九年级数学比例线段
学习目标：
1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用.
2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值.
3.了解黄金分割的意义.
学习重点：比例线段的概念及性质.
学习难点：黄金分割的运用.
一、知识链接
1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______.
2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？
二、新知预习
3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？
如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例.
可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段.
三、自学自测
1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
四、我的疑惑
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一、要点探究
探究点1：成比例线段
例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（）
A.3cm，4cm，5cm，6cm
B.4cm，8cm，3cm，5c m
C.5cm，15cm，2cm，6cm
D.8cm，4cm，1cm，3cm
【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【针对训练】
1.已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. （1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
2.在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m.
思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解.
探究点2：比例的性质
（一）比例的基本性质
问题1：如果a,b,c,d四个数满足,那么ad和bc相等吗？并说明理由答：________. 理由如下：
∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.
∴在等式两边同时乘以bd，得____________.
即若，则ad=bc.
问题2：试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？逆命题是：如果ad=bc,那么_______.
请仿照问题1证明：
【归纳】比例的基本性质：
如果ad=bc,那么________(b,d≠0).
例2：已知a＋3b2b＝72，求ab的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
_________.
∴a＝____b，∴ab＝____.
解法2：(倒数法)由a＋3b2b＝72，得________＝7，
∴____________，∴ab＝_______.
【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
（二）等比的性质
（1）我们知道，由（2）试猜想：
并证明你的猜想.
【针对训练】
1.已知a：b：c＝3：4：5，求2a－3b＋ca＋b的值.
2.已知ab＝cd＝ef＝2，且b＋d＋f≠0，求a－2c＋3eb－2d＋3f的值.
3.若a，b，c都是不等于零的数，且a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，求k
的值.
探究点3：黄金分割
问题：
1.如图，在五角星图案中，用刻度尺分别测量线段AC、BC的程度，然后计算，它们的值相等吗？
2.已知线段AB的长度为1个单位，在线段AB上找一点C，使较短的线段BC与较长的线段AC的比等于AC与原线段的比，即使成立，求此时线段AC的长.
3.你能在线段上画出点C的大概位置吗？这样的点有几个？
【归纳】在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，AC/AB称为黄金分割点.
例3：已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA＝5－1，求原线段AB的长.
【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
【针对训练】
1.已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：（1）AC－BC；（2）AC·BC.
2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为
0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
二、课堂小结
比例线段内容运用策略
线段的比在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，判断四条线段是否成比例，
首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
比例的性
质①如果，那么________; ②如果ad=bc，那么________; ③等比的性质：____________. 把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.
黄金分割①一条线段的的黄金分割点有___个；②黄金分割比为
__________. 如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则
AC=______AB，BC=_______AB.
1.下列各组数中一定成比例的是( )
A.2，3，4，5.
B.-1，2，-2，4.
C.-2, 1, 2，0.
D.a，2b，c，2d.
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为p，q，则下面所给的比例式正确的是( )
A. m：n=p：q
B.m：p=n：q.
C.m：q=n：p
D.m：p=q：n.
3.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝ ( )
A．5－1 B．3－5 C．5－12 D．5－1或3－5
4.已知线段x＝12cm，y＝4cm.线段x和y的比例中项为a，则a＝
________cm.
5.已知三条线段的长度分别为1cm，2c m，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．
6.已知a3＝b4＝c5≠0. (1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；(2)求2a－3b＋ca的值．
7..如图，已知线段AB.
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝12AB.
(2)连结AD，在DA上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
请你根据以上作法，证明点C是线段AB的黄金分割点．
当堂检测参考答案：
1.B
2.D
3.D
4.43
5.所给的线段长为x cm，则有
①x1＝22，x＝22；②1x＝22，x＝2；
③12＝2x，x＝22故再给出的一条线段长应为22cm或2cm或22cm.
6. (1)设a3＝b4＝c5＝k(k≠0)，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，
解得k＝2.
所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.
(2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以2a－3b＋ca＝－k3k＝－13.
7.设AB＝2x，则BD＝DE＝x，根据勾股定理，得AD＝AB2＋BD2＝（2x）2＋x2＝5x，则AC＝AE＝5x－x＝(5－1)x.
