有限元法基础讲义

Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学
即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个 分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及 边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本假定
（3）假定物体是均匀的 也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹
性。 （4）假定物体是各向同性的
即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数 才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性 的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同 的。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
本课程讲授的目的
通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序， 使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉 一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计 分析问题的能力。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
各学科的任务与特点
则更精确一些。 计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学
的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题， 而有限元法是其中的一种方法。 上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移， 用以校核其是否有所需要的强度和刚度。
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
选用教材及参考书
《机械工程中的有限元基础 》高德平主编 西北工业大学出版社 参考书： 《有限元法》 李景涌编 北京邮电大学出版社 《有限单元发基本原理和数值方法》 王冒城编 清华出版社 《弹性力学简明教程》 徐芝纶 高等教育出版社
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法的基本思想
将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点 （离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式， 用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法， 将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个 结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元 离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。
由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很 好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再 加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的， 应用极广的数值计算方法。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念
六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：
2 zx y 2 yx z 0
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
绪论
１.１有限元法的一般概念 １.２有限元法与其他课程之间的关系
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念
例如：x是作用在垂直于x轴的面上 xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向 正面——截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正 负面——截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正 剪应力与材料力学的不同
以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 F在x，y，z轴上的投影 X ，Y ，Z 称为在P点的面力分量，以沿坐
标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 （2）应力：研究物体在某一点P的内力。
研究物体在其某一点P的内力 lim Q s
A 0 A
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法的基本概念
结构离散化： 1）划分网格； 2）载荷移置； 3）简化约束。
单元刚度矩阵与刚度系数： 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念
这个极限矢量S就是物体在截面 mn上的，在P点的应力，应力 的S方向就是 △Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常 不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强 度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应 力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力及剪应力 。因 次（N/m**2 ）
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念与方法
２.１弹性力学 ２.２弹性力学中的基本假定 ２.３弹性力学中的基本概念
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
弹性力学中的基本假定
（1）假定物体是连续的
假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下 任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因 而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观 尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起 的误差就不大。
（2）假定物体是完全弹性的
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法与其他课程的关系
物理
力学的分类
机械振动 力 学
计算数学 计算机学
热力学 流体力学 固体力学 理论力学 弹性力学 工程力学
计算力学
结构力学 弹性力学 塑性力学
计算固体力学 计算结构力学
有限元法
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
本课程的要求
1. 做好笔记，及时复习与总结 2 . 阅读参考书籍独立上机操作 3 . 独立上机操作
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为 了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
Biblioteka Baidu
弹性力学中的基本概念
PA= x PB= y PC= z 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
前言
１.课程简介 ２.学习课程的基本要求 ３.选用教材，参考书
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法基础讲义
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法基础讲义
１.前言 ２.绪论 ３.弹性力学基本概念与方法 ４.平面问题的有限元法 ５.轴对称问题的有限元法 ６.有限元方程的解法 ７.有限元法的程序设计 ８.等参数单元
有限元法的基本求解步骤
位移型有限元法求解静力问题的一般步骤： １）划分单元； ２）计算单元刚度矩阵； ３）进行载荷移置； ４）引入约束，解方程组求得位移； ５）计算应力和应变。
注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与 应力的方法，称为力型有限元法。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
各学科的任务与特点
材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用 下的应力和位移。
结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。
弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以 及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材 料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了 构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大 大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学
符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本假定
（5）假定位移和形变是微小的 即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体
原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
lim Q F (N/m2)
S S0
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念
面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 F 在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，
完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物 体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与 它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变 与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形 变而变。 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
有限元法的一般概念
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程 实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究 复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软 件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活， 快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一 种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中 得到广泛的应用。 常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法
课程简介
有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念 与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法， 同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面 问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面 问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法 ，以ANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通 过上机操作熟悉该软件。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
弹性力学中的基本概念
（1）外力 分为体积力和表面力，简称为体力和面力。
体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力
lim Q F (N/m3)
V V 0