，使用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相对应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这个节的学习能够使学生对解决实际问题的数学模型的理解再提高一步，从而提高使用数学分析问题和解决问题的水平。 一、教学目标: 1．知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。 经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。 3．情感态度与价值观 体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。 二、教学重点难点: 1．重点 通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。 2．难点 利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。 三、教学过程: (一)创设情境导入新课 小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。水面下降1 m时，水面宽度增加多少? (二)探究: ①想一想:二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就能够求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。怎么建立坐标系呢？ ②建立模型:建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。即抛物线的表达式. ③解决问题:当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。 教师注重: （１）学生能否用函数的观点来理解问题；九年级数学上册 22.1 二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版
22.1.3二次函数第三课时教案
实际问题与二次函数第三课时教案
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