∵ACAB＝5－12，
∴点C是线段AB的黄金分割点．
学生编号学生姓名授课教师 辅导学科数学所属年级九年级教材版本沪教版课题名称比例线段2课时进度授课时间月日教学目标如下 重点难点如下 24．2 比例线段 （2） 学习目标1、掌握黄金分割的含义；2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；3、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化。 学习重点 黄金分割的意义。 学习难点 熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。 学习过程 一、学前准备 已知a=2,b=4,c=6 ；若a，b，c，x 是成比例线段，则x= ；若a，x，b，c 是成比例线段，则x= 小明的身高为 1.6m ，测得他的影长为1m，在同一时刻，旗杆的影长为5m，则旗杆的实际高度是若线段a、b、c满足a：b＝b： c ，则称线段 b 是线段 a 与 c 的实数b是 3 和8的比例中项，则b ＝已知线段a＝6cm，b＝24cm，那么线段 a 和、探究活动阅读材料：展示四个国家的国旗。 1、 2、 3、 4、 5、 1、 b 的比例中项 c ＝cm。 新西兰 人民共和国朝鲜 这四面国旗中的共同图案是。 为什么都会选择这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：它本身是一个非常完美的图案。古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之 1） 2） 间的协调一致。”下面就让我们从数学的角度来探究此图案中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系。 2、自主探究·解决问题 五角星是我们常见的图形。在右图中，度量点C到点A，B的距离，AC和BC相等吗？ AB AC 操作要求：请用直尺测量线段长度，再求比 值。 B
24.2.1《成比例线段》教学案 一、课时学习目标： 1、了解比例线段的概念。知道与“线段的比”的区别与联系。 2、了解比例的基本性质，会进行简单的变形。 二、课前复习导学： 1、什么是相似图形？ 2、问：这两张图形有什么联系？ 它们是 图形，它们 的形状 ， 不相同，是相似形。 为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。 三、课堂学习研讨 1、由上面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ' '＝________， 这样 B A AB ' '与 C B BC ' '之间有关系_______________． 2、概括：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 d c b a =（或a ∶b ＝c ∶ d ），那么，这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 3、问题1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解：（1）∵ =b a ＝ ， =d c ＝ ， ∴b a d c ∴线段a,b,c, d 成比例线段。 （2）∵=b a ＝ ， =d c ＝ ， ∴ b a d c ∴线段a,b,c, d 成比例线段。 图24.2.1
4、练习：判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4． 5、新结论： 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果 d c b a =，那么a d ＝bc ． 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 d c b a = ． 以上结论称为比例的基本性质． 6、思考：请试着证明这两个结论。这两个命题间有什么关系？ 7、练习：（1）、如果 c b b a =，那么b 叫做a 、 c 的比例中项，也可以写成2b = 。 （2）、已知：线段a 、b 、c 满足关系式c b b a = ，且b ＝4，那么ac ＝______． 8、问题2 证明：（1）如果 d c b a =，那么 d d c b b a +=+； （2） 如果 d c b a =，那么 d c c b a a -= -． 证明（1） （2） 四、课堂达标练习 1、已知 2 3=b a ，那么 b b a += 、 b a a -= 。 2、在比例尺为1：8000的校地图上，矩形运动场的图上尺寸是cm cm 21?，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 。 3、 在比例尺不同的城市两张地图中，量得A 、B 、C 三地的图上距离，第一张地图中量 AB=3.6cm ，AC=3cm ，在第二张地图上量得AB=6cm ，那么第二张地图中量得AC 为多少？ 五、小结与作业： P 51习题24.2第2，3题。 教学反思：
课题：4.1.1成比例线段 教学目标： 1．结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段． 2．借助几何直观，掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系． 教学重、难点： 重点：了解线段的比和成比例线段的概念，了解比例的基本性质及其应用． 难点：了解线段的比和成比例线段的概念． 课前准备：制作多媒体课件． 教学过程： 一、美图欣赏，情境导入 导语：同学们，色彩斑谰的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过和全等形（多媒体出示图1）；有的只有形状相同，这就是相似图形（多媒体出示图2）．你知如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们学习第四章，本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：4.1成比例线段(1)】 图1 图2 处理方式：学生观看生活中的存在的全等形及相似形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形． 设计意图：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫． 二、探究学习，获取新知 活动1：两条线段的比 1．考考你的眼力（多媒体出示） 你能在下面的这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？
