归纳法

应为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：选 C.根据凸 n 边形至少有 3 条边，知 n≥3，故 n0 的取值应为 3.
用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n＋3）（n＋4）（n∈N*）时， 2
第一步验证 n＝1 时，左边应取的项是（ ）
A.1
B.1＋2
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
C，D 不正确.
2.用数学归纳法证明“ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞11”时，由 k 到 k＋1，不等式左边的变化
n＋1 n＋2
2n 34
是（ ）
A.增加 1 一项 2（k＋1）
B.增加 1 和 1 两项 2k＋1 2k＋2
C.增加 1 和 1 两项，同时减少 1 一项
2k＋1 2k＋2
k＋1
D.以上结论都不正确
1 ＋ 1 ＋ 1 －1 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1 .（*）
法一：（分析法）下面证（*）式≥5，即 1 ＋ 1 ＋ 1 － 1 ≥0， 6 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1
只需证（3k＋2）（3k＋3）＋（3k＋1）（3k＋3）＋（3k＋1）（3k＋2）－3（3k＋1）（3k
＋2）≥0，
2.3 数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）假设 n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成 立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法Ｗ.
k（k＋1）2
k＋1
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立.
综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立.
探究点 3 归纳——猜想——证明
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）写出 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn 的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an 的表达式.
＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1， 因为 a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， 所以 2ak＋1＝ak＋2，所以 2ak＋1＝4－21k，所以 ak＋1＝2－2k1＋1，
所以当 n＝k＋1 时结论成立.
由①②知对于任意正整数 n，结论都成立.
—————————————————————————————————————
（2）用数学归纳法证明所得结论.
解：（1）由
Sn＋an＝2n＋1，得
a1＝3，a2＝7，a3＝15，推测
24
8
an＝2n＋21－n 1＝2－21n（n∈N*）.
（2）证明：an＝2－21n（n∈N*）.
①当 n＝1 时，a1＝2－211＝32，结论成立.
②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即 ak＝2－21k，那么当 n＝k＋1 时，a1＋a2
1.一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝k（k≥1 且
k∈N*）时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上述，对于（ ）
A.一切正整数命题成立
B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立
D.以上都不对
解析：选 B.本题证明了当 n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.A，
（10 分）
所以 n＝k＋1 时，等式也成立， 根据①②可知，对∀n∈N*等式均成立.
由 n＝k 到 n＝k＋ 1 是本题难点.) （11 分） （12 分）
（1）应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明 依据，总结定论莫忘掉”来检查要点.
（2）在数学归纳法应用中，要明确当 n＝k＋1 时，等式两边的式子与 n＝k 时等式两边 的式子的联系，增加的项为（－1）k（k＋1）2.这样才可正确求解.
＝（－1）k－1·k（k＋1）. 2
（7 分）
则当 n＝k＋1 时， 12－22＋32－42＋…＋（－1）k－1k2＋（－1）k（k＋1）2
＝（－1）k－1·k（k＋1）＋（－1）k（k＋1）2 2
（k＋1）－k
＝（－1）k（k＋1）
2
（－1）k（k＋1）[（k＋1）＋1]
＝
2
＝（－1）k（1＋2＋3＋…＋k＋1）.
由（1）（2）可得对于任意的 n∈N*等式都成立.
探究点 2 用数学归纳法证明不等式
求证： 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞5（n≥2，n∈N*）.
n＋1 n＋2
3n 6
【证明】 （1）当 n＝2 时，左边＝1＋1＋1＋1＝57，故左边＞右边，不等式成立. 3 4 5 6 60
（2）假设当 n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即
1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＞5，则当 n＝k＋1 时，
k＋1 k＋2
3k 6
1
＋
1
＋…＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＋…＋
（k＋1）＋1 （k＋1）＋2
3k 3k＋1 3k＋2 3（k＋1） k＋1 k＋2
1
＋
1 ＋ 1 ＋ 1 －1 3k＋1 3k＋2 3k＋3 k＋1
＞5＋
3k
6
10
5
n＋1
（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当 n＝1 时，结论显然成立.
②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即 Sk＝ 2k ， k＋1
则当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2（Sk＋1－Sk）， 所以（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·k＋2k1，
（1 分） （2 分）
（4 分）
正确猜测此结论,是本题的基础.
（2）证明：①当 n＝1 时，左边＝12＝1，
右边＝（－1）0×1＝1，左边＝右边，等式成立.
（6 分）
②假设 n＝k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋（－1）k－1k2
＝（－1）k－1（1＋2＋3＋…＋k）
【证明】 （1）因为 a1＝1，Sn＝n2an，所以 S1＝a1＝1，
当 n＝2 时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得 a2＝1，S2＝1＋1＝4；当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3
3
33
＝9a3，可得 a3＝1，S3＝1＋1＋1＝3；
6
362
当 n＝4 时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得 a4＝ 1 ，S4＝8.猜想 Sn＝ 2n .
