河南省新乡市第一中学届高三8月月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
{}124,1,2,3x P x Q =≤<=，则P Q ⋂= ( ) A ．{}1 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2. 计算
131i
i
+=- ( ) A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --
3.在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上随机取一个数x ，则事件“tan cos x x >”发生的概率为 ( )
A ．
34 B ．12 C ．13
D ． 1
4 4. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3,2,60a b A ===︒，则cos B =( )
A ．3 C. D ．3
- 5.已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为 ( )
A B ．56
6.已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值等于 ( )
A B ． C. 12 D ．1
2
- 7.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是 ( )
A ．
B ．
C.
D ．
8.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，
()0.612log 3,0.2b f c f -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是 ( )
A ．c a b <<
B ．c b a << C. b c a << D ．a b c << 9.函数ln 1x y e x =--的图象大致是 ( )
A ．
B ． C. D ．
10.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 ( )
A ．10
B ．17 C. 19 D ．36 11.在正方体1111ABCD A B
C
D -中，若1D AC ∆
，则该正方体内切球的表面积为 ( )
A ．2π
B ．8π C. 12π D ．16π
12.已知函数()x
e f x kx x
=-（e 为自然对数底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围
为 ( )
A ．()0,2
B ．20,4e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ()0,e D ．()0,+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===，若λ为实数，()
//a b c λ+，则λ= ． 14.设,x y 满足约束条件70,310,350.x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
，则2z x y =-的最大值为 ．
15.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+
相切，则该圆的标准方
程是 ．
16.设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC ∆沿AC 向ADC ∆折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，则ADP ∆的最大面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*310,5,100n N a S ∈==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
2
5n n b n a =
+， 求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18. 第12界全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳顺利举行，组委会在沈阳某大学招募了
12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），
身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”.
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率？
（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，求这两人身高相差5cm 以上的概率．
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,21AB BC AA AC BC ⊥===，，
,E F 分别是11,AC BC 的中点.
（1）求证：1//C F 平面ABE ； （2）求三棱锥E ABC -的体积.
20. 已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F
，离心率e =，短轴
长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值. 21. 已知函数()21
ln ,,2
f x x ax bx a b R =++∈.
（1）若2,1a b =-=，求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意的[)()1,,0a f x ∈+∞≥在[]1,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos28ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为=6
π
θ，曲线12C C 、相
交于A B 、两点.()R ρ∈ （1）求A B 、两点的极坐标；
（2）曲线1C
与直线112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度. 23.设函数()()10f x x x a a =++-> （1）若2a =时，解不等式()4f x ≤；
（2）若不等式()4f x ≤对一切[],2x a ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