九年级数学比例线段 学习目标： 1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 3.了解黄金分割的意义. 学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：黄金分割的运用. 一、知识链接 1 .已知线段AB和CD的长度分别是2cm,6cm,则AB和CD的比是_______,表示为_______. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？ 二、新知预习 3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是a、b，则可得
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中____，____，____，____是成比例线段，____，____，____，____不是成比例线段. 三、自学自测 1.已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？ (1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. 四、我的疑惑 _____________________________________________________________ ________________ _____________________________________________________________ ________________ 一、要点探究 探究点1：成比例线段 例1：下列四组线段中，是成比例线段的是（） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5c m
第二十五章图形的相似 25.1 比例线段 ┃教学整体设计┃ 【教学目标】 1.了解比例线段的概念；掌握比例的基本性质，了解黄金分割的意义. 2.巩固比例的基本性质，并能熟练运用求比值. 【重点难点】 重点：比例线段及其性质. 难点：应用比例的基本性质进行比例变形. ┃教学过程设计┃ 教学过程设计意图 一、创设情境，导入新课 1.学生举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形. 2.你能看懂比例尺为1∶1000的地图吗？一个长方形的长为6厘米， 宽为4厘米，这个长方形的长与宽的比是多少？ 3.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形 的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这 个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？ 通过这些学生所 熟知的例子说明数学 在生活中的应用，激发 学生的学习兴趣. 二、师生互动，探究新知 1.两条线段的比的概念. 观察下列三幅图，你认为哪两幅的大小不同但形状相同？ (1)测量：AB＝______，BC＝______，A1B1＝______，B1C1＝______. 计算： AB BC ＝______， A1B1 B1C1 ＝______. (2)测量AB＝______，BC＝______，A2B2＝______，B2C2＝______. 计算： AB BC ＝______， A2B2 B2C2 ＝______.
┃教学小结┃ 【板书设计】 比例线段 1.两条线段的比例题讲解 2.成比例线段例： 3.比例的基本性质 4.等比性质 5.黄金分割 【教学反思】 整个教学过程力求体现学生自主探索、独立思考、合作交流的学习过程，从中提高学生的数学学习的能力.如要求学生用自己的语言归纳比例的基本性质，重视在练习中发挥教师的指导作用，使练习的针对性更强.巩固练习在层次上由易到难，在形式上由封闭走向开放，让学生的聪明才智、才能得到充分的发挥，真正主动学习，成为学习的主人.
2019-2020学年九年级数学上册 4.1 成比例线段（第一课时）教案（新版） 北师大版 一、学生知识状况分析 相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）。所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难。 二、教学任务分析 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 （三）情感与价值观要求 1．、．有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；2．、．通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 3．、．在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件
三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。 第一环节 设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。 实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。 第二环节：新课讲解 活动内容： 1.请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（rat io ）AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CD AB =,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE 与五边形A ’B ’C ’D ’E ’形状相同，AB=5cm ，A ’B ’=3cm 。AB: A ’B ’=5 : 3，就是线段AB 与线段A ‘B ’的比。 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
《比例线段：比例线段、比例的基本性质》教学教案