答案：D
用数学归纳法证明 1＋1＋1＋…＋ 1 <n（n∈N*且 n>1）第一步要证明的不等式
23
2n－1
是
，从 n＝k 到 n＝k＋1 时，左端增加了
项.
解析：当 n＝2 时，1＋1＋1<2. 23
当 n＝k 时到第 2k－1 项， 而当 n＝k＋1 时到第 2k＋1－1 项， 所以 2k＋1－1－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.
2（k＋1）
所以 Sk＋1＝
.
k＋2
故当 n＝k＋1 时结论也成立.
由①②可知，对于任意的 n∈N*，都有 Sn＝ 2n . n＋1
2n 因为 Sn＝n2an，所以 an＝Snn2＝n＋n21＝n（n＋2 1）.
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
已知数列{an}满足 Sn＋an＝2n＋1.
Hale Waihona Puke Baidu
（1）写出 a1，a2，a3，推测 an 的表达式；
3.求证：1＋1＋1＋…＋ 1 ＞n（n∈N*）.
23
2n－1 2
证明：①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立. 2
②假设当 n＝k（k≥1，k∈N*）时不等式成立，
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
用数学归纳法证明：
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＜1－1（n≥2，n∈N*）.
22 32 42
n2
n
证明：（1）当 n＝2 时，
左式＝ 1 ＝1，右式＝1－1＝1.
22 4
22
因为1＜1，所以不等式成立. 42
（2）假设 n＝k（k≥2，k∈N*）时，
不等式成立，
—
规范解答
数学归纳法的应用
（本题满分 12 分）给出四个等式： 1＝1， 1－4＝－（1＋2），
1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4）， … （1）写出第 5，6 个等式，并猜测第 n（n∈N*）个等式； （2）用数学归纳法证明你猜测的等式. 【解】 （1）第 5 个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第 6 个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－（1＋2＋3＋4＋5＋6）， 第 n 个等式为：12－22＋32－42＋…＋（－1）n－1n2 ＝（－1）n－1（1＋2＋3＋…＋n）.
解析：选 C.当 n＝k 时，左边＝ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ，当 n＝k＋1 时，左边＝ 1 ＋ 1
k＋1 k＋2
k＋k
k＋2 k＋3
＋…＋
1
＋
1
＋
1
，
（k＋1）＋（k－1） （k＋1）＋k （k＋1）＋（k＋1）
故不等式左边的变化是增加 1 和 1 两项，同时减少 1 一项.
2k＋1 2k＋2
k＋1
（2k－1）（2k＋1） 2（2k＋1）
那 么 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， 12 ＋ 22 ＋ … ＋
k2
（k＋1）2
＋
＝
1×3 3×5
（2k－1）（2k＋1） （2k＋1）（2k＋3）
k（k＋1） ＋
（k＋1）2
（k＋1）（k＋2）
＝
，
2（2k＋1） （2k＋1）（2k＋3） 2（2k＋3）
即当 n＝k＋1 时等式也成立.
1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的 整除、数列的通项及前 n 项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关 的问题都能用数学归纳法解决.
2.第一个值 n0 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值 n0 都是 1. 3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当 n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题 成立”起着已知的作用，证明“当 n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设， 再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当 n＝k＋1 时命题也成立.而不能直接将 n ＝k＋1 代入归纳假设，此时 n＝k＋1 时命题成立也是假设，命题并没有得证.
只需证（9k2＋15k＋6）＋（9k2＋12k＋3）＋（9k2＋9k＋2）－（27k2＋27k＋6）≥0，
只需证 9k＋5≥0，显然成立.
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立.
法二：（放缩法）（*）式＞
3× 1 － 1 3k＋3 k＋1
＋5＝5，
66
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立.
即 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＜1－1，
22 32 42
k2
k
则当 n＝k＋1 时，
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＋ 1 ＜1－1＋ 1 ＝1－（k＋1）2－k＝1－ k2＋k＋1
22 32 42
k2 （k＋1）2
k （k＋1）2
k（k＋1）2
k（k＋1）2
＜1－ k（k＋1） ＝1－ 1 ，
答案：1＋1＋1<2 2k 23
探究点 1 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2，其中
n∈N*. 【证明】 （1）当 n＝1 时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成
立. （2）假设当 n＝k（k∈N*）时等式成立， 即 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2， 那么当 n＝k＋1 时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1] ＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1] ＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2， 即当 n＝k＋1 时等式也成立. 根据（1）和（2）可知等式对任何 n∈N*都成立.
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ）
（2）数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.（ ）
（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（ ）
答案：（1）× （2）× （3）√
用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中 n0 的取值
用数学归纳法证明等式的方法
用数学归纳法证明：
12 ＋ 22 ＋…＋
n2
＝ n（n＋1） .
1×3 3×5
（2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1）
证明：（1）当 n＝1 时， 12 ＝1×2成立. 1×3 2×3
（2）假设当 n＝k 时等式成立即有 12 ＋ 22 ＋…＋
k2
＝ k（k＋1） ，
1×3 3×5