第二十八讲最小公倍数
专题简析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个就是这几个数的最小公倍数。求几个数的最小公倍数可以用列举法、短除法、辗转相除法等方法。自然数a、b的最小公倍数可以记作【a , b】。
例1 用短除法求96和72的最小公倍数。
分析与解答：
2 96 72
2 48 36
2 24 18
3 12 9
4 3……除到两个商只有公因数1为止。
把所有的除数和商相乘所得的积就是这两个数的最小公倍数，即【96,72】=2×2×2×3×4×3=288.
随堂练习：
求24和30的最小公倍数。
例2用短除法求96、30和132的最小公倍数。
296 30 132……先同时除以三个数的公因数2；
3 48 15 66……再同时除以三个数的公因数3；
216 5 22……再把16和22同时除以它们的公因数2；
8 5 11……除到每两个数的商为互质数为止。（也叫两两互质）
把所有的除数和商相乘所得的积就是这三个数的最小公倍数，
即【96,30,132】=2×3×2×8×5×11=5280.
随堂练习：
求45、60和120的最小公倍数。
例3 试求24871和3468的最小公倍数。
分析与解答：因为这两个数较大，所以直接用前面3个例题介绍的方法求它们的最小公倍数较为困难。我们知道两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。因此我们可以用辗转相除法先求出两个数的最大公因数，再用这两个数的乘积除以最大公因数，所得的商就是它们的最小公倍数。
24871÷3468=7 (595)
3468÷595=5 (493)
595÷493=1 (102)
493÷102=4 (85)
102÷85=1 (17)
85÷17=5
所以（24871,3468）=17
那么[24871,3468]=24871×3468÷17
=24871×（3468÷17）
=24871×204
=5073684
随堂练习：
求217和372的最小公倍数。
例4 两个自然数的最大公因数是14，最小公倍数是84，已知其中一个数是28，另一个数是多少？
分析与解答：两个数的最大公因数与最小公倍数的积就是这两个数的积。所以这样列式：
84×14÷28
=84×14÷（4×7）
=（84÷4）×（14÷7）
=21×2
=42
答：；另一个数是42.
随堂练习：
两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，已知其中一个数是45，另一个数是多少？
例5两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数。
分析与解答：假设这两个数分别为a和b，根据已知条件，a和b的最大公因数是15，再假设a÷15=a1，b÷15=b1，则用短除法表示如下：
15 a b
a1 b 1
根据这两个数的最小公倍数是90，可知15×a1×b1=90，所以a1×b1=90÷15=6，因为1×6=2×3=6，所以当a1、b1分别为1和6时，这两个数分别为15×1=15和15×6=90；当a1、b1分别为2和3时，这两个数分别为2×15=30和3×15=45.
答：这两个数分别是15和90或30和45
随堂练习：
两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数。
例6两个自然数的积是360，最小公倍数是120，求这两个数。分析与解答：因为“两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于这两个数的积”，根据已知条件，用360÷120=3，可以求出这两个数的最大公因数是3，就转化成了与例6类似的问题。
假设这两个数分别为a和b，a÷3= a1，b÷3=b1，用短除法表示如下：
3 a b
a1 b 1
因为3 a1b1=120，那么a1b1=120÷3=40，因为a1与b1是互质数，所以a1和b1可能是1和40，也可能是5和8.当a1、b1为1和40时，这两个数分别为1×3=3和40×3=120；当a1、b1为5和8时，这两个数分别为5×3=15和8×3=24。
随堂练习：
1.两个自然数的积是864，最小公倍数是72，求这两个数。
拓展应用：
1.求48、60和72的最小公倍数。
2.求437和323的最小公倍数。
3.一个数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，求这个数。
4.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是90，求这两个数。
5.两个自然数的积是2646，最小公倍数是126，求这两个数的和。例1
