高考数学专题突破：用洛必达法则求参数取值范围
洛必达法则简介：
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a
f x →= 及()lim 0x a
g x →=；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()
()
lim x a f x l g x →'='，
那么 ()()
lim
x a
f x
g x →=()
()
lim
x a
f x l
g x →'='
。 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞
= 及()lim 0x g x →∞
=； (2)0A
∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；
(3)()
()lim x f x l g x →∞'='，
那么 ()
()lim x f x g x →∞=()
()
lim x f x l g x →∞'='。
若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a
f x →=∞及()lim x a
g x →=∞；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()
()
lim
x a f x l g x →'='， 那么 ()()
lim
x a
f x
g x →=()
()
lim
x a
f x l
g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○
1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a
+
→，x a
-
→
洛必达法则也成立。
○
2洛必达法则可处理00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型。 ○
3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞
，0⋅∞，1∞，0
∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ⑤若无法判定
()
()
f x
g x ''的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需要用其
它方法计算()()
lim
x x f x g x →．
【2010全国大纲理21】设函数()1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1
x
f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤
+，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）当x ＞-1时，()1
x f x x +当且仅当e
1.x
x +（步骤1） 令()e 1x
g x x =--，则()e 1.x
g x '=-
当0x 时，()g x 在[)0,+∞是增函数； 当0x
时，()g x 在(],0-∞是减函数.（步骤2）
于是()g x 在0x =处达到最小值，因而当x ∈R 时，()(0),g x g 即e 1.x
x +
所以当1x -＞时, ()1
x
f x x +.（步骤3） （Ⅱ）由题设0x
，此时()
0f x .
当0a ＜时,若1x a >-，则0,()+11
x x
f x ax ax <+不成立（步骤4） 当0a
时，令()()()h x axf x f x x =+-，则 ()
1
x
f x ax +当且仅当()0h x .
()()()()1()()().
h x af x axf x f x af x axf x ax f x '''=++-=-+-(步骤5)
（i ）当1
2
a
时，由（Ⅰ）知(1)(),x x f x +（步骤6）
()()()(1)()(),
(21)()
h x af x axf x a x f x f x a f x '-++-=-
()h x 在[)0,+∞是减函数，()
(0)0,h x h =即()
1
x
f x ax +. (ii)当1
2
a >
时，由(i)知(),x f x
()()()()
()()()()(21)(),
h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x a ax f x '=-+--+-=--（步骤7） 当210a x a -<<
时，()0h x '>,所以()(0)0h x h >=，即()1
x
f x ax >+. 综上，a 取值范围是10,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.（步骤8）
应用洛必达法则和导数（Ⅰ）略 （Ⅱ） 由题设0x ≥，此时()0f x ≥.
①当0a <时，若1x a >-，则01x ax <+，()1
x
f x ax ≤
+不成立； ②当0a ≥时，当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，即11
x x
e ax --≤+；
若0x =，则a R ∈；
若0x >，则11
x
x
e ax --≤+等价于111x e x ax --≤+，即1x x x xe e a xe x -+≤-. 记1
()x x x
xe e g x xe x
-+=-，则2222221'()=(2)()()x x x x x x x x e x e e e g x e x e xe x xe x ---+=--+--. 记2()2x x h x e x e -=--+，则'()2x x h x e x e -=--，''()+20x x h x e e -=->. 因此，'()2x x h x e x e -=--在(0)+∞，上单调递增，且'(0)0h =，所以'()0h x >， 即()h x 在(0)+∞，上单调递增，且(0)0h =，所以()0h x >.
因此2
'()=()0()
x
x e g x h x xe x >-，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增. 由洛必达法则有
000011
lim ()lim lim lim 122x x x x x x x x x x x x x x xe e xe e xe g x xe x e xe e xe →→→→-++====-+-+，即当0x →时， 1()2g x →
，即有1
()2
g x >，所以12a ≤.综上所述，a 的取值范围是1(,]2-∞.
【2008全国2理】设函数sin ()2cos x
f x x
=+．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．