教学过程设计 kd kb，b a= =，ad kb d b kd bc =⋅=⋅= 学生活动：与教师共同探究 评析：书中比例性质，突出了：若 d c b a =，则bc ad=，若bc ad=，则 d c b a =，这 是比例的基本性质，该基本性质表明：“比例式” d c b a =与乘积式bc ad=是可以相互转化的，由bc ad=还可以得到其他的7个比例式.(学生思考解决)。 （1）基本性质 如果 d c b a =，那么ad=bc（b、d≠0）。 反之，如果ad=bc，那么 d c b a =（b、d≠0）。 例3 证明：（1）如果 d c b a =，那么 d d c b b a+ = + ； （2）如果 d c b a =，那么 d c c b a a - = - ． 证明（1）∵ d c b a =，在等式两边同加上1， ∴1 1+ = + d c b a ，∴ d d c b b a+ = + ． （2）∵ d c b a =，∴ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ad＋ac＝bc＋ac，∴ac－ad＝ac－bc， ∴a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， ∴ d c c b a a - = - ． 由例（3），引导学生得到比例的合比性质： （2）合比性质 如果 d c b a =，那么 d d c b b a+ = + （b、d≠0）。 例4 已知，如图，在△ABC中， EC AE DB AD =。 求证：（1） EC AC DB AB =；（2） AC AE AB AD =。 例5 详见教材P67-68例2 A B C D E
《成比例线段1》教学设计 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题 教学过程 一、创设情境、引入新课 欣赏几组图片，你发现了什么？ 图形的形状相同，但是大小不同 二、讲授新课、探索新知 1、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m 、n ，那这 两条线段的比就是两条线段的长度比。 ）（或记作：n m CD AB n m CD AB ==:: 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 巩固练习1：（1）若线段AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，则 （2）.若线段AB ＝8cm ，CD ＝2dm ，则 =CD AB =CD AB
2、比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 巩固练习2：判断下列a 、b 、c 、d 是否成比例线段，为什么？ 10,5,2,4)1(====d c b a 35,152,5,2)2(====d c b a 三、典例精讲、新知应用 例1 一块矩形绸布的长AB =a m ，宽AD =1 m ，按照图中所示方式将它裁成相同的三面 矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 那么a 的值应当是多少？ 变式练习：如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别 为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） 1:2.A 2:1.B 1:3.C 3:1.D 四、课堂小结 1.两条线段的比及比例线段的概念； 2.方程思想的体现； 3.比例线段在实际问题中的应用. 必做作业：习题4.1第1，2题. 选做作业：习题4.1第3题.
《比例线段：比例的基本性质之黄金分割》教学教案 一、学习目标 1.理解比例尺的意义； 2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）； 3.通过实例了解黄金分割； 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 二、学习重点、难点： 教学重点：比例尺与黄金分割的概念。 教学难点：黄金分割的应用。 三、学习过程： （一）复习提问，引入新课 1．回忆小学学过的比例尺。比例尺＝ （教师可准备一张地图，让学生说明地图上所标比例尺的意义。） 2．什么叫比例中项？比例的基本性质有那些？ （二）讲解新课 1.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度， 但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？ 类题：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？ 2.课本第68页例2（解法见教材） 3.练习课本第69 页练习1. （三）探究新知 现实生活中如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。那么什么叫黄金分割？
1.例3如图，已知线段AB 长度为a ，如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和 PB ，使PB AP ＝AP AB ,求线段AB 长和AP AB 的值。 （解法见教材第68 页） 2.黄金分割，黄金分割点，黄金数（比）的概念. 一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点。比值 512 叫做黄金数。 3.五角星是我们常见的图形.在图中,度量点C 到点A,B 的距离AC AB 与BC AC 相等 吗？ 通过度量可知点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果BC AC ＝AC AB ， 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？ 4.黄金分割的深远意义 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。 5.尺规做线段的黄金分割点（或阅读课本第64至65页短文《奇妙的黄金数》） 补例：已知线段AB ＝a ，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。 A C B 图4-5 A B P 图4-1-4
4.1.1成比例线段（1） 【教学目标】 知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 情感、态度与价值观 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学重难点】 教学重点：成比例线段、比例的性质 教学难点：会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】 【创设情景，引入新课】 、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。 【自主探究】 (1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格： （1）、“比例线段”的概念： 。 已知四条线段a 、b 、c 、d,如果d c b a =（或a:b=c:d ），那么a 、b 、 c 、 d 叫做组成比例的 ， （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 “比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 结论： （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如d c b a =叫做线段a 、b 、 c 、 d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那么a 的值应当是多少？ 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解： AB AD AD AE =
第四章 图形的相似 1．成比例线段(一)学案 班级： 姓名： 一、学习目标 1、了解相似形、线段的比概念； 2、理解成比例线段的概念，掌握比例的根本性质。 二、设问导读，自学教材77-78页填空 1.线段的比 如果选用______________________量得两条线段AB 、CD 得长度分别是m 、n,那么这两条_____________就是它们_________, 即AB:CD=m:n ，或写成______________.其中AB 、CD 叫做这个线段比 的 。如果把n m 表示成比值k,那么K CD AB =,或AB=k.CD 。 两条线段的比实际上就是 。 2.成比例线段 四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称 。 如果 ,那么 ； 如果ad=bc ( ) ,那么 。 d c b a =
4.如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，请在图中标出线段AB,AD,EH,EF 的长度。 三、合作研究 〔一〕线段的比、成比例线段 例题：a=4cm.b=5cm.c=15cm,d=12cm ,判断a,b,c,d 是否成比例，并说出理由. 2)练习：判断以下四条线段a,b,c,d 是否成比例，并说明理由。 2 .0,3.0,8.0,2.1.210 ,5,6,4.1========d c b a d c b a
〔二〕比例的根本性质 1、议一议：如果a,b,c,d 四个数成比例，即 ，那么ad=bc 吗？反过来如果ad=bc ，那么a,b,c,d 四个数成比例吗？ 练习：如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折〔EF 为折痕〕，得到两个全等的小矩形。如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少? 四、课堂练习 1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是 。 2、一条线段的长度是另一条线段长度的5 3 ，则这两条线段之比是 。 3、a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,则线段d= 。 4、5x=3y,则x:y= 。 五、课堂小结 今天你学了什么？ d c b a
D C B A 4.1《比例线段》学案（2） 我预学 1.（1）根据图示，AB BC = ，AB AC = ，BC CD = ，AC CD = ， （2）请找出2组比例线段，并分别写出写出比例式. 2.（1）已知A ，B 两地的实际距离AB =5 km ．画在地图上的距离A ′B′ =2 cm ，求这张地图 的比例尺为 . （2）若量得这张地图上两城市间的图上距离为5cm ，则这两个城市间的实际距离为 km. 3. 阅读教材中的本节内容后回答： （1）两条线段的 ，就叫做这两条线段的比. （2）如果四条线段a ，b ，c ，d 中，有a c b d ，那么四条线段a ，b ，c ，d 叫做 ，简称 . 我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处： 我梳理 个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处： 我达标 1．已知a ，b ，c ，d 是比例线段，其中a = 6cm ，b =8cm ，c =24cm ，则线段d 的长度是 . 2．在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，则AB BC = ， AC BC = . 3．若两城市的实际距离为280km ，则在比例尺为1∶20 000 000的地图上，这两个城市间的图上距离为 cm ． 4．在下列给出的各组线段的长度中,不成比例的是（ ）
上海台湾 香港 5.4cm 3.6cm 3cm A. 3cm ， 5cm ， 9cm ， 15cm B. 0.8cm ， 1.6cm ， 2.8cm ， 5.6cm C. 12cm ， 24cm ， 36cm ，48cm D. 10cm ， 5cm ， 32cm ， 16cm 5．将两块长为a 米，宽为b 米的长方形红布，加工成一个长c 米，宽d 米的长方形，有人 就a ，b ，c ，d 的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（ ） A. 2a d c b = B. 2a d c b = C. 2a c d b = D. 2a d c b = 6．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ，CE 分别是△ABC 边上的高线，找出图中的一组比例线段， 并说明理由． 7．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为多少千米？ 我挑战 8．已知有长为3 cm ，4 dm ，5 cm 的三条线段，添一条线段，使这四条线段成为比例线段，则可添的线段长度为 . 9．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为 1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度 10．如图所示，△ABC 中，已知∠B =30°，∠C =45°.
3.1 比例线段 3.1.1 比例的基本性质 教学目标 【知识与技能】 1. 理解比例的基本性质. 2. 能根据比例的基本性质求比值. 3. 能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形. 【过程与方法】通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力. 【情感态度】建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣【教学重点】 比例的基本性质. 【教学难点】 比例的基本性质及运用. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1. 举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形. 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30 °角的三角尺等. 2. 美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618. 一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618, 许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关. 你知道0.618 这个比值的来历吗？ 3. 如何求两个数的比值？【教学说明】说明学习本章节的重要意义. 二、思考探究，获取新知 1. 阅读与思考题 (1) 什么是两个数的比？2 与-3 的比；-4 与6 的比.如何表示？其比值相等吗？用小学 学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
⑵比与比例有什么区别？ (3)用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项 和第四比例项的概念吗? 【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例 a c 们把a,b,c.d 四个实数成比例表示成 a : b=c : d 或 ，其中a,d 叫作比例外项，b,c 叫 b d 作比例内项. — ? a c 分析： (1)比较条件和结论的形式得到解题思路; (2)采用设比值较为简单. 【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法: 本性质；二是设比值. (1) 4a=5b, 解:( 1 )T 4a=5b, ••• “、 a b (2). 8a=7b , 7 8 • a =7 b 8. 三、运用新知，深化理解 1.已知：x : (x+1)=(1 — x) : 3,求 x. 解：根据比例的基本性质得， .通常我 2如果四个数a 、b 、c 、d 成比例，即冷 那么吗？反过来呢? 【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明 .由此，你能得到比例的基本性质吗? I 归纳结论】比例的基本性质：如果a 3.已知四个数a 、b 、c 、d 成比例，即: c … a b ，那么 =— d d c a c ，下列各式成立吗？若成立，请说明理 是利用等式的基 4.根据下列条件，求a : b 的值. (2) 旦_ b 7 一8
２2.1 比例线段 第２课时 比例线段 【学习目标】 1、能熟记比例的基本性质． ２、能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】 比例的基本性质及其应用。 【学习过程】 一、 知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： (１）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： . （2)已知2:3=４：x ,则x = 。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 (1)比例线段及其相关概念 “成比例线段"的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么，这四条线段叫做 . （２） “成比例线段”和“线段的比"这两个概念有什么区别? 线段的比是指 条线段的比的关系,成比例线段是指 条线段之间的关系。 (3）注意:概念的有序性 线段的比有顺序性，ａ:b 和b :a 相等吗?请举例说明。 成比例线段也有顺序性,如能说成是b 、a 、c 、ｄ成比例吗?请举例说明． 二、 预习交流： （1） 比例的基本性质是： 。 请写出推理过程： ∵,在两边同乘以bd 得, = ∴ = （2） ﻬ合比性质:如果，那么 请写出推理过程: ∵，在两边同时加上1得， ＋ =+ . 两边分别通分得： d c b a =d c b a =a b ⨯ c d ⨯d c b a =a b b +=d c b a =a b c d a b c d b d ++=
思考：请仿照上面的方法,证明“如果,那么”. （3） 等比性质： 猜想(),与相等吗?能否证明你的猜想?(引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质:如果（),那么＝． 思考：等比性质中,为什么要这个条件？ 三、 巩固练习: １.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为5０米,高为１.5米的测竿的影长为2．５米,那么,该建筑的高是多少米? 2．若则 3．若，则 四、 本课小结: 1．比例的基本性质：a ：b =c :d ; 2． 合比性质:如果,那么 ; d c b a =d d c b b a -=-n m f e d c b a =⋅⋅⋅===0≠+⋅⋅⋅+++n f d b n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++n m d c b a =⋅⋅⋅==0≠+⋅⋅⋅++n d b n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++b a 0≠+⋅⋅⋅++n d b :2(4):4x x =-x =2 x =0234x y z ==≠2x y z x --=⇔d c b a =
23．1 成比例线段 ２3.１.1 成比例线段 【知识与技能】 1．掌握比例线段的概念及其性质． 2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例. 【过程与方法】 能够灵活运用比例线段的性质解决问题． 【情感态度】 感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识,进一步加强理论联系实际的学习方法. 【教学重点】 线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质. 【教学难点】 用引入比值k的方法,探索比例的性质. 一、创设情境,导入新知 1．如何确定四个数成比例?数的比例式有什么基本性质？ 2.下面格点中的两个矩形相似吗？ 二、合作探究，理解新知 探究一：成比例线段 1.做一做 （１)①在上面的格点图中,如果设水平(或竖直)的相邻两格点间的距离为１,那么AB＝__＿____＿,BC=＿___＿＿__,A′B′=＿___＿＿__,Ｂ′C′＝_______＿； ②计算错误!未定义书签。＝____＿＿＿_，错误!未定义书签。=＿_＿____＿; ③显然AＢ、BC、Ａ′B′、B′C′不相等，那么它们之间有什么关系呢? 学生通过交流，得出结论:错误!未定义书签。=错误!未定义书签。。 （２)思考:换成其他线段如AD、ＣD、A′D′、C′Ｄ′是否也有类似的结论？若有，是什么? 错误!未定义书签。＝＼f(CD，C′D′). 2．结论 线段的比:如果选用同一个长度单位度量两条线段AＢ、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比． 成比例线段:对于四条线段a、b、c、d
，如果其中两条线段的长度的比等于另两条线段的比,如错误!＝错误!未定义书签。（或a∶b ＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此外也称这四条线段成比例. 3.议一议 (１)在上面的格点图中,如果把格点去掉,通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？ （2）如果在测量时，ＡB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化? （3）两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系? 4．知识运用 例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段： (1)a=4,b=6,ｃ＝5,d=10; (2)ａ=2，b=错误!未定义书签。，c＝215,d=５错误!。 分析:利用成比例线段的定义求． 解：（1）∵错误!未定义书签。＝＼f(4,６）=错误!,错误!＝错误!未定义书签。＝错误!,∴错误!未定义书签。≠错误!未定义书签。. ∴线段ａ、b、c、d不是成比例线段． (2）∵错误!=错误!未定义书签。=错误!，错误!＝错误!=错误!， ∴错误!未定义书签。=＼ｆ（c,d)。 ∴线段a、b、c、ｄ是成比例线段. 例2：根据图示求线段的比：错误!未定义书签。、错误!未定义书签。、CＤ DB ,并指出图中成 比例的线段． 解：由图可知：ＡC=1 cm,ＣD＝2 cm,DB=4 ｃm，CＢ＝CD+ＤＢ=6 cm， 故错误!=错误!，错误!＝错误!未定义书签。,错误!＝错误!未定义书签。=错误!． 则有错误!未定义书签。=错误!未定义书签。。 所以AC、CD、CD、DB是成比例线段． 探究二：比例的性质 1．在数的比例式中,若四个数a、b、c、ｄ满足错误!＝错误!，那么我们就说这四个数成比例,并且知道若错误!未定义书签。=错误!，则有ad=bc;若ad=bc,则错误!未定义书签。＝错误!.那么若线段成比例,是否也有上述结论？ 通过学生类比、讨论得出比例的基本性质. 2.比例的基本性质 如果＼f（a,b)=错误!，那么ad=bｃ.如果ad=bc（a、ｂ、c、d都不等于0),那么错误!=错误!未定义书签。。 3.议一议 （1)你会证明这两个命题吗?（引导学生从正反两个方面去证明） (2)由aｄ=bc，除了得到错误!＝错误!外,你还能得到哪些比例式？ 4．知识运用 例3：证明(１)如果错误!未定义书签。＝错误!,那么错误!=错误!未定义书签。；
课题：4.1成比例线段 第 2 课时 总第 27 课时 教学目标： 1、 结合实际背景了解等比性质。 2、 理解并掌握等比性质及其简单应用。 教学内容 1、做一做 如图，已知 2====HG AD FG CD EF BC HE AB （1）你能求出 HG FG EF HE AD CD BC AB ++++++ 的值吗？ （2）在求解过程中，你有什么发现？ 2、议一议 已知，a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，那么如果 ),0(a ≠++==f d b f e d c b 【典型例题】 例2 【再接再厉】 =++≠+==d c ),0(321b a d b d c b a 则、已知 4、当 =--+==y x z y x z y x 时，9810 5、（B ） 成立吗？为什么？b a f d b e c =++++a ____23,412的值为则、若b b a b a +=_____,9173==+y x y y x 则、若_____,==+=+=+k k z y x y x z x z y 则若的周长。求，的周长为且中，若与在DEF ABC FD CA EF BC DE AB DEF ABC ∆∆===∆∆cm 18,43
【拓展延伸】 1、如图，是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的，已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，则上面尺子的刻度16在下面尺子对应是刻度是（ ）（配套P73 3） A 、19.4 B 、19.5 C 、19.6 D 、19.7 2、如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-。你认为这两个结论正确吗？为什么？ 三、回扣目标，感悟收获 四、达标检测，反馈纠正 1、已知a 、b 、d 、 c 是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,则d= 2、在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1cm ，则 =AC BC 3、若3 2=b a ，则下列四个选项中一定正确的是（ ） A 、3232=++b a B 、2 5=+b b a C 、b a 32= D 、1=-a b 4、若5 43c b a ==，且12=-+c b a ，则a= ，b= ，c= 5、（B ）已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且60=++c b a ，若5:4:3::=c b a ，求△ABC 的面积